Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic bất đẳng thức THCS (2)


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 1115 trả lời

#41 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4123 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 04-01-2012 - 22:10

Bài 23:
Cần chứng minh:
\[\dfrac{a}{{{{\left( {ab + a + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{b}{{{{\left( {bc + b + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{c}{{{{\left( {ac + c + 1} \right)}^2}}} \ge \dfrac{1}{{a + b + c}}{\rm{ }}\left( 1 \right)\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\dfrac{b}{{{{\left( {bc + b + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{b}{{{{\left( {\dfrac{1}{a} + b + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{a^2}b}}{{{{\left( {ab + a + 1} \right)}^2}}} \\
\dfrac{c}{{{{\left( {ac + c + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{c}{{{{\left( {\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{{ab}} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{c.{a^2}{b^2}}}{{{{\left( {ab + a + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ab}}{{{{\left( {ab + a + 1} \right)}^2}}} \\
\Rightarrow \dfrac{a}{{{{\left( {ab + a + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{b}{{{{\left( {bc + b + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{c}{{{{\left( {ac + c + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{a + {a^2}b + ab}}{{{{\left( {ab + a + 1} \right)}^2}}} \\
\dfrac{1}{{a + b + c}} = \dfrac{1}{{a + b + \dfrac{1}{{ab}}}} = \dfrac{{ab}}{{{a^2}b + a{b^2} + 1}} \\
\end{array}\]
Do đó:
\[\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{a + {a^2}b + ab}}{{{{\left( {ab + a + 1} \right)}^2}}} \ge \dfrac{{ab}}{{{a^2}b + a{b^2} + 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{ab + b + 1}}{{{{\left( {ab + a + 1} \right)}^2}}} \ge \dfrac{b}{{{a^2}b + a{b^2} + 1}} \\
\Leftrightarrow \left( {ab + b + 1} \right)\left( {{a^2}b + a{b^2} + 1} \right) \ge b{\left( {ab + a + 1} \right)^2} \\
\Leftrightarrow {a^3}{b^2} + a{b^3} + 1 \ge {a^2}{b^2} + a{b^2} + ab \\
\Leftrightarrow a{b^2}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {ab - 1} \right)^2} + ab{\left( {b - 1} \right)^2} \ge 0:True \Rightarrow Q.E.D \\
\end{array}\]
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#42 yeutoan11

yeutoan11

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 307 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-01-2012 - 12:12

Bài 22: Nâng độ khó chút vậy :D
Cho a,b,c,d thuộc [0;1]. Tìm GTLN của $\dfrac{a}{bcd+1}+\dfrac{b}{acd+1}+\dfrac{c}{abd+1}+\dfrac{d}{abc+1}$

Bài 22
VT = A
Để ý thấy $bcd \geq abcd$
Vậy $A \leq \dfrac{a+b+c+d}{abcd + 1}$
Lại có $a+b \leq ab + 1$
$c+d \leq cd + 1$
$ab+cd \leq abcd + 1$
Suy ra $a+b+c+d\leq abcd+3\leq 3abcd + 3=3(abcd + 1)$
Vậy $A \leq 3$ khi 3 số bằng $1$ và một số bằng $0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 20-05-2012 - 20:38

Dựng nước lấy việc học làm đầu. Muốn thịnh trị lấy nhân tài làm gốc.
NGUYỄN HUỆ
Nguyễn Trần Huy
Tự hào là thành viên VMF

#43 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 05-01-2012 - 15:13

Bài 24: Cho x $\in (-1;1)$ Tìm GTNN của biểu thức
A = $\dfrac{5-3x}{\sqrt{1-x^2}}$
Bài 25: Cho a,b,c là 3 số thực dương. CMR: $a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$
Bài 26: Tìm min S =$(1+\dfrac{a}{3b})(1+\dfrac{b}{3c})(1+\dfrac{c}{3a})$ với a,b,c >0
Bài 27: Cho a,b,c > 0. CMR:$ \dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\geq \dfrac{a+b+c}{2}$
Bài 28: Cho a,b,c > 0 và a + b+c = 2012. Tìm GTNN của
$K=\dfrac{a^4}{a^2+b^2}+\dfrac{b^4}{b^2+c^2}+\dfrac{c^4}{c^2+a^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 05-01-2012 - 15:42

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#44 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4123 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 05-01-2012 - 15:20

Bài 23:
Lời giải khác:
Đặt \[a = \dfrac{x}{y};b = \dfrac{y}{z};c = \dfrac{z}{x}\left( {x;y;z} \right) > 0\]
\[\begin{array}{l}
bdt \Leftrightarrow \dfrac{{xy{z^2}}}{{{{\left( {xy + xz + yz} \right)}^2}}} + \dfrac{{{x^2}yz}}{{{{\left( {xy + xz + yz} \right)}^2}}} + \dfrac{{x{y^2}z}}{{{{\left( {xy + yz + xz} \right)}^2}}} \ge \dfrac{{xyz}}{{{x^2}z + {y^2}x + y{z^2}}} \\
\Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {x{y^2} + y{z^2} + z{x^2}} \right) \ge {\left( {xy + xz + yz} \right)^2} \\
\Leftrightarrow {x^3}z + {y^3}x + {z^3}y \ge xyz\left( {x + y + z} \right) \\
\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{y} + \dfrac{{{y^2}}}{z} + \dfrac{{{z^2}}}{x} \ge x + y + z \\
\end{array}\]
BĐT cuối đúng theo Cauchy-Schwart nên ta có đpcm.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#45 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 05-01-2012 - 15:59

Bài 27: Cho a,b,c > 0. CMR:$ \dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^2}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\geq \dfrac{a+b+c}{2}$
Bài 28: Cho a,b,c > 0 và a + b+c = 2012. Tìm GTNN của
$K=\dfrac{a^4}{a^2+b^2}+\dfrac{b^4}{b^2+c^2}+\dfrac{c^4}{c^2+a^2}$

Bài 27:
Ta có:
\[VT = \sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{a^3}}}{{{a^2} + {b^2}}}} = \sum\limits_{cyc} {\left( {a - \dfrac{{a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)} \ge \sum\limits_{cyc} {\left( {a - \dfrac{{a{b^2}}}{{2ab}}} \right)} = \sum\limits_{cyc} {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)} = \dfrac{{a + b + c}}{2}\]
Vậy ta có ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$


Bài 28:
Ta có:
\[K = \sum\limits_{cyc} {\dfrac{{{a^4}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \ge \sum\limits_{cyc} {\left( {{a^2} - \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)} \ge \sum\limits_{cyc} {\left( {{a^2} - \dfrac{{{a^2}{b^2}}}{{2ab}}} \right)} = \sum\limits_{cyc} {\left( {{a^2} - \dfrac{{ab}}{2}} \right)} \]
Ta có:
${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3} = \dfrac{{{{2012}^2}}}{3}$

$ab + ac + bc \le \dfrac{{{{(a + b + c)}^2}}}{3} = \dfrac{{{{2012}^2}}}{3}$
Vậy:
\[K \ge \sum\limits_{cyc} {\left( {{a^2} - \dfrac{{ab}}{2}} \right)} \ge \dfrac{{{{2012}^2}}}{3} - \dfrac{{{{2012}^2}}}{6} = \dfrac{{{{2012}^2}}}{6} \Rightarrow {K_{\min }} = \dfrac{{{{2012}^2}}}{6} \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{{2012}}{3}\]

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#46 HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C THPT NINH GIANG-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Đã gửi 05-01-2012 - 15:59

Bài 25:Bất đẳng thức hoán vị
Bài 26:Áp dụng Holder ta có:$S\geq (1+\dfrac{1}{3})^{3}=\dfrac{64}{27}$
Bài 27 và Bài 28:Dùng AM-GM ngược dấu

#47 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 05-01-2012 - 16:15

Mấy bài này không cần dùng kiến cao siêu quá đâu :D
Bài 25:
$2VT \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$
$\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)$
$\geq 2a^2\sqrt{bc}+2b^2\sqrt{ac}+2c^2\sqrt{ab}=2(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})$
Từ đây ta có đpcm
Bài 26 còn cách dùng AM-GM mọi người nghĩ tiếp nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 05-01-2012 - 21:06

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#48 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4123 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 05-01-2012 - 21:04

Bài 26:
Lời giải khác:
\[1 + \dfrac{a}{{3b}} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{a}{{3b}} \ge 4\sqrt[4]{{\dfrac{a}{{81b}}}} = \dfrac{4}{3}\sqrt[4]{{\dfrac{a}{b}}}\]
Tương tự, ta có:
\[\begin{array}{l}
1 + \dfrac{b}{{3c}} \ge \dfrac{4}{3}\sqrt[4]{{\dfrac{b}{c}}};1 + \dfrac{c}{{3a}} \ge \dfrac{4}{3}\sqrt[4]{{\dfrac{c}{a}}} \\
\Rightarrow S = \left( {1 + \dfrac{a}{{3b}}} \right)\left( {1 + \dfrac{b}{{3c}}} \right)\left( {1 + \dfrac{c}{{3a}}} \right) \ge \dfrac{4}{3}\sqrt[4]{{\dfrac{a}{b}}}.\dfrac{4}{3}\sqrt[4]{{\dfrac{b}{c}}}.\dfrac{4}{3}\sqrt[4]{{\dfrac{c}{a}}} = \dfrac{{64}}{{27}} \\
\end{array}\]
Đẳng thức xảy ra khi
\[\dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{{3b}} = \dfrac{b}{{3c}} = \dfrac{c}{{3a}} \Leftrightarrow a = b = c > 0\]
Do đó, \[ \min S=\dfrac{64}{27} \]
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#49 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 05-01-2012 - 21:55

Bài 29: Cho a,b là 2 số thực dương thay đổi thoả mãn $(1+a)(1+b)=\dfrac{9}{4}$
Tìm GTNN của P = $\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}$ (chuyên KHTN - 2010 vòng 1)
Bài 30: Cho x,y,z là 3 số thực dương thoả $x+y+z=1$
CMR: $\dfrac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\geq 1$
(Chuyên KHTN vòng 2 - 2010)
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#50 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 05-01-2012 - 23:23

Làm nốt bài này vậy :)
Bài 24:
Cách 1: $A^2=\dfrac{25-30x+9x^2}{1-x^2}=\dfrac{(3-5x)^2}{1-x^2}+16\geq 16$
$\Rightarrow A\geq 4$ dấu "=" xảy ra khi $x=\dfrac{3}{5}$
Cách 2:
$A=\dfrac{1+x-4x+4}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{(1+x)+4(1-x)}{\sqrt{1-x^2}}\geq \dfrac{4\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}=4$
C3: Dùng KSHS. Do đây là topic BĐT THCS nên mình không nêu cách này ở đây :)
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#51 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 06-01-2012 - 18:33

Bài 31: Cho $a^3+b^3=2$. Chứng minh rằng $0<a+b\le 2$
(chuyên toán TPHCM năm học 2008-2009)
Việc Chứng minh $a+b>0$ khá dễ nên mình sẽ chứng minh trước.
Ta có: \[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2 ) = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a + b \ne 0 \\
a^2 - ab + b^2 \ne 0 \\
\end{array} \right.
\]

Mà $a^2 - ab + b^2 = (a - \dfrac{b}{2})^2 + \dfrac{3}{4}b^2 \ge 0 \Rightarrow a^2 - ab + b^2 > 0 \Rightarrow a + b > 0$

Cách khác: $a^3 + b^3 = 2 > 0 \Rightarrow a > - b \Leftrightarrow a + b > 0$
Phần chứng minh $a + b \le 2$ theo mình được biết thì có khá nhiều học sinh không tìm ra lời giải.
Tuy nhiên phần chứng minh này có khá nhiều cách mọi người thử suy nghĩ nhé!! :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 06-01-2012 - 21:28

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#52 HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C THPT NINH GIANG-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Đã gửi 06-01-2012 - 19:02

Bài 30: Cho x,y,z là 3 số thực dương thoả $x+y+z=1$
CMR: $\dfrac{\sqrt{xy+z}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\geq 1$
(Chuyên KHTN vòng 2 - 2010)

$VT\geq \dfrac{\sqrt{xy+z}+x+y}{1+\sqrt{xy}}\geq 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{xy+z}\geq z+\sqrt{xy}\Leftrightarrow 1\geq z+2\sqrt{xy}\Leftrightarrow x+y+z\geq z+2\sqrt{xy}$(đúng theo AM-GM)

#53 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4123 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 06-01-2012 - 21:07

Bài 25: Chứng minh $a+b \leq 2$
Theo bđt B.C.S, ta có:
\[\left( {a + b} \right)\left( {{a^3} + {b^3}} \right) \ge {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} \ge {\left[ {\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}} \right]^2} \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^3} \le 4\left( {{a^3} + {b^3}} \right) = 8 \Leftrightarrow a + b \le 2\]
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#54 Mai Duc Khai

Mai Duc Khai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 617 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa

Đã gửi 06-01-2012 - 21:08

Phần chứng minh $a + b \le 2$ theo mình được biết thì có khá nhiều học sinh không tìm ra lời giải.
Tuy nhiên phần chứng minh này có khá nhiều cách mọi người thử suy nghĩ nhé!! :D


Chia sẻ cùng mọi người:

Đặt \[a = \left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow x = a - 1;b = \left( {y + 1} \right) \Leftrightarrow y = b - 1\]
\[ \Rightarrow {a^3} + {b^3} = {\left( {x + 1} \right)^3} + {\left( {y + 1} \right)^3} = 2\]
\[ \Leftrightarrow {x^3} + {y^3} + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 3\left( {x + y} \right) = 0\]
Mặt khác: \[3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \ge 0 \Rightarrow {x^3} + {y^3} + 3\left( {x + y} \right) \le 0\]
\[ \Rightarrow \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2} + 3} \right) \le 0\]
Lại có:\[{x^2} - xy + {y^2} + 3 = {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}{b^2} + 3 > 0\]
\[ \Rightarrow x + y \le 0 \Leftrightarrow a - 1 + b - 1 \le 0 \Leftrightarrow a + b \le 2\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 20-05-2012 - 20:39

Tra cứu công thức toán trên diễn đàn


Học gõ Latex $\to$ Cách vẽ hình trên VMF


Điều mà mọi thành viên VMF cần phải biết và tuân thủ

______________________________________________________________________________________________

‎- Luật đời dạy em cách Giả Tạo
- Đời xô ... Em ngã
- Đời nham ... Em hiểm

- Đời chuyển ... Em xoay

Đời cay ... Em đắng


#55 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 06-01-2012 - 21:25

Anh có ý kiến thế này với Kiên và mọi người tham gia topic:Các bạn khi giải xong 1 bài thì hãy thử suy nghĩ xem liệu có thể tổng quát được bài đó hay không (nâng lên thành $n$ biến hay với số mũ $n$....).Làm như vậy sẽ giúp các bạn trao đổi được nhiều kiến thức hơn :D.Như bài này:

Bài 20: Cho 3 số a,b,c thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1
Tìm GTNN của $\dfrac{1}{a^4(b+a)}+\dfrac{1}{c^4(a+c)}+\dfrac{1}{b^4(b+c)}$

Ta có thể đưa ra bài toán tổng quát tương tự với số mũ thực:
Tổng quát:
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$ và 1 số $\alpha \ge 2$.Tìm GTNN của:
$$P=\dfrac{1}{a^{\alpha}(b+c)}+\dfrac{1}{b^{\alpha}(c+a)}+\dfrac{1}{c^{\alpha}(a+b)}$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#56 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 06-01-2012 - 21:43

Cám ơn ý kiến anh Phúc. Em không giỏi phần tổng quát cho lắm (nói chung là dở) có gì anh giúp đỡ em nhé! :D

Xin lỗi mọi người nhé nãy bài 31 đánh nhầm thành 25 (đã sửa)
Bài 31:
Cách 3: Ta có $2=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$=(a+b)[\dfrac{1}{4}(a+b)^2+\dfrac{3}{4}(a-b)^2]\geq \dfrac{1}{4}(a+b)^3\Rightarrow (a+b)^3\leq 8\Leftrightarrow a+b\leq 2$
Cách này khá giống cách của Perfectstrong biến đổi hơn khác tí :)
Cách 4: Ta có: $ab=\dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}\Rightarrow 2=a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$
$=(a+b)^3-\dfrac{3}{4}(a+b)^3+\dfrac{3}{4}(a-b)^2(a+b)\geq \dfrac{(a+b)^3}{4}$
$\Rightarrow (a+b)^3\leq 8\Rightarrow a+b\leq 2$
Cách 5: Từ $ab\leq \dfrac{(a+b)^2}{4}\Rightarrow -3ab(a+b)\geq \dfrac{-3(a+b)^3}{4}$
Ta có: $2=a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)\geq (a+b)^3-\dfrac{3(a+b)^3}{4}=\dfrac{(a+b)^3}{4}$$\Rightarrow \dfrac{(a+b)^3}{4}\leq 2\Rightarrow a+b\leq 2$

Cách 6: Từ$a+b>0\Rightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0\Rightarrow (a+b)(a^2+b^2-ab)\geq ab(a+b)$
$\Rightarrow 3(a^3+b^3)\geq 3a^2b+3ab^2\Rightarrow (a+b)^3\leq 8\Rightarrow 2\geq a+b$
Cách 7:
Ta có: $(a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2\geq 0\Rightarrow (a^2-ab+b^2)-(a+b)+1\geq 0$
$\Rightarrow a^3+b^3-(a+b)^2+a+b\geq 0\Rightarrow (a+b)^2-(a+b)-2\leq 0$
$\Rightarrow (a+b+1)(a+b-2)\leq 0\Leftrightarrow a+b\leq 2$
Cách 8:
Trong 2 số giả sử 1 số không âm không mất tính tổng quát giả sử a<0 và b>0
$\Rightarrow b^3>2\Rightarrow b>1\Rightarrow a^2+b^2-ab>1\Rightarrow a^3+b^3>a+b\Rightarrow 2>a+b$
Xét cả số không âm nghĩa là a,b$\geq 0$ (*)
Tới đây có 2 cách: :D
Hướng 1:
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\Rightarrow a^2\geq b^2$
Áp dụng BĐT Trê-bư-sep cho bộ dãy đơn điệu tăng
$a.a^2+b.b^2\geq \dfrac{(a+b)}{2}.(a^2+b^2)\geq \dfrac{a+b}{2}\dfrac{(a+b)^2}{2}\Leftrightarrow 8=a^3+b^3\geq (a+b)^3$
$\Rightarrow 2\geq a+b$ (1)
Hướng 2:
Áp dụng BĐT Am-GM ta có
$a^3+1+1\geq 3a$
$b^3+1+1\geq 3b$
Do đó $a^3+b^3+4\geq 3(a+b)\Rightarrow a+b\leq 2$ (1')

Từ (*)(1) hoặc (*)(1') ta có Đpcm
Trên đây là 1 số cách giải khác nhau cho 1 bài toán. Hy vọng còn nhiều hướng giải quyết khác nhau từ các bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 07-01-2012 - 00:30

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#57 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4123 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 06-01-2012 - 22:07

Anh có ý kiến thế này với Kiên và mọi người tham gia topic:Các bạn khi giải xong 1 bài thì hãy thử suy nghĩ xem liệu có thể tổng quát được bài đó hay không (nâng lên thành $n$ biến hay với số mũ $n$....).Làm như vậy sẽ giúp các bạn trao đổi được nhiều kiến thức hơn :D.Như bài này:

Ta có thể đưa ra bài toán tổng quát tương tự với số mũ thực:
Tổng quát:
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$ và 1 số $\alpha \ge 2$.Tìm GTNN của:
$$P=\dfrac{1}{a^{\alpha}(b+c)}+\dfrac{1}{b^{\alpha}(c+a)}+\dfrac{1}{c^{\alpha}(a+b)}$$

Mà anh Phúc cho em hỏi là nếu số mũ là số vô tỷ thì sao hả anh?
Em mới học được số mũ hữu tỷ và âm thôi. Anh có thể giải thích được không?
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#58 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 06-01-2012 - 22:08

Góp vào Topic của Kiên một bài:

Bài 32 :
Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa $a,b,c < 4$.
Chứng minh bất đẳng thức: $$\dfrac{1}{4-a}+\dfrac{1}{4-b}+\dfrac{1}{4-c}\geq \dfrac{3}{4}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{16}$$

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#59 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 06-01-2012 - 22:24

Mà anh Phúc cho em hỏi là nếu số mũ là số vô tỷ thì sao hả anh?
Em mới học được số mũ hữu tỷ và âm thôi. Anh có thể giải thích được không?

Số mũ vô tỷ không thể biểu diễn dưới dạng căn số hay phân thức.Chẳng hạn:$3^{\pi}$ không thể biểu diễn dưới bất kỳ biểu thức chứa căn thức nào :D
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#60 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 07-01-2012 - 00:20

Bài 33:
Cho a,b,c >0. CMR: $\dfrac{1}{a(1+b)}+\dfrac{1}{b(1+c)}+\dfrac{1}{c(1+a)}\geq \dfrac{3}{1+abc}$
Chuyên toán Trần Phú hải Phòng 2001-2002 bài này hình như nằm trong đề thi VMO TPHCM thì phải
Tổng quát ta có: Với a,b,c>0
CMR: $\dfrac{1}{a(m+b)}+\dfrac{1}{b(m+c)}+\dfrac{1}{c(m+a)}\geq \dfrac{3m}{m^3+abc}$ (m>0)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 09-03-2012 - 20:40

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh