Tìm số nguyên tố $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5$ sao cho $$p_1p_2p_3p_4p_5=p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+2011$$

Tìm số nguyên tố $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5$ sao cho $p_1p_2p_3p_4p_5=p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+2011$
Bắt đầu bởi Zaraki, 29-12-2011 - 19:20
Chủ đề này có 3 trả lời
#1
Đã gửi 29-12-2011 - 19:20
- nhungvienkimcuong yêu thích
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.
#2
Đã gửi 29-12-2011 - 19:53
Nếu có 1 số là 2 thì $VT\vdots 2$ và $VP$ không chia hết cho 2 nên loại.
Nếu không có số nào chia hết cho 2 thì $VT$ không chia hết cho 2 còn $VP\vdots 2$ nên loại
Vậy không có các số nguyên tố nào thỏa mãn phương trình trên.
---------------------------------------------------------
Anh "nỏ" biết là có đúng hay không nữa
Nếu không có số nào chia hết cho 2 thì $VT$ không chia hết cho 2 còn $VP\vdots 2$ nên loại
Vậy không có các số nguyên tố nào thỏa mãn phương trình trên.
---------------------------------------------------------
Anh "nỏ" biết là có đúng hay không nữa
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 29-12-2011 - 19:57
- duongld, perfectstrong và Tham Lang thích
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#3
Đã gửi 30-12-2011 - 12:36
Đây là lời giải.
Không mất tính tổng quát, giả sử $p_1\le p_2\le p_3\le p_4\le p_5$.
Nếu $p_1>2$ thì $p_1p_2p_3p_4p_5$ lẻ, mà $p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+2011$. Vậy $\boxed{p_1 = 2}$.
Nếu $p_2>2$ thì $2p_2p_3p_4p_5$ chẵn, mà $2+p_2+p_3+p_4+p_5+2011$ lẻ. Vậy $\boxed{p_2 = 2}$.
Ta có ba trường hợp.
$\boxed{\text{Kết luận}}$. Phương trình vô nghiệm. $\qquad \qquad \blacksquare$
Không mất tính tổng quát, giả sử $p_1\le p_2\le p_3\le p_4\le p_5$.
Nếu $p_1>2$ thì $p_1p_2p_3p_4p_5$ lẻ, mà $p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+2011$. Vậy $\boxed{p_1 = 2}$.
Nếu $p_2>2$ thì $2p_2p_3p_4p_5$ chẵn, mà $2+p_2+p_3+p_4+p_5+2011$ lẻ. Vậy $\boxed{p_2 = 2}$.
Ta có ba trường hợp.
- TH1: $p_3=p_4=2$, không thỏa mãn.
- TH2: $p_3=2$ thì $8(p_4-1)(8p_5-1)=16137=9.11.163$. Vô nghiệm.
- TH3: $p_3>2$, vì $p_3\le p_4\le p_5$ đều nguyên tố nên $p_3<11$, như vậy chỉ cần xét các trường hợp của $p_3$ là $3,5,7$.
$\boxed{\text{Kết luận}}$. Phương trình vô nghiệm. $\qquad \qquad \blacksquare$
- Cao Xuân Huy, Tham Lang, nguyenta98 và 3 người khác yêu thích
“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.
#4
Đã gửi 05-11-2019 - 04:15
- TH3: $p_3>2$, vì $p_3\le p_4\le p_5$ đều nguyên tố nên $p_3<11$, như vậy chỉ cần xét các trường hợp của $p_3$ là $3,5,7$.
Vì sao lại suy ra được phần này vậy ạ?
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh