Chủ đề này có 7 trả lời

[cvp]

Cho $a \geq 3$. Tìm $min S=a+\dfrac{1}{a}$

[Crystal]

Cho $a \geq 3$. Tìm $min S=a+\dfrac{1}{a}$

Phân tích: Ta dự đoán điểm rơi là $a=3$. Nên ta tách hạng tử $a$ trong biểu thức $S$ như sau:
$$S = \alpha a + \beta a + \dfrac{1}{a},\,\,\,\left( {\alpha + \beta = 1} \right)$$
Áp dụng BĐT AM - GM, cho hai số $\beta a;\dfrac{1}{a}$ và dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow \beta a = \dfrac{1}{a} \Leftrightarrow \beta = \dfrac{1}{{{a^2}}}$

Dự đoán $a=3$ nên tính được: $\beta = \dfrac{1}{9},\alpha = \dfrac{8}{9}$.

Khi đó: $$S = \dfrac{{8a}}{9} + \dfrac{a}{9} + \dfrac{1}{a} \ge \dfrac{{8.3}}{9} + 2\sqrt {\dfrac{a}{9}.\dfrac{1}{a}} = \dfrac{{10}}{3}$$
Vậy $\min S = \dfrac{{10}}{3} \Leftrightarrow a = 3$

[tudragon]

Dễ thấy hàm số $f(x)=a+\dfrac{1}{a}$ đồng biến trên $[3;+)$ nên $minf(x)=3+\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}$ khi $a=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tudragon: 30-12-2011 - 16:34

[Crystal]

Dễ thấy hàm số $f(x)=a+\dfrac{1}{a}$ đồng biến trên $[3;+)$ nên $minf(x)=3+\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}$ khi $a=3$

Các em THCS chưa được biết phương pháp dùng hàm số để tìm cực trị cũng như chứng minh BĐT nên với bài trên thì dùng BĐT cổ điển vẫn gần gũi hơn

[cvp]

Giúp em bài này luôn nhé các anh:
Ch0 $0\leq a \leq \dfrac{1}{2}$. Tìm $min S=2a+\dfrac{1}{a^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 30-12-2011 - 17:08

[Crystal]

Giúp em bài này luôn nhé các anh:
Ch0 $0\leq a \leq \dfrac{1}{2}$. Tìm $min S=2a+\dfrac{1}{a^{2}}$

Phân tích: Từ $0 < a \leqslant \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} \geqslant 4$. Dự đoán điểm rơi là $a = \dfrac{1}{2}$, khi đó $a = \dfrac{1}{{8{a^2}}}$

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có: $$S = a + a + \dfrac{1}{{8{a^2}}} + \dfrac{7}{{8{a^2}}} \geqslant 3\sqrt[3]{{a.a.\dfrac{1}{{8{a^2}}}}} + \dfrac{7}{{8{a^2}}} \geqslant \dfrac{3}{2} + \dfrac{7}{2} = 5$$
Vậy $\min S = 5 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2}$

P/s: Điều kiện của $a$ phải là $0 < a \leqslant \dfrac{1}{2}$ thì mới chính xác. $a \ne 0$ để $S$ xác định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 30-12-2011 - 17:38

[Dung Dang Do]

Điểm rơi là chi hả anh
Em ms học đến lớp 8

[Crystal]

Điểm rơi là chi hả anh
Em ms học đến lớp 8

Điểm rơi là giá trị của biến mà tại đó xảy ra dấu "=" trong BĐT.