Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

tính giá trị biểu thức $\dfrac{x^{2}+y^{2}+1}{xy}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 taitwkj3u

taitwkj3u

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 193 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-12-2011 - 20:55

cho các số tự nhiên x,y thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+1\vdots xy.$
tính giá trị của biểu thức :
$\dfrac{x^{2}+y^{2}+1}{xy}$
  • LNH yêu thích
vipppppppppppppppppppppppppppppppppppp
and
proooooooooooooooooooooooooooooooooooo
DAM ME TOAN HET SUC

#2 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 02-01-2012 - 23:21

Lời giải:
Đặt $k=\dfrac{x^2+y^2+1}{xy}$. Cố định k và trong các bộ số $(x;y)$ thỏa đề, ta chọn $(X;Y)$ là bộ số thỏa mãn tổng nhỏ nhất.
Ta sẽ chứng minh $X=Y$.
Giả sử, $X \neq Y$. Không mất tính tổng quát, giả sử $X>Y$.
Xét phương trình ẩn t:
\[\dfrac{{{t^2} + {Y^2} + 1}}{{tY}} = k \Leftrightarrow {t^2} - kYt + {Y^2} + 1 = 0 (1) \]
(1) là phương trình bậc 2 ẩn t. Do giả thiết nên $t_1=X$.
\[{t_2} = kY - X = \dfrac{{{Y^2} + 1}}{X}\]
Nên $t_2$ là số nguyên dương.
Lại có:
\[X > Y \ge 1 \Rightarrow {t_2} = \dfrac{{{Y^2} + 1}}{X} < X\]
Cho nên $(t_2;Y)$ là một bộ số nguyên dương khác thỏa đề mà $t_2+Y<X+Y$: trái với cách chọn $(X;Y)$.
Vậy $X=Y$
\[k = \dfrac{{{X^2} + {Y^2} + 1}}{{XY}} = \dfrac{{2{X^2} + 1}}{{{X^2}}} = 2 + \dfrac{1}{{{X^2}}} \in \mathbb{N} \Rightarrow {X^2}|1 \Rightarrow {X^2} = 1 \Rightarrow k = 3\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 06-01-2012 - 20:53

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#3 tinhotquangcao

tinhotquangcao

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 05-01-2012 - 22:16

Anh perfectstrong ơi, em nghĩ bài này cả tuần rồi nên có mày mò nhiều lắm. Em thấy riêng kết quả =3 đã có 2 bộ x khác y: (5;2),(13,5). Vì thế theo em cách của anh có gì đó ko ổn nhưng em cũng chưa thấy. Anh thử coi lại xem sao?

#4 taitwkj3u

taitwkj3u

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 193 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-01-2012 - 22:24

Lời giải:
Đặt $k=\dfrac{x^2+y^2+1}{xy}$.Ta sẽ chứng minh $x=y$. Trong các bộ số $(x;y)$ thỏa đề, ta chọn $(X;Y)$ là bộ số thỏa mãn tổng nhỏ nhất.
Giả sử, $X \neq Y$. Không mất tính tổng quát, giả sử $X>Y$.
Xét phương trình ẩn t:
\[\dfrac{{{t^2} + {y^2} + 1}}{{ty}} = k \Leftrightarrow {t^2} - kyt + {y^2} + 1 = 0 (1) \]
(1) là phương trình bậc 2 ẩn t. Do giả thiết nên $t_1=X$.
\[{t_2} = kY - X = \dfrac{{{Y^2} + 1}}{X}\]
Nên $t_2$ là số nguyên dương.
Lại có:
\[X > Y \ge 1 \Rightarrow {t_2} = \dfrac{{{Y^2} + 1}}{X} < X\]
Cho nên $(t_2;Y)$ là một bộ số nguyên dương khác thỏa đề mà $t_2+Y<X+Y$: trái với cách chọn $(X;Y)$.
Vậy $X=Y$
\[k = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy}} = \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{{x^2}}} = 2 + \dfrac{1}{{{x^2}}} \in N \Rightarrow {x^2}|1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy}} = k = 3\]

Bài này hình như mình nghĩ cách của anh mới chỉ xét trường hợp x+y có tổng nhỏ nhất thì x=y=1.
còn các TH x+y khác thì chưa xét
vipppppppppppppppppppppppppppppppppppp
and
proooooooooooooooooooooooooooooooooooo
DAM ME TOAN HET SUC

#5 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 06-01-2012 - 20:58

Bài toán này là ứng dụng của định lý Viete.
Đề đúng của nó là:
Let $x$ and $y$ be positive integers such that $xy$ divides $x^2+y^2+1$. Prove that:
\[ \dfrac{x^2+y^2+1}{xy}=3 \]
=================================================================
Anh đã sửa lại lời giải hợp lý hơn. Khi cố định $k$ thì ta sẽ chứng minh $k$ mang giá trị là 3.
Nếu giả sử có trường hợp $k$ mang giá trị khác, ta cũng thực hiện tương tự trên: cố định $k$, xét bộ $(X;Y)$ là bộ có tổng nhỏ nhất thỏa đề và khi đó, $X=Y$, suy ra $k=3$.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#6 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 06-01-2012 - 21:23

Mọi người không phải thắc mắc đâu, anh perfectstrong làm hoàn toàn đúng đó, có điều dùng phương pháp lùi vô hạn và định lý viete nên các bạn thấy mới lạ

Em có nhầm không thế, trong bài này là dùng định lý Vietephương pháp cực hạn chứ sao có phương pháp lùi vô hạn. :icon6:
Thêm 1 số bài dùng phương pháp tương tự thế này:
Bài 2: (IMO 1988, Problem 6)
Cho $a, b$ là 2 số nguyên dương thỏa $ab+1|a^2+b^2$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}$ là số chính phương.
Bài 3: (IMO 2007, Problem 5)
Cho $a, b$ là 2 số nguyên dương thỏa $4ab-1|(4a^2-1)^2$. Chứng minh rằng: $a=b$.
Bài 4:
Cho $a,b,c$ là 3 số nguyên dương thỏa $0<a^2+b^2-abc\leq c$. Chứng minh rằng: $a^2+b^2-abc$ là số chính phương.
Bài 5:
Chứng minh rằng nếu $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $k=\dfrac{a^2+b^2}{ab-1} \in \mathbb{Z}$ thì $k=5$.


P/S: Nếu cần thì có thể pm mình để mình post lời giải hoặc hướng dẫn.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#7 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 24-02-2012 - 20:22

Bài 2: (IMO 1988, Problem 6)
Cho $a, b$ là 2 số nguyên dương thỏa $ab+1|a^2+b^2$. Chứng minh rằng: $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}$ là số chính phương.
Bài 5:
Chứng minh rằng nếu $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $k=\dfrac{a^2+b^2}{ab-1} \in \mathbb{Z}$ thì $k=5$.

Mình thử sức làm 2 bài này nhé, vì 2 bài này có cách chứng minh giống nhau lên mình chỉ làm Bài 5: vì Bài 2 có cách chứng minh tương tự chỉ khác phần giữa và cuối thôi, với lại bài 5 hay hơn nhiều.
Bài 5:
Giả sử $a^2+b^2$ chia hết cho $ab-1$. Ta thấy $a \neq b$ vì nếu $a=b$ thì $2a^2 \vdots a^2-1$, nhưng ($a^2,a^2-1$)=1 nên 2$\vdots a^2-1$, không xảy ra. Do vai trò của a và b là như nhau, có thể xem $a>b$. Nếu $b=1$ thì $a^2+1 \vdots a-1$ suy ra $2 \vdots a-1$ nên $a=2$ hoặc $a=3$. Lúc đó thấy $\frac{a^2+1}{ab-1}=5$.
Ta xét $a>b>1$. Từ $a^2+b^2 \vdots ab-1$ có $b^2(a^2+b^2) \vdots ab-1$
$\Rightarrow b^4+1 \vdots ab-1$. Đặt $k=\frac{b^4+1}{ab-1}>0$ ta có $kab-k=b^4+1 \Rightarrow k\equiv -1 $(mod $b$), do đó có c$\in \mathbb{N}^*$ để $k=bc-1$.
Từ đó $b^4+1=(ab-1)(bc-1)$. Ta có
$\frac{b^2(b^2+c^2)}{bc-1} = bc+1 + \frac{b^4+1}{bc-1} = bc+ab$
$\frac{b^2(a^2+b^2)}{ab-1} = ab+1 + \frac{b^4+1}{ab-1} = ab+bc$
Do đó $\frac{a^2+b^2}{ab-1}= \frac{b^2+c^2}{bc-1}$.
Tương tự như trên thì $b \neq c$.Vì $b>1$ và $a >b$ nên $ab-1 = b^2+1+b(a-b)-2 \geq b^2+1$
$\Rightarrow (b^2+1)^2 > b^4+1 = (ab-1)(bc-1) \geq (b^2+1)(bc-1) \Rightarrow 2>b(c-b)$. Vì $b>1$ nên $b>c$.
Nếu $c>1$ thì lập luận tương tự như trên, có $d\in \mathbb{N}^*$, $a>b>c>d$ để $\frac{a^2+b^2}{ab-1}= \frac{b^2+c^2}{bc-1}= \frac{c^2+d^2}{cd-1}$.
Cứ tiếp tục như thế, quá trình này cũng phải tồn tại đến số $u\in \mathbb{N}^*$, mà $a>b>c>d>...>u>1$,
$a>b>c>d$ để $\frac{a^2+b^2}{ab-1}= \frac{b^2+c^2}{bc-1}= \frac{c^2+d^2}{cd-1}=...= \frac{u^2+1}{u-1}$.
Vì $u^2+1 \vdots u-1$ thì như đã biết : $u=2 hoặc u=3$, vậy $\frac{u^2+1}{u-1} =5$ nên $\frac{a^2+b^2}{ab-1}=5$, (Đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 20-07-2012 - 23:04

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#8 tieutuhamchoi98

tieutuhamchoi98

    Trung sĩ

  • Banned
  • 173 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nguyệt Đức - Yên Lạc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 10-08-2013 - 21:57

Hình như trong Number Theory của Titu cũng có 1 đống kiểu này sao ế? 



#9 Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 13-08-2013 - 15:07

Những bài này chủ yếu đều dùng phương pháp cực hạn


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#10 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 21-10-2013 - 22:17


Lại có:
\[X > Y \ge 1 \Rightarrow {t_2} = \dfrac{{{Y^2} + 1}}{X} < X\]
Cho nên $(t_2;Y)$ là một bộ số nguyên dương khác thỏa đề mà $t_2+Y<X+Y$: trái với cách chọn $(X;Y)$.
Vậy $X=Y$
\[k = \dfrac{{{X^2} + {Y^2} + 1}}{{XY}} = \dfrac{{2{X^2} + 1}}{{{X^2}}} = 2 + \dfrac{1}{{{X^2}}} \in \mathbb{N} \Rightarrow {X^2}|1 \Rightarrow {X^2} = 1 \Rightarrow k = 3\]

 

Sao lại có $t_2<X$ nhỉ :(


ĐCG !

#11 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 21-10-2013 - 22:57

Sao lại có $t_2<X$ nhỉ :(

Là do $Y^2+1<X^2 \Rightarrow t_2=\dfrac{Y^2+1}{X} < X$


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#12 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 22-10-2013 - 06:07

Là do $Y^2+1<X^2 \Rightarrow t_2=\dfrac{Y^2+1}{X} < X$

 

Xin lỗi nhưng cho mình hỏi một tí nữa :| $1 \leq Y <X$ sao suy ra được $t_2<X$ ?


ĐCG !

#13 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 22-10-2013 - 21:34

Xin lỗi nhưng cho mình hỏi một tí nữa :| $1 \leq Y <X$ sao suy ra được $t_2<X$ ?

Mình đã nói rồi mà? $1 \le Y <X \Rightarrow Y^2<X^2$. Nếu $Y^2=X^2-1 \Rightarrow (X;Y)=(1;0);(0;1)$: vô lý nên $Y^2<X^2-1 \Rightarrow ...$


  • T M yêu thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh