Chủ đề này có 7 trả lời

[xuanhung]

Có vài bài khá hay nè mọi người ơi
1.Cho $x>y$ và $xy=1$
CMR: $(x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2}$. Bài này đi học thêm đóng góp được 4 cách, bạn này có cách hay thì post lên nha
2.Cho 2 số dương $x,y$ va $x+y=8$
Tìm GTNN của biểu thức
$P=\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{y+4}$
3.Tìm GTNN của $E=\dfrac{2x^{2}+12x+16}{x^{2}+6x+11}$
4.Tìm GTNN của
a/ $A=\dfrac{1}{5+2\sqrt{6-x^{2}}}$
b/ $B=\dfrac{x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}}$
5.Tìm $x>0$ để phân thức
$H=\dfrac{(2+x)(x+8)}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất

Mọi người chăm post bài vào nhá
----------------------------------------------
MOD: Để gõ $\LaTeX$ thì bạn thêm 2 dấu đô la vào 2 đầu công thức nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 30-12-2011 - 11:55

[Cao Xuân Huy]

Những bài này không khó, khi nào rảnh thì mình post. Bạn coi lại bài 1 xem đề đúng chưa nhé. Mình thử với cặp số $(x;y)=(2;\dfrac{1}{2})$ thì không thỏa đề bài

[hammetoan]

Bài 2: $\dfrac{1}{x+4}+ \dfrac{1}{y+4}\geq \dfrac{4}{8+8}=\dfrac{1}{4}$
Dấu "=" xảy ra $x=y=4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 30-12-2011 - 10:32

[Minhnguyenquang75]

Bài 4:
a, Xét mẫu số:
$5+2\sqrt{6-x^{2}}$
Ta có:
$x^{2}\geq 0$
$\Rightarrow -x^{2}\leq 0$
$\Rightarrow 6-x^{2}\leq 6$
$\Rightarrow 5+\sqrt{6-x^{2}}\leq 5+\sqrt{6}$
Vậy GTLN của mẫu số là $5+\sqrt{6}$ đạt dc khi $x=0$
Vậy $A_{min}=\dfrac{1}{5+\sqrt{6}}$ đạt được khi $x=0$
b, đánh giá tương tự trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenquang75: 30-12-2011 - 13:12

[Ispectorgadget]

Bài 5: $VT=\dfrac{10x+x^2+10}{x}=10+x+\dfrac{10}{x}\geq 2\sqrt{10}+10$
Dấu "=" xảy ra khi x=$\sqrt{10}$

[Cao Xuân Huy]

Bài 5: $VT=\dfrac{10x+x^2+10}{x}=10+x+$$\dfrac{10}{x}$$\geq 2\sqrt{10}+10$
Dấu "=" xảy ra khi $x=\sqrt{10}$

Chỗ này là $\dfrac{16}{x}$ chứ anh.
Em giải lại:
Bài 5:
$VT=\dfrac{10x+x^2+10}{x}=10+x+\dfrac{16}{x} \geq 2\sqrt{16}+10=14$
Dấu "=" xảy ra khi $x=\sqrt{16}=4$

[ht2pro102]

Bài 3: E$=2-\dfrac{6}{x^{^{2}+6x+11}}$
E nhỏ nhất khi$x^{2}+6x+11$ nhỏ nhất.$x^{2}+6x+11=(x+3)^{2} +2\geqslant 2.$
E nhỏ nhất là -1 khi x=-3

[xuanhung]

Hổng ai làm bài 1 hết vậy
Cách 1: $(x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2} \Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-8(x-y)^{2}\geq 0 \Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+2-8x^{2}+16-8y^{2}\geq 0 \Leftrightarrow x^{4}+y^{4}-(8x^{2}+8y^{2})\geq -18$
Mà ta thấy $x^{4}+y^{4}-(8x^{2}+8y^{2})\geq -14 > -18$ ( Theo BDT Cauchy )
Suy ra đpcm

Cách 2: $(x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2}\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-8(x^{2}-2xy+y^{2})\geq 0 \Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}-8(x^{2}+y^{2})+16\geq 0 \Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}-4)^{2}\geq 0$ Đúng
Suy ra đpcm

Cách 3: Tương tự cách 2 nhưng đặt A=$x^{2}+y^{2}$ ngay từ đầu

Cách 4: Tương tự cách 1 nhưng đi ngược lại
Cụ thể: $x^{4}+y^{4}-8x^{2}-8y^{2}\geq -18\Leftrightarrow x^{4}+y^{4}+2xy-8x^{2}-8y^{2}+16xy\geq 0\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 01-01-2012 - 12:03