Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\dfrac{a^{2}}{b+c}+\dfrac{b^{2}}{ c+a}+\dfrac{c^{2}}{a+b} \geq \dfrac{a+b+c}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 hieucom5196

hieucom5196

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết

Đã gửi 28-12-2011 - 19:33

cho a,b,c > 0. CMR:
$\dfrac{a^{2}}{b+c}+\dfrac{b^{2}}{ c+a}+\dfrac{c^{2}}{a+b} \geq \dfrac{a+b+c}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi nào?

p\s: Mấy bạn chỉ cho mình cách giải các BĐT loại này với. Hay là phải giải rồi mới biết cách giải?

#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 28-12-2011 - 19:37

cho a,b,c > 0. CMR:
$\dfrac{a^{2}}{b+c}+\dfrac{b^{2}}{ c+a}+\dfrac{c^{2}}{a+b} \geq \dfrac{a+b+c}{2}$
Dấu bằng xảy ra khi nào?

p\s: Mấy bạn chỉ cho mình cách giải các BĐT loại này với. Hay là phải giải rồi mới biết cách giải?


Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz, ta có ngay điều cần chứng minh:
$$\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \geqslant \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{b + c + c + a + a + b}} = \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \dfrac{{a + b + c}}{2}$$
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c$

#3 Mai Duc Khai

Mai Duc Khai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 617 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa

Đã gửi 28-12-2011 - 20:17

Bài này là 1 bài khá quen thuộc và mình có thể chỉ ra 1 số cách giải sau:
Cách 1: Cách này rất quen thuộc
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{b + c}}{4} \ge 2\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}}.\dfrac{{b + c}}{4}} = a$

$\Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{b + a}} + \dfrac{{b + c}}{4} + \dfrac{{a + c}}{4} + \dfrac{{b + a}}{4} \ge a + b + c$

$\Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{b + a}} \ge a + b + c - \dfrac{{a + b + c}}{2} = \dfrac{{a + b + c}}{2}$

Cách 2: Cách này cũng quen thuộc:
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
$\left[ {{{\left( {\dfrac{a}{{\sqrt {b + c} }}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{b}{{\sqrt {a + c} }}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{c}{{\sqrt {a + b} }}} \right)}^2}} \right].\left[ {{{\left( {\sqrt {b + c} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {a + c} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {b + a} } \right)}^2}} \right]$


$\ge {\left( {\dfrac{a}{{\sqrt {b + c} }}.\sqrt {b + c} + \dfrac{b}{{\sqrt {a + c} }}.\sqrt {a + c} + \dfrac{c}{{\sqrt {a + b} }}.\sqrt {a + b} } \right)^2}$

$\Rightarrow \left( {\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{b + a}}} \right)\left[ {2\left( {a + b + c} \right)} \right] \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}$

$\Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{b + a}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}$

Cách 3: hơi dài 1 chút(dùng BĐT sẽ nhanh hơn cho chứng minh các bổ đề)

Đầu tiên ta chứng minh bổ đề 1:

$\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \ge 9$ $(1)$với $x,y,z>0$
Thật vậy vế trái của bổ đề bằng:

$\dfrac{{x + y + z}}{x} + \dfrac{{x + y + z}}{y} + \dfrac{{x + y + z}}{z} =$ $= 1 + \dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{y} + 1 + \dfrac{z}{y} + \dfrac{x}{z} + \dfrac{y}{z} + 1$
$= 3 + \dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z} \ge 3 + 2 + 2 + 2 = 9(dpcm)$
Bất đẳng thức 1 được chứng minh.
Bây giờ ta chứng minh bổ đề 2:

$\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}} \ge \dfrac{3}{2}$ $(2)$ với $a,b,c>0$

Thật vậy,áp dụng $(1)$ với $x=b+c$ , $y=a+c$,$z=a+b$ ta được:
$2\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{a + c}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) \ge 9$


$\Rightarrow \dfrac{{a + b + c}}{{b + c}} + \dfrac{{a + b + c}}{{a + c}} + \dfrac{{a + b + c}}{{b + a}} \ge \dfrac{9}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{a}{{b + c}} + 1 + \dfrac{b}{{c + a}} + 1 + 1 + \dfrac{c}{{a + b}} \ge \dfrac{9}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}} \ge \dfrac{3}{2}$
Bất đẳng thức $(2)$ được chứng minh.
Nhân hai về của $(2)$ với $a+b+c>0$ ta được:

$\dfrac{{\left( {a + b + c} \right)a}}{{b + c}} + \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)b}}{{a + c}} + \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)c}}{{a + b}} \ge \dfrac{3}{2}\left( {a + b + c} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + a + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + b + \dfrac{{{c^2}}}{{b + a}} + c \ge \dfrac{3}{2}\left( {a + b + c} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{b + a}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maikhaiok: 28-12-2011 - 20:19

Tra cứu công thức toán trên diễn đàn


Học gõ Latex $\to$ Cách vẽ hình trên VMF


Điều mà mọi thành viên VMF cần phải biết và tuân thủ

______________________________________________________________________________________________

‎- Luật đời dạy em cách Giả Tạo
- Đời xô ... Em ngã
- Đời nham ... Em hiểm

- Đời chuyển ... Em xoay

Đời cay ... Em đắng


#4 Iamgifted

Iamgifted

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Đã gửi 28-12-2011 - 21:24

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz, ta có ngay điều cần chứng minh:
$$\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \geqslant \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{b + c + c + a + a + b}} = \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\left( {a + b + c} \right)}} = \dfrac{{a + b + c}}{2}$$
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c$

em không hiểu cách dùng Cauchy-Schwars ở đây. Anh giải thích rõ hơn được không??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Iamgifted: 28-12-2011 - 21:26


#5 PRONOOBCHICKENHANDSOME

PRONOOBCHICKENHANDSOME

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-12-2011 - 22:01

em không hiểu cách dùng Cauchy-Schwars ở đây. Anh giải thích rõ hơn được không??

em xét $(a+b+c)^2=(\dfrac{a}{\sqrt{b+c}}.\sqrt{b+c}+...)^2 \leq ... $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 28-12-2011 - 22:03


#6 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 07-01-2012 - 11:32

Bất đẳng thức Cauchy-Schwars ở đây được dùng dưới dạng cộng mẫu :
Với 3 các số a,b,c ko âm, x,y,z dương ta luôn có:
$\dfrac{a^{2}}{x}+\dfrac{b^{2}}{y}+\dfrac{c^{2}}{z}\geq \dfrac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 07-01-2012 - 11:43

ĐCG !




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh