Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 29-12-2011 - 21:14
Chứng minh P=$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd\geq \sqrt{3}$
#1
Đã gửi 29-12-2011 - 21:13
#2
Đã gửi 01-01-2012 - 18:55
Cho biểu thức $P = a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd$, trong đó $ad-bc=1$. Chứng minh rằng $P \geq \sqrt{3}$
Vì $(ad - bc)^2 + (ac + bd)^2=(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$ và $ad - bc = 1$ nên:
$1 + (ac + bd)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)$ (1)
$P=a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ac + bd$ áp dụng BĐT AM-GM:
$(a^2 + b^2)+(c^2 + d^2)\geq 2\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}$
Do đó $P\geq ac + bd + 2\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2+d^2)}$ (2)
Từ (1) và (2)
Suy ra $P\geq ac + bd + 2\sqrt{1+(ac+bd)^2}$
Rõ ràng $P\geq 0$ vì $2\sqrt{1+(ac+bd)^2}> \left | ac +bd \right |$
Đặt $x = ac + bd$ thì$P \geq x+2\sqrt{1+x^2} > 0 \Leftrightarrow P^2\geq x^2 + 4(1+x^2) +4x\sqrt{1 + x^2} $
$=(1 + x^2) + 4x\sqrt{1 + x^2}+4x^2 + 3= (\sqrt{1+x^2}+2x)^2+3\geq 3\Rightarrow P\geq \sqrt{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 01-01-2012 - 22:20
- perfectstrong, chit_in, Mai Duc Khai và 4 người khác yêu thích
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF
#3
Đã gửi 03-02-2012 - 18:40
$=\frac{1}{4}\left((2a+c-\sqrt3d)^2+(2b+\sqrt3c+d)^2\right)\geq0$.
Cách 3. Ta có $2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}=2\sqrt{(ac+bd)^{2}+1}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$
Đặt $t=ac+bd$, do đó $S\geq 2\sqrt{t^{2}+1}+t \geq \sqrt{3}$.
- perfectstrong, Yagami Raito, Tham Lang và 6 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#4
Đã gửi 16-07-2013 - 15:32
#5
Đã gửi 21-11-2013 - 21:49
Có bài này đề hơi giông nè...
Cho $a,b,c,d$ có tích bằng $1$. Chứng minh rằng
$a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6$
bài này AM-GM 6 số là ra mất rồi
#6
Đã gửi 15-08-2015 - 15:12
có phải chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào không?
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh