Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic bất đẳng thức THCS (2)


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 1115 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 01-01-2012 - 09:15

*
Phổ biến

Bất đẳng thức là một dạng toán hay và khó trong chương trình THCS và các bài bất đẳng thức thường là các bài chốt trong các đề tuyển sinh cấp 3. Topic này được lập ra nhằm giúp các bạn cùng trao đổi về các bđt trong chương trình THCS.
Các bất đẳng thức sử dụng trong topic này là.
1. Bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means):
Với các bộ số $a_1;a_2;...;a_n$ không âm ta có: $\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}$
Ta có 3 dạng thường gặp của bđt này là.
Dạng 1: $\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}$
Dạng 2: ${a_1} + {a_2} + ... + {a_n} \ge n\sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}}$
Dạng 3: ${\left( {\frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n}} \right)^n} \ge {a_1}{a_2}...{a_n}$
Dấu "=" xảy ra khi $a_1=a_2=...a_n$
Đối với bđt này ta cần thành thạo kĩ thuật sử dụng bđt AM-GM cho 2 số và 3 số

2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky)
Dạng tổng quát: Cho $a_1;a_2;...a_n;b_1;b_2;...b_n$ là 2n số thực tùy ý khi đó
Dạng 1: $(a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2)\geq (a_1b_1+...+a_n.b_n)^2$ (1)
Dạng 2: $\sqrt{(a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2)}\geq |a_1b_1+...+a_n.b_n|$ (2)
Dạng 3: $\sqrt{(a_1^2+...+a_n^2)(b_1^2+...+b_n^2)}\geq a_1b_1+...+a_n.b_n$ (3)
Dấu "=" xảy ra ở (1)(2) $\Leftrightarrow \frac{a_1}{b_1}=...=\frac{a_n}{b_n}$
Dấu "=" xảy ra ở (3) $\Leftrightarrow \frac{a_1}{b_1}=...=\frac{a_n}{b_n}\geq 0$
Quy ước mẫu bằng 0 thì tử bằng 0
3. BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel hay còn gọi là BĐT Schwarz
Cho $a_1;a_2;...;a_n$ ;$b_1;b_2;...b_n$ là các số $>0$
Ta có: $\frac{x_1^2}{a_1}+\frac{x_2^2}{a_2}+...+\frac{x_n^2}{a_n}\geq \frac{(x_1+x_2+...+x_n)^2}{a_1+a_2+...+a_n}$
Dấu "=" xảy ra khi $\frac{x_1}{a_1}=\frac{x_2}{a_2}...=\frac{x_n}{a_n}$
4. Bất đẳng thức Chebyshev (Trê- bư-sép)
Dạng tổng quát
Nếu $\left\{ \begin{array}{l}
a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_n \\
b_1 \ge b_2 \ge ... \ge b_n \\
\end{array} \right.$
Hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
a_1 \le a_2 \le ... \le a_n \\
b_1 \le b_2 \le ... \ge b_n \\
\end{array} \right.$

Dạng 1:
$\frac{a_1.b_1+a_2.b_2+...+a_n.b_n}{n}\geq \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}.\frac{b_1+b_2+...+b_n}{n}$
Dạng 2: $n(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)\geq (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)$
Nếu $\left\{ \begin{array}{l}
a_1 \le a_2 \le ... \le a_n \\
b_1 \ge b_2 \ge ... \ge b_n \\
\end{array} \right.$

hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
a_1 \ge a_2 \ge ... \ge a_n \\
b_1 \le b_2 \le ... \le b_n \\
\end{array} \right.$
Dạng 1: $\frac{a_1.b_1+a_2b_2+...+a_n.b_n}{n}\leq \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}.\frac{b_1+b_2+...+b_n}{n}$

Dạng 2: $n(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)\leq (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)$
Bất đẳng thức Chebyshev không được sử dụng trực tiếp mà phải chứng minh lại bằng cách xét hiệu

Bất đẳng thức Chebyshev cho dãy số sắp thứ tự, do đó nếu các số chưa sắp thứ tự ta phải giả sử có quan hệ thứ tự giữa các số.
4. Bất đẳng thức Bernoulli
Với $x>-1$; $r\geq 1\vee r\leq 0\Rightarrow (1+x)^r\geq 1+rx$
Nếu $1>r>0$ thì $(1+x)^r\leq 1+rx$
Bất đẳng thức này có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp hoặc sử dụng BĐT AM-GM
5. Bất đẳng thức Netbitt
Ở đây mình chỉ nêu dạng thường dùng
Với x,y,z là các số thực $>0$
Bất đẳng thức Netbitt 3 biến
$\frac{x}{y+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{y}{x+z}\geq \frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z>0
BĐT Netbitt 4 biến
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{d+c}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d>0
6.Bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình điều hòa AM-HM (Arithmetic Means - Hamonic Means)
Nếu $a_1,a_2,...,a_n$ là những số thực dương thì
$\frac{{a_1 + a_2 + ... + a_n }}{n} \ge \frac{n}{{\frac{1}{{a_1 }} + \frac{1}{{a_2 }} + ... + \frac{1}{{a_n }}}}$
Dấu "=" xảy ra khi $a_1=a_2=...=a_n$
7. Bất đẳng thức Schur
Dạng thường gặp
Cho a,b,c là những số không âm
$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$
$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)\geq 0$ với r là số thực dương
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c hoặc a=0 và b=c và các hoán vị
8. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Với mọi số thực x,y ta có $|x+y|\leq |x|+|y|$
Đẳng thức xảy ra khi x,y cùng dấu hay $xy\geq 0$
Với mọi số thực x,y ta có $|x-y|\geq |x|-|y|$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $y(x-y)\geq 0$
9.Bất đẳng thức Mincopxki
Với 2 bộ n số $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ và $b_{1},b_{2},...,b_{m}$ thì :
Dạng 1:$\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+...+\sqrt{a_{m}^{2}+b_{m}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^{2}+(b_{1}+b_{2}+...+b_{m})^{2}}$

Dạng 2: Cho x,y,z,a,b,c là các số dương ta có
$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}$
$\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\leq \sqrt{(a+b)(c+d)}$
Những lời khuyên bổ ích khi học bất đẳng thức
1. Nắm chắc các tính chất cơ bản của BĐT.
2. Nắm vững các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức cơ bản như: Cân bằng hệ số, biến đổi tương đương, làm trội, sử dụng BĐT cổ điển , quy nạp,phản chứng,...
3.Đặc biệt luôn chú trọng vào ôn tập các kĩ thuật sử dụng BĐT AM-GM, Cauchy-Schwarz, luôn biết đặt và trả lời các câu hỏi như: khi nào áp dụng? điều kiện các biến là gì? dấu "=" xảy ra khi nào? nếu áp dụng thế dấu "=" có xảy ra không, tại sao lại thêm bớt như vậy,...
4. Luôn bắt đầu với những bất đẳng thức cơ bản (điều này vô cùng quan trọng); học thuộc một số BĐT cơ bản có nhiều ứng dụng nhưng phải chú ý điều kiện áp dụng.

Chúc các bạn thành công!!! ^_^

______________

Bài 1: Cho a,b,c là 3 số thực duong thỏa $ab+bc+ac=3$
CMR: $$\dfrac{a}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{b}{{2b^2 + ac}} + \dfrac{c}{{2c^2 + ba}} \ge abc$$
Bài 2:Cho a,b,c,d là các số thực thỏa: $a^2+b^2+c^2+d^2=1$
CMR: $$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq abcd$$
Bài 3: Cho x,y,z > 0
CMR: $$\dfrac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\dfrac{2\sqrt{y}}{x^3+z^2}+\dfrac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\leq \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-01-2012 - 15:45

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#2 HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C THPT NINH GIANG-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Đã gửi 01-01-2012 - 10:45

Bái 1: Cho a,b,c là 3 số thực duong thỏa $ab+bc+ac=3$
CMR: $$\dfrac{a}{{2a^2 + bc}} + \dfrac{b}{{2b^2 + ac}} + \dfrac{c}{{2c^2 + ba}} \ge abc$$
Bài 3: Cho x,y,z > 0
CMR: $$\dfrac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\dfrac{2\sqrt{y}}{x^3+z^2}+\dfrac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\leq \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}$$

Bái 1$\sum \dfrac{a}{2a^{2}+bc}=\sum \dfrac{abc}{2a^{2}bc+b^{2}c^{2}}\geq \dfrac{9abc}{(ab+bc+ca)^{2}}=abc$
Bài 3$\sum \dfrac{2\sqrt{x}}{x^{3}+y^{2}}\leq \sum \dfrac{2\sqrt{x}}{2x\sqrt{x}y}= \sum \dfrac{1}{xy}\leq \sum \dfrac{1}{x^{2}}$

#3 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 01-01-2012 - 11:20

Bài 4: Cho x,y,z > 0, n thuộc N* ; xyz=1. CM
$$(\dfrac{1+x}{2})^n+(\dfrac{1+y}{2})^n+(\dfrac{1+z}{2})^n\geq 3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-01-2012 - 18:51

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#4 cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sky Math
  • Sở thích:Sky maths

Đã gửi 01-01-2012 - 12:32

Anh Đạt chém hăng quá định cho mấy bạn cấp 2 làm <_<
Bài 4: Cho x,y,z > 0, n thuộc N* ; xyz=1. CM
$$(\dfrac{1+x}{2})^n+(\dfrac{1+y}{2})^n+(\dfrac{1+z}{2})^n\geq 3$$

để em chém bài này! :icon6:
Áp dụng AM-GM ta có được:
$(\dfrac{1+x}{2})^n+(\dfrac{1+y}{2})^n+(\dfrac{1+z}{2})^n\geq (\sqrt{x})^{n}+(\sqrt{y})^{n}+(\sqrt{z})^{n}= x^{\dfrac{n}{2}}+y^{\dfrac{n}{2}}+z^{\dfrac{n}{2}}\ge 3\sqrt[3]{(xyz)^{\dfrac{n}{2}}}= 3 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 01-01-2012 - 15:07

Hình đã gửi


#5 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 01-01-2012 - 16:40

Bài 2:Cho a,b,c,d là các số thực thỏa: $a^2+b^2+c^2+d^2=1$
CMR: $$(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)\geq abcd$$

Đây là bài tổng quát cho bài này:
Tổng quát: Cho $n>2$.TÌm hằng số $k_{n}$ tốt nhất sao cho với $n$ số dương $a_1;a_2;...;a_n$ thỏa mãn:$\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^2 =1$ thì ta có BĐT sau:
$$\prod_{i=1}^{n}(1-a_{i}) \ge k_{n}\prod_{i=1}^{n}a_{i}$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#6 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 01-01-2012 - 18:20

Mình post mấy bài mọi người vào làm nhé:

Bài 5: Cho các số $a,b,c\ge 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:
\[({a^2} - ab + {b^2})({b^2} - bc + {c^2})({c^2} - ca + {a^2}) \le 12\]

Bài 6: Cho các $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm MAX của:
\[P = a{b^2} + b{c^2} + c{a^2} - abc\]

Bài 7: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh:
\[\dfrac{{ab}}{{a + 3b + 2c}} + \dfrac{{bc}}{{b + 3c + 2a}} + \dfrac{{ca}}{{c + 3a + 2b}} \le \dfrac{{a + b + c}}{6}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 01-01-2012 - 19:32

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#7 HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C THPT NINH GIANG-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Đã gửi 01-01-2012 - 19:03

Bài 6: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Tìm MAX của:
\[P = a{b^2} + b{c^2} + c{a^2} - abc\]


Bài 6

Không mất tính tổng quát giả sử b nằm giữa a và c ta có $(b-a)(b-c)\leq 0$
$P=ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}-abc=b(a^{2}+c^{2})+a(b-a)(b-c)\leq \dfrac{(a^{2}+c^{2}+2b)^{2}}{8}\leq \dfrac{(a^{2}+b^{2}+c^{2}+1)^{2}}{8}=2$(AM-GM)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 20-05-2012 - 20:21


#8 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 01-01-2012 - 19:12

Bài 6
Không mất tính tổng quát giả sử b nằm giữa a và c ta có $(b-a)(b-c)\leq 0$
$P=ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}-abc=b(a^{2}+c^{2})+a(b-a)(b-c)\leq \dfrac{(a^{2}+c^{2}+2b)^{2}}{8}\leq \dfrac{(a^{2}+b^{2}+c^{2}+1)^{2}}{8}=2$(AM-GM)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Anh Đạt còn thiếu một trường hợp dấu "=" tại $a=0;b=1;c=\sqrt{2}$ và các hoán vị nữa

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#9 HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C THPT NINH GIANG-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Đã gửi 01-01-2012 - 19:30

Cảm ơn Huy,đúng ra là
$P\leq b(a^{2}+c^{2})=2\sqrt{b^{2}.\dfrac{a^{2}+c^{2}}{2}.\dfrac{a^{2}+c^{2}}{2}}\leq 2\sqrt{(\dfrac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{6})^{3}}=2$ ^_^

#10 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-01-2012 - 19:55

Bài 7: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh:
\[\dfrac{{ab}}{{a + 3b + 2c}} + \dfrac{{bc}}{{b + 3c + 2a}} + \dfrac{{ca}}{{c + 3a + 2b}} \le \dfrac{{a + b + c}}{6}\]

Bài 7

Đặt cả VT = A
Ta có$\dfrac{ab}{a+3b+2c}=\dfrac{ab}{(a+c)+(b+c)+2b}\leq \dfrac{ab}{9}(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{2b})$
Tương tự 2 cái còn lại
$A\leq \dfrac{1}{9}(\dfrac{bc+ac}{a+b}+\dfrac{bc+ab}{a+c}+\dfrac{ab+ac}{b+c})+\dfrac{1}{18}(a+b+c)$
Suy ra
$A\leq \dfrac{1}{9}(a+b+c)+\dfrac{1}{18}(a+b+c)=\dfrac{a+b+c}{6}$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 20-05-2012 - 20:22

Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#11 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 01-01-2012 - 21:25

Bài 4: Cho x,y,z > 0, n thuộc N* ; xyz=1. CM
$$(\dfrac{1+x}{2})^n+(\dfrac{1+y}{2})^n+(\dfrac{1+z}{2})^n\geq 3$$
Cách làm khác
Sử dụng BĐT $\dfrac{x^n+y^n+z^n}{3}\geq (\dfrac{x+y+z}{3})^n$
Áp dụng: $VT\geq (\dfrac{3+x+y+z}{6})^n\geq (\dfrac{3+3\sqrt[3]{xyz}}{6})= (\dfrac{3+3}{6})^n=1$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#12 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 02-01-2012 - 10:08

Câu 8: Cho a,b 2 số dương:
Tìm GTNN của $$P =\dfrac{\sqrt{1+a^2}.\sqrt{1+b^2}}{1+ab}$$
Câu 9: Cho x,y,z là những số thực thỏa $|x|\leq 1;|y|\leq 1;|z|\leq 1$
Chứng minh: $\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-z^2}\leq \sqrt{9-(x+y+z)^2}$
2 câu 8,9 nằm trong đề thi chuyên toán - tin trường Phổ Thông Năng Khiếu (ĐHQGTPHCM) năm 2010-2011 nói chung cũng khá dễ :)
Câu 10: Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa $ab+bc+ac=1$
Tìm GTNN của: $$L=\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}+\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{\sqrt{b^2+1}.\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}$$ (Chuyên toán TPHCM năm 2010-2011)

Còn bài 5 chưa làm được ức thật :angry:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-01-2012 - 11:56

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#13 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 02-01-2012 - 10:52

Câu 9: Cho x,y,z là những số thực thỏa $|x|\leq 1;|y|\leq 1;|z|\leq 1$
Chứng minh: $\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-z^2}\leq \sqrt{9-(x+y+z)^2}$

Bài 9:

Bình phương 2 vế của bđt ban đầu ta được:

\[3 - {x^2} - {y^2} - {z^2} + 2\sum {\sqrt {(1 - {x^2}){{(1 - y)}^2}} } \le 9 - {(x + y + z)^2}\]

\[ \Leftrightarrow - ({x^2} + {y^2} + {z^2}) + 2\sum {\sqrt {(1 - {x^2})(1 - {y^2}} } \le 6 - {x^2} - {y^2} - {z^2} - 2xy - 2xz - 2yz\]

\[ \Leftrightarrow xy + xz + yz + \sum {\sqrt {(1 - {x^2})(1 - {y^2})} } \le 3\]

Vì $\left| x \right| \le 1;\left| y \right| \le 1;\left| z \right| \le 1$ nên các số $1-x^2;1-y^2;1-z^2$ là các số dương. Do đó áp dụng bđt AM-GM và bđt $x^2+y^2+z^2 \ge xy+xz+yz$ ta có:

\[xy + xz + yz + \sum {\sqrt {(1 - {x^2})(1 - {y^2})} } \le {x^2} + {y^2} + {z^2} + \dfrac{{6 - 2({x^2} + {y^2} + {z^2})}}{2} = 3\]

Vậy ta có ĐPCM.

Dấu "=" xảy ra khi$x=y=z$ mà $\left| x \right| \le 1;\left| y \right| \le 1;\left| z \right| \le 1$

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#14 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 02-01-2012 - 11:07

Câu 10: Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa $ab+bc+ac=1$
Tìm GTNN của: $$L=\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{b^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}+\dfrac{\sqrt{a^2+1}.\sqrt{c^2+1}}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{\sqrt{b^2+1}.\sqrt{a^2+1}}{\sqrt{c^2+1}}$$

Cho em xử luôn bài 10.
Bài 10:

Ta có:

\[L= \sum {\dfrac{{\sqrt {({a^2} + 1)({b^2} + 1)} }}{{\sqrt {{c^2} + 1} }}} = \sum {\dfrac{{\sqrt {({a^2} + ab + ac + bc)({b^2} + ab + ac + bc)} }}{{\sqrt {{c^2} + ab + ac + bc} }}} \]
\[= \sum {\dfrac{{\sqrt {(a + b)(a + c)(b + a)(b + c)} }}{{\sqrt {(c + a)(c + b)} }}} \]

Do đó: $L = \sum {a + b} = 2(a + b + c)$

Tới đây ta áp dụng bất đẳng thức $a+b+c \ge \sqrt{3(ab+ac+bc)}$ ta được:

$L = 2(a + b + c) \ge 2\sqrt {3(ab + ac + bc)} = 2\sqrt 3 $

$\Rightarrow L_{\min}=2\sqrt 3 \Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 02-01-2012 - 11:11

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#15 HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C THPT NINH GIANG-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Đã gửi 02-01-2012 - 11:24

Bài 5:Trong quyển "Sáng tạo bất đẳng thức" trang 105
Bài 10:$\sum \dfrac{\sqrt{a^{2}+1}\sqrt{b^{2}+1}}{\sqrt{c^{2}+1}}= 2(a+b+c)\geq 2\sqrt{3(a+bc+ca)}=2\sqrt{3}$

#16 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 02-01-2012 - 12:13

Bài 7 lúc nãy gõ nhầm đã sửa lại :)
Bài 11: Cho a,b,c là 3 số thực dương. Chứng minh rằng:
$\sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{b^2+(1-c)^2}+\sqrt{c^2+(1-a)^2}\geq \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Bài 12: Cho x,y>0. Tìm GTNN của f(x;y)=$\dfrac{(x+y)^3}{xy^2}$

Bài 13: Cho x,y,z thực dương thỏa mãn $x+y+z=\dfrac{3}{2}$
CMR: $\dfrac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{4yz+1}+\dfrac{\sqrt{y^2+yz+z^2}}{4xz+1}+\dfrac{\sqrt{z^2+xz+x^2}}{4xy+1}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
Bài này khá hay :D
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#17 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-01-2012 - 17:36

Câu 8: Cho a,b 2 số dương:
Tìm GTNN của $$P =\dfrac{\sqrt{1+a^2}.\sqrt{1+b^2}}{1+ab}$$

Bài 8 :
Áp dụng Cauchy-Schwarz
$P=\dfrac{\sqrt{{1+a^2}}.\sqrt{1+b^2}}{1+ab}= \dfrac{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}}{1+ab}\geq \dfrac{1+\left | ab \right |}{1+ab}$$=1$( a,b dương )
Vậy $Pmin = 1$ khi a=b

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 20-05-2012 - 20:25

Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#18 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 02-01-2012 - 18:23

Bài 8 :
Áp dụng Cauchy-Schwarz
$P=\dfrac{\sqrt{{1+a^2}}.\sqrt{1+b^2}}{1+ab}= \dfrac{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}}{1+ab}\geq \dfrac{1+\left | ab \right |}{1+ab}$$=1$( a,b dương )
Vậy $Pmin = 1$ khi a=b

Bài này mình nghĩ khi đi thi sử dụng AM-GM thì hay hơn vì muốn sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz thì phải chứng minh lại :closedeyes:
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#19 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 02-01-2012 - 18:41

xin tiếp thu
có cách nào hay cho tham khảo với

Đầy là cách mình làm hồi đi thi :)
$P=\dfrac{\sqrt{1+a^2+b^2+a^2b^2}}{1+ab}\geq \dfrac{\sqrt{1+ab+ab+a^2b^2}}{1+ab}=\dfrac{\sqrt{(1+ab)+ab(ab+1)}}{1+ab}=\dfrac{\sqrt{(ab+1)(ab+1)}}{ab+1}=1$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#20 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 02-01-2012 - 18:57

Bài 9:
Cách khác: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz
VT$\leq \sqrt{3(3-(x^2+y^2+z^2)}\leq \sqrt{9-3.\dfrac{(x+y+z)^2}{3}}=\sqrt{9-(x+y+z)^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 20-05-2012 - 20:27

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh