Chủ đề này có 3 trả lời

[Zaraki]

Tìm số nguyên tố $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5$ sao cho $$p_1p_2p_3p_4p_5=p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+2011$$

[Cao Xuân Huy]

Nếu có 1 số là 2 thì $VT\vdots 2$ và $VP$ không chia hết cho 2 nên loại.

Nếu không có số nào chia hết cho 2 thì $VT$ không chia hết cho 2 còn $VP\vdots 2$ nên loại

Vậy không có các số nguyên tố nào thỏa mãn phương trình trên.
---------------------------------------------------------
Anh "nỏ" biết là có đúng hay không nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 29-12-2011 - 19:57

[Zaraki]

Đây là lời giải.

Không mất tính tổng quát, giả sử $p_1\le p_2\le p_3\le p_4\le p_5$.

Nếu $p_1>2$ thì $p_1p_2p_3p_4p_5$ lẻ, mà $p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+2011$. Vậy $\boxed{p_1 = 2}$.
Nếu $p_2>2$ thì $2p_2p_3p_4p_5$ chẵn, mà $2+p_2+p_3+p_4+p_5+2011$ lẻ. Vậy $\boxed{p_2 = 2}$.

Ta có ba trường hợp.

• TH1: $p_3=p_4=2$, không thỏa mãn.
• TH2: $p_3=2$ thì $8(p_4-1)(8p_5-1)=16137=9.11.163$. Vô nghiệm.
• TH3: $p_3>2$, vì $p_3\le p_4\le p_5$ đều nguyên tố nên $p_3<11$, như vậy chỉ cần xét các trường hợp của $p_3$ là $3,5,7$.

$\boxed{\text{Kết luận}}$. Phương trình vô nghiệm. $\qquad \qquad \blacksquare$

[Powerful WH 2021]

• TH3: $p_3>2$, vì $p_3\le p_4\le p_5$ đều nguyên tố nên $p_3<11$, như vậy chỉ cần xét các trường hợp của $p_3$ là $3,5,7$.

Vì sao lại suy ra được phần này vậy ạ?