Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có $\dfrac{1}{2n-1} + \dfrac{1}{2n-2} + .... + \dfrac{1}{n} > ln2 $

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
wonderboy

wonderboy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có
$\dfrac{1}{2n-1} + \dfrac{1}{2n-2} + .... + \dfrac{1}{n} > ln2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wonderboy: 30-12-2011 - 20:17


#2
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết
Xét hàm số: $f(x)=\dfrac{1}{x}$ trên đoạn $[n,2n];\;\;n>0$. Ta có:

$f\,'(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0$ nên hàm số $f(x)$ là nghịch biến.

Chia đoạn $[n,2n]$ thành $n$ phần bằng nhau bởi các điểm $x_i=n+i;\;\;i\in\{1,..,n-1\}$.
Dựng các hình chữ nhật $H_i$ liên tiếp bởi các điểm $(x_i,0);\;(x_i,f(x_i));\;(x_i+1,f(x_i));\;(x_i+1,0)\;\;\;\text{với } i=\overline{0,n-1}$
Do $f(x)$ là hàm nghịch biến nên $f(x_i)>f(x_i+1)$
suy ra diện tích của $H_i$ sẽ lớn hơn phần diện tích tạo bởi đồ thị $f(x)$ với trục hoành bởi các đường thẳng $x=x_i$ và $x=x_i+1$
Tổng diện tích các hình chữ nhật $H_i$ là:
$$\sum\limits_{i=0}^{n-1} S(H_i)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dfrac{1}{n+i}=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+...+\dfrac{1}{2n-1}$$
Tổng diện tích được được tạo bởi đồ thị của $f(x)$ với trục hoành qua các đường thẳng $x=x_i$ và $x=x_i+1$ là
$$\sum\limits_{i=0}^{n-1} \int\limits_{n+i}^{n+i+1} \dfrac{1}{x}dx=\int\limits_{n}^{2n} \dfrac{dx}{x}=\ln|x|\left|\begin{matrix}{}^{2n}\\ {}_n\end{matrix}\right.=\ln 2$$
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
____________________________________
P/s: Làm biếng vẽ hình quá! :P

#3
wonderboy

wonderboy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết
mình vẫn chưa hiểu, bạn giải thích thêm cho mình được không?

#4
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

mình vẫn chưa hiểu, bạn giải thích thêm cho mình được không?

Bạn chịu khó quan sát hình vẽ sau nhé!
ynghia2.jpg
Tổng diện tích các hình chữ nhật $H_i$ được tô màu chính là:
$A=H_1+H_2+...+H_n=\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+...+\dfrac{1}{2n-1}$

Còn phần diện tích tạo bởi đồ thị $f(x)=\dfrac{1}{x}$ với trục hoành và các đường $x=n$ và $x=2n$ là
$B=\int\limits_n^{2n} \dfrac{1}{x}dx=\ln|x|\left|\begin{align*}{}^{2n} \\ {}_{n}\end{align*}\right.=\ln 2$

Rõ ràng là $A>B$
________________________________________________
Bạn còn chỗ nào không hiểu không?

#5
T*genie*

T*genie*

    Đường xa nặng bóng ngựa lười...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 1161 Bài viết
Bài này là một bài toán khá quen thuộc về chuỗi số. Có một cách giải khác không cần qua so sánh diện tích như anh Thanh. Chỉ cần lưu ý bất đẳng thức :

$$\ln \left( \dfrac{p+1}{p} \right) < \dfrac{1}{p}$$ với $p >0$.

Thế thì

\begin{align}
\ln \left( \dfrac{n+1}{n} \right) &< \dfrac{1}{n} \\
\ln \left( \dfrac{n+2}{n+1} \right) &< \dfrac{1}{n+1} \\
.\\
.\\
.\\
\ln \left( \dfrac{2n}{2n-1} \right) &< \dfrac{1}{2n-1}
\end{align}

Cộng vế theo vế thì ta được điều cần chứng minh.

Mở rộng ra các bạn hãy thử kẹp $\ln 2$ bằng cách chứng minh bài toán sau :

Xét dãy $U_n = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + ... + \dfrac{1}{2n}$
Chứng minh rằng : $$U_n \leq \ln 2 \leq U_n + \dfrac{1}{2n}$$

#6
LangTu Mua Bui

LangTu Mua Bui

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 43 Bài viết
 $f(x+1)-f(x)=f'(c) c\in (x;x+1)Roll$

Xét hàm $f(x)=\ln{x+1} \ln{x+1}-\ln{x}=\frac{1}{c} < \frac{1}{x}c\in (c;c+1)$

$ \Rightarrow \sum_{k=n}^{2n}\frac{1}{k}>\sum_{k=n}^{2n}\ln{(k+1)}-\ln{k}=\ln{2n}-\ln{n}=\ln{2}$





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh