Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic bất đẳng thức THCS (2)


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 1115 trả lời

#721 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 21-05-2012 - 00:41

Bài 364: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $ab+bc+ac=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b+c}\geq 2$$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#722 Nguyễn Hữu Huy

Nguyễn Hữu Huy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cờ Đỏ
  • Sở thích:no

Đã gửi 21-05-2012 - 10:37

Bài 364: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $ab+bc+ac=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b+c}\geq 2$$


Đk ko âm phải chưa anh !???
BĐT tương đương với

$\sum a + \sum \frac{ab}{a + b} + \frac{1}{a + b + c} \geq 2$

Ko mất tính tổng quát , giả sử $a \geq b \geq c$
Ta có
$\frac{bc}{b + c} + \frac{ac}{a + c} \geq 0$

Cần cm

$\sum a + \frac{ab}{a + b} + \frac{1}{a + b + c} \geq 2$

Ta thấy rằng

$\sum a + \frac{ab}{a + b} + \frac{1}{a + b + c} \geq \sum a + \frac{c^2 + 1}{a + b + c} \geq 2\sqrt{c^2 + 1} \geq 2$

Xảy ra khi a = b = 1 ; c = 0

Sai ko biết ! Nếu có ai các huynh thông cảm đệ nhé ! Chớ thực dương cả thì em bó tay !

P . I = A . 22


#723 Nguyễn Hữu Huy

Nguyễn Hữu Huy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Cờ Đỏ
  • Sở thích:no

Đã gửi 21-05-2012 - 10:38

Bài 365: Cho các số thực dương x , y , z
CMR :
$\sum \frac{1}{(x + y)^2} \geq \frac{27}{4(x + y + z)}$
Đọc kĩ nội quy topic nhé vui lòng ghi số bài vào còn tái phạm xóa không báo trước.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 21-05-2012 - 11:14

P . I = A . 22


#724 phuongnamz10A2

phuongnamz10A2

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Đan Phuợng, Hà Nội
  • Sở thích:Nghe nhạc, trà đá =)

Đã gửi 21-05-2012 - 18:18

Bài 365 bạn chép sai đề bài. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$ mà khi ta thay $x=y=z=1$ Đảng thức không xảy ra.
Đề bài đúng phải là:
$\sum\frac{1}{(x+y)^2}\ge\frac{27}{4(x+y+z)^2}$
Giải:
Sử dụng BĐT Bu-nhi-a-cop-xki ta có:
$3(\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x)^2})\ge(\frac{1}{(x+y)}+\frac{1}{(y+z)}+\frac{1}{(z+x)})^2\ge[\frac{9}{2(x+y+z)}]^2=\frac{81}{4(x+y+z)^2}$
$<=>(\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x)^2})\ge\frac{27}{4(x+y+z)^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuongnamz10A2: 21-05-2012 - 18:21


#725 cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sky Math
  • Sở thích:Sky maths

Đã gửi 22-05-2012 - 09:42

Tặng topic này 1 bài :D!
Bài 366:
CMR: $\sum_{k=1}^{n}\sqrt{(1+k)^k}<(n+1)!$

Hình đã gửi


#726 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 22-05-2012 - 11:55

Bài 363: (PolishMO 2008) Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng:
$$4(\sqrt{a^3b^3}+\sqrt{b^3c^3}+\sqrt{c^3a^3})\leq 4c^3+(a+c)^3$$

Bài này chỉ cần 1 dòng là xong Hình đã gửi
$$RHS-LHS=(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}-2\sqrt{c^3})^2+3ab(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hay $a=0;b=\sqrt[3]{4}c$ hoặc $a=\sqrt[3]{4}c;b=0 \,\,\, \square$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#727 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 23-05-2012 - 11:05

Bài 367: Cho 3 số $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm min $$T=\sqrt{x^2+(1-yz)^2}+\sqrt{y^2+(1-xz)^2}+\sqrt{z^2+(1-xy)^2}$$
Bài 368: Cho 3 số $a,b,c$ thực dương thỏa $a^3+b^3+c^3=3$. Tìm GTLN
$$P=\frac{a^2b}{(2a+b)^2}+\frac{b^2c}{(2b+c)^2}+\frac{c^2a}{(2c+a)^2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 23-05-2012 - 11:12
$\LaTeX$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#728 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 23-05-2012 - 19:53

Bài 367: Cho 3 số $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm min $$T=\sqrt{x^2+(1-yz)^2}+\sqrt{y^2+(1-xz)^2}+\sqrt{z^2+(1-xy)^2}$$

Từ giả thiết suy ra: $xy+yz+zx\le 1$. Đặt: $xy+yz+zx=S$
Áp dụng Minkowski ta có:
\[T \ge \sqrt {{{(x + y + z)}^2} + {{(3 - xy - yz - zx)}^2}} = \sqrt {1 + 2S + {{(3 - S)}^2}} \]
\[ = \sqrt {{S^2} - 2S + 1 - 2S + 9} \ge \sqrt {{{(S - 1)}^2} - 2 + 9} \ge \sqrt 7 \]
................
zz

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 23-05-2012 - 19:57

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#729 hongcho24031997

hongcho24031997

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:@ S2 KISS JEN @
  • Sở thích:H2H :x

Đã gửi 23-05-2012 - 20:27

Bài 368: Cho 3 số $a,b,c$ thực dương thỏa $a^3+b^3+c^3=3$. Tìm GTLN
$$P=\frac{a^2b}{(2a+b)^2}+\frac{b^2c}{(2b+c)^2}+\frac{c^2a}{(2c+a)^2}$$


$\frac{a^2b}{(2a+b)^2}+\frac{b^2c}{(2b+c)^2}+\frac{c^2a}{(2c+a)^2}$

$\leq \frac{(2a+b)^3}{27(2a+b)^2}+\frac{(2b+c)^3}{27(2b+c)^2}+\frac{(2c+a)^3}{27(2c+a)^2}$

$=\frac{a+b+c}{9}$

$\leq \frac{a^3+1+1+b^3+1+1+c^3+1+1}{27}$

$=\frac{1}{3}$

T hj vọng là khj lên ckuyên rùj, gặp nkiều ng pạn ms, sống trog môj trường học tập ms, thầy cô gjáo ms, thì m kũg ko pao gjờ quên t, kũg nkư k pao gjờ quên 9a2 mìnk, t ngkĩ là nkữg ngày thág m sốg cùg t sẽ ko quá mờ nkạt để m quên đj tất cả đúg ko? Nhưg nếu thờj gjan làm m quên đj 1 ckút thì kũg đừg quên luôn t là aj nka. Đừg để đến khj m onl thấy trog list pạn pè kủa m thấy Nguyễn Bạck Dươg rùj k nkớ là aj luôn đấy nké Thỉnk thoảng về ckơj vs t, k thì t pùn ckết mất Tất cả nkữg đứa thân nkất vs t, hầu nkư lên ckuyên hết uj, nản wá, thật học vs lớp khác nản ckết luôn Chị t sắp cưới, khj đó nkất địnk m fảj về nkà t đấy nká

Khj nào m cướj, cũg nkất địnk fảj mờj t đến Thôj, thế thôj. Tóm lạj là dù thế nào thì kũg k đk quên t đâu đấy nká, hj vọg t vs m vs kn hs vs kn nx mãj thân nké. Ckúg m k đk pỏ t đâu đấy, hjx

#730 cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sky Math
  • Sở thích:Sky maths

Đã gửi 23-05-2012 - 20:43

Tặng topic này 1 bài :D!
Bài 366:
CMR: $\sum_{k=1}^{n}\sqrt{(1+k)^k}<(n+1)! (1)$


Bài giải:
$n=1 \sqrt{2} < 2!=2$. Suy ra $(1)$ đúng với $n=1$.
Giả sử $(1)$ đúng với $n$, ta phải chứng minh $(1)$ đúng với $n+1$.
Ta có:
$\sum_{k=1}^{n+1}\sqrt{(1+k)^k}=\sum_{k=1}^{n}\sqrt{(1+k)^k}+\sqrt{(n+2)^{n+1}}<(n+1)!+\sqrt{(n+2)^{n+1}}.$
Ta cần CM:
$(n+1)!+\sqrt{(n+2)^{n+1}}< (n+2)! \Leftrightarrow \sqrt{(n+2)^{n+1}}<(n+1)(n+1)!$
Mặt khác: $\sqrt{n^n}<n! \forall \in \mathbb{N}$ ( VMF ta pro chứng minh cái này dễ :P).
Nên: $\sqrt{(n+2)^{n+1}}< \frac{(n+2)!}{\sqrt{n+2}}=(n+1)!\sqrt{n+2}<(n+1)!(n+1).$
Vậy $(1)$ đúng $\forall n \in \mathbb{N}$.

Hình đã gửi


#731 Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp 10A1 THPT Kỳ Anh Hà Tĩnh
  • Sở thích:Đại số đặc biệt là BĐT

Đã gửi 25-05-2012 - 13:19

bài 368: Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương thoã mãn $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$. Tìm GINN của
$$A=x+y+z$$
@@@@@@@@@@@@

#732 ToanHocLaNiemVui

ToanHocLaNiemVui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 183 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:Naruto, Naruto,..... và chỉ Naruto....!!!

Đã gửi 25-05-2012 - 15:29

Tặng topic 1 bài:
Bài 369: Cho các số $a\in [3;4];b\in [7;9];c\in [10;12]$ thoả mãn $a+b+c=21$. Tìm cực trị của:
$S=abc$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-05-2012 - 17:35
Ghi số thứ tự

Đừng Sợ Hãi Khi Phải


Đối Đầu Với Một Đối Thủ Mạnh Hơn


Mà Hãy Vui Mừng Vì


Bạn Có Cơ Hội Chiến Đấu Hết Mình!

___________________________________________________________________________

Thào thành viên của

VMF


#733 hongcho24031997

hongcho24031997

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:@ S2 KISS JEN @
  • Sở thích:H2H :x

Đã gửi 26-05-2012 - 18:46

Tặng topic 1 bài:
Bài 369: Cho các số $a\in [3;4];b\in [7;9];c\in [10;12]$ thoả mãn $a+b+c=21$. Tìm cực trị của:
$S=abc$.



$(a-4)(b-4)(c-4)\leq 0 \Rightarrow abc-4\sum ab+16\sum a-64\leq 0(1)$

$(a-7)(b-7)(c-7)\leq 0 \Rightarrow abc-7\sum ab+49\sum a-343\leq 0(2)$

$(a-10)(b-10)(c-10)\geq 0 \Rightarrow abc-10\sum ab+100\sum a-1000\geq 0(3)$

$(1)+(2)\Rightarrow 2abc \leq 11\sum ab-958\Rightarrow 110\sum ab \geq 20abc+9580$

$(3)\Rightarrow abc \geq 10\sum ab-1100\Rightarrow 11abc \geq 110\sum ab-12100$

$\Rightarrow 11abc \geq 20abc+9580-12100$

$\Rightarrow abc \leq 280$
tương tự ta tìm đc gtnn của abc

T hj vọng là khj lên ckuyên rùj, gặp nkiều ng pạn ms, sống trog môj trường học tập ms, thầy cô gjáo ms, thì m kũg ko pao gjờ quên t, kũg nkư k pao gjờ quên 9a2 mìnk, t ngkĩ là nkữg ngày thág m sốg cùg t sẽ ko quá mờ nkạt để m quên đj tất cả đúg ko? Nhưg nếu thờj gjan làm m quên đj 1 ckút thì kũg đừg quên luôn t là aj nka. Đừg để đến khj m onl thấy trog list pạn pè kủa m thấy Nguyễn Bạck Dươg rùj k nkớ là aj luôn đấy nké Thỉnk thoảng về ckơj vs t, k thì t pùn ckết mất Tất cả nkữg đứa thân nkất vs t, hầu nkư lên ckuyên hết uj, nản wá, thật học vs lớp khác nản ckết luôn Chị t sắp cưới, khj đó nkất địnk m fảj về nkà t đấy nká

Khj nào m cướj, cũg nkất địnk fảj mờj t đến Thôj, thế thôj. Tóm lạj là dù thế nào thì kũg k đk quên t đâu đấy nká, hj vọg t vs m vs kn hs vs kn nx mãj thân nké. Ckúg m k đk pỏ t đâu đấy, hjx

#734 thoconlk

thoconlk

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:everywhere

Đã gửi 27-05-2012 - 21:27

Bài 19: Sử dụng Bổ đề sau$\dfrac{1}{x-1}\geq \dfrac{4}{x^2}$
Chứng minh:Bất đẳng thức trên tương đương: $x^2\geq 4x-4\Leftrightarrow x^2-4x+4=(x-2)^2\geq 0$
Áp dụng:$\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\geq \dfrac{4a^2}{b^2}+\dfrac{4b^2}{a^2}=4(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{^2})\geq 8$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=2

Bài này đâu cần cao siêu như thế chỉ đơn giản là AM-GM: $\frac{a^{2}}{b-1}+4(b-1)\geqslant 4a$ và$\frac{b^{2}}{a-1}+4(a-1)\geqslant 4b$. suy ra E$\geqslant 8$. Dấu bàng xảy ra khi a=b=2

#735 thoconlk

thoconlk

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:everywhere

Đã gửi 27-05-2012 - 21:31

Bài 370: Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $abc=1$.
Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{3}}{b(a+c)} \geqslant \frac{3}{2}$.
Bài 380: Cho a,b,c$> 0$ và a+b+c=1. Chứng minh:
a)$ab+bc+ca-abc \leqslant \frac{8}{27}$
b)$16abc\leqslant a+b$
_______________________________________
Mod: Mong bạn chú ý cách trình bày

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 27-05-2012 - 21:46


#736 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 27-05-2012 - 21:54

Bài 370: Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $abc=1$.
Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{3}}{b(a+c)} \geqslant \frac{3}{2}$.
Bài 380: Cho a,b,c$> 0$ và a+b+c=1. Chứng minh:
a)$ab+bc+ca-abc \leqslant \frac{8}{27}$
b)$16abc\leqslant a+b$


Lâu lắm mới lại post bài lên VMF.
Bài 370:
Có nhận xét sau:
\[\frac{{{a^3}}}{{b(a + c)}} + \frac{b}{2} + \frac{{c + a}}{4} \ge \frac{3}{2}a\]
Xây dựng 2 bđt tương tự rồi cộng lại ta có:
\[\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^3}}}{{b(a + c)}}} + (a + b + c) \ge \frac{3}{2}(a + b + c)\]
\[\Rightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^3}}}{{b(a + c)}}} \ge \frac{1}{2}(a + b + c) \ge \frac{3}{2}\sqrt[3]{{abc}} = \frac{3}{2}\]
Bài 371:
a) \[VT = 1 + ab + bc + ca - a - b - c - abc = (1 - a)(1 - b)(1 - c) \le \frac{{{{(3 - 1)}^3}}}{{27}} = \frac{8}{{27}}\]
b) $bdt \Leftrightarrow 16ab(1 - a - b) \le a + b \Leftrightarrow (a + b)(16ab + 1) \ge 16ab$ : đúng theo AM-GM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 27-05-2012 - 21:56

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#737 peach

peach

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nam dinh

Đã gửi 27-05-2012 - 21:54

370.
cô si đơn thuần: $\frac{a^{3}}{b(a+c)}$ + $\frac{b}{2}$ + $\frac{a+c}{4}$ $\geq$ a
tương tự
$\Rightarrow$ $\sum$$\frac{a^{3}}{b(a+c)}$ $\geq$ $\frac{a + b +c}{2} \geq \frac{3}{2}$

#738 thoconlk

thoconlk

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:everywhere

Đã gửi 27-05-2012 - 22:31

Bài 33:
Cho a,b,c >0. CMR: $\dfrac{1}{a(1+b)}+\dfrac{1}{b(1+c)}+\dfrac{1}{c(1+a)}\geq \dfrac{3}{1+abc}$
Chuyên toán Trần Phú hải Phòng 2001-2002 bài này hình như nằm trong đề thi VMO TPHCM thì phải
Tổng quát ta có: Với a,b,c>0
CMR: $\dfrac{1}{a(m+b)}+\dfrac{1}{b(m+c)}+\dfrac{1}{c(m+a)}\geq \dfrac{3m}{m^3+abc}$ (m>0)

bđt cần cm tương đương với:$\frac{1+abc}{a(1+b)}+\frac{1+abc}{b(1+c))}+\frac{1 +abc}{c(1+a)}$$\geqslant 3$.
Suy ra $\frac{1+abc+a+ab}{a(1+b)}+\frac{1+abc+b+bc}{b(1+c)}+\frac{1+abc+c+ac}{c(1+a)}\geqslant 6$.
$\Leftrightarrow$$\frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{b(1+c)}{1+b}+\frac{1+b}{b(1+c)}+\frac{c(1+a)}{1+c}+\frac{1+c}{c(1+a)}+\frac{a(1+b)}{1+a}$$\geqslant 6$(luôn đúng theo Bđt AM-GM) suy ra đfcm
__
Bài này có người giải rồi bạn ạ. Lần sau chú ý hơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-05-2012 - 22:33


#739 thoconlk

thoconlk

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:everywhere

Đã gửi 27-05-2012 - 22:50

Anh xin làm 2 bài.
272. Ta có $$\dfrac{a}{\sqrt{b} - 1} + \dfrac{b}{\sqrt{c} - 1} + \dfrac{c}{\sqrt{c} - 1} \ge \dfrac{(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - 3}$$ $$ = \dfrac{x^2}{x - 3} = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} + \dfrac{9}{x - 3} = x + 3 + \dfrac{9}{x - 3} = 6 + x - 3 + \dfrac{9}{x - 3} \ge 6 + 6 = 12$$
273.
Đặt $ S= \sum a^2(3a^2 + 8b^2 + 14ab)$
Lúc đó
$$R^2.S \ge (a^2 + b^2 + c^2)^3$$
Ta lại có :
$$S = 3(a^4 + b^4 + c^4) + 8(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) + 14abc(a + b + c) $$ $$= 3(a^2 + b^2 + c^2)^2 + 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) + 14abc(a + b + c)$$
xét $$2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) \le \dfrac{2(a^2 + b^2 + c^2)^2}{3}$$
$$14abc(a + b + c) \le \dfrac{14(a^2 + b^2 + c^2)^2}{3}$$
Nên $$S \le 3(a^2 + b^2 + c^2)^2 + \dfrac{2(a^2 + b^2 + c^2)^2}{3} + \dfrac{14(a^2 + b^2 + c^2)}{3} = \dfrac{25(a^2 + b^2 + c^2)^2}{3}$$
Nên $$R \ge \sqrt{\dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^3}{\dfrac{25(a^2 + b^2 + c^2)^2}{3}}} = \dfrac{\sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2}}{5} \ge \dfrac{a + b + c}{5} = \dfrac{3}{5}$$

Bài 273: $\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{3a^{2}+14b^{2}+8ab}}= \sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(3a+2b)(a+4b)}}\geqslant \sum \frac{a^{2}}{4a+6b}$
Có $\sum \frac{a^{2}}{4a+6b}+\frac{a+b+c}{10}\geqslant \frac{a+b+c}{5}$$\Rightarrow$$\sum \frac{a^{2}}{4a+6b}\geqslant \frac{a+b+c}{5}= \frac{3}{5}$$\Rightarrow R\geqslant \frac{3}{5}$. Min R=$\frac{3}{5}\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thoconlk: 27-05-2012 - 22:51


#740 thoconlk

thoconlk

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:everywhere

Đã gửi 27-05-2012 - 22:55

bđt cần cm tương đương với:$\frac{1+abc}{a(1+b)}+\frac{1+abc}{b(1+c))}+\frac{1 +abc}{c(1+a)}$$\geqslant 3$.
Suy ra $\frac{1+abc+a+ab}{a(1+b)}+\frac{1+abc+b+bc}{b(1+c)}+\frac{1+abc+c+ac}{c(1+a)}\geqslant 6$.
$\Leftrightarrow$$\frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{b(1+c)}{1+b}+\frac{1+b}{b(1+c)}+\frac{c(1+a)}{1+c}+\frac{1+c}{c(1+a)}+\frac{a(1+b)}{1+a}$$\geqslant 6$(luôn đúng theo Bđt AM-GM) suy ra đfcm
__
Bài này có người giải rồi bạn ạ. Lần sau chú ý hơn.

Ở đâu thế ạ
__
Bạn chịu khó tìm đi nhé. Bài này mình giải rồi. :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-05-2012 - 22:57





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh