Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic bất đẳng thức THCS (2)


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 1115 trả lời

#61 HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C THPT NINH GIANG-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Đã gửi 07-01-2012 - 14:22

Bài 32:VT=$\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\sum \dfrac{a}{4-a}$
Ta chứng minh:$\dfrac{a}{4-a}\geq \dfrac{a^{2}}{4}\Leftrightarrow (a-2)^{2}\geq 0$
Cộng các bất đẳng thức lại ta được điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 07-01-2012 - 14:23


#62 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 07-01-2012 - 16:17

Bài 34: Với các số dương $a,b$. Tìm min của:
\[A=\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + 4\sqrt 2 \dfrac{{a + b}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]

Bài 35: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=1$. Tìm min của:
\[B = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 07-01-2012 - 16:28

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi


#63 HÀ QUỐC ĐẠT

HÀ QUỐC ĐẠT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12C THPT NINH GIANG-ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

Đã gửi 07-01-2012 - 16:41

Bài 35:Từ giả thiết ta có $ab+bc+ca\leq \dfrac{1}{3}$
$A=\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\dfrac{1}{3ab}+\dfrac{1}{3bc}+\dfrac{1}{3ca}+\dfrac{2}{3}(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca})$
$\Rightarrow A\geq \dfrac{16}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3(ab+bc+ca)}+\dfrac{6}{ab+bc+ca}\ge \dfrac{16}{1+ab+bc+ca}+\dfrac{6}{ab+bc+ca}\geq \dfrac{16}{1+\dfrac{1}{3}}+\dfrac{6}{\dfrac{1}{3}}= 30$
Min A=30 khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 07-01-2012 - 16:52


#64 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 07-01-2012 - 20:48

Bài toán tổng quát cho Bài 19
Cho $a_{1};a_{2},...a_n>1$, n$\in N*$
CMR: $\dfrac{a_{1}^{2}}{a_{2}-1}+\dfrac{a_{2}^{2}}{a_{3}-1}+...+\dfrac{a_n^{2}}{a_{1}-1}\geq 4n$

Sao gõ chỉ số bị sai font hết vậy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 07-01-2012 - 20:51

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#65 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4142 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 07-01-2012 - 21:39

Bài toán tổng quát cho Bài 19
Cho $a_{1};a_{2},...a_n>1$, n$\in N*$
CMR: $\dfrac{a_{1}^{2}}{a_{2}-1}+\dfrac{a_{2}^{2}}{a_{3}-1}+...+\dfrac{a_n^{2}}{a_{1}-1}\geq 4n$

Lời giải:
Đặt \[S = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \]
Quy ước $a_{n+1} \equiv a_1$
\[VT = \sum\limits_{i = 1}^n {\dfrac{{a_i^2}}{{{a_{i + 1}} - 1}}} \ge \dfrac{{{S^2}}}{{S - n}}\]
Ta chỉ cần chứng minh
\[\dfrac{{{S^2}}}{{S - n}} \ge 4n \Leftrightarrow {S^2} - 4Sn + 4{n^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {S - 2n} \right)^2} \ge 0:True\]
Do đó, ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi $a_i=2;i=\overline{1,n}$
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#66 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 07-01-2012 - 21:57

Tổng quát cho bài 21
CMR: $\sqrt[2m+1]{a_1^{2m+1}+a_2^{2m+1}+...+a_n^{2m+1}}\leq \sqrt[2k]{a_1^{2k}+a_2^{2k}+...+a_n^{2k}}$ ($k,m\in N*;m\geq k$)
Bài này chứng minh giống bài 21 ở trên
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#67 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 07-01-2012 - 23:59

Mình làm sơ lược bài 34 :

Bài 34: Với các số dương $a,b$. Tìm min của:
\[A=\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + 4\sqrt 2 \dfrac{{a + b}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\]

Ta có $$P = \dfrac{a^2 + b^2}{ab} + 4\sqrt{2 + \dfrac{4ab}{a^2 + b^2}} = \dfrac{1}{x} + 4\sqrt{2 + 4x}$$ Đến đây có nhiều cách để làm .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 20-05-2012 - 20:46

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#68 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 08-01-2012 - 08:28

Bài 35: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=1$. Tìm min của:
\[B = \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} + \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}\]

Tổng quát: Cho $n \in \mathbb{N^*};n \ge 2$.Xét $n$ số thực dương $a_1;a_2;...;a_n$ thỏa:$\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}=1$.TÌm GTNN của biểu thức:
$$P=\dfrac{1}{\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}^2}+\sum\limits_{1 \le i<j \le n}\dfrac{1}{a_{i}a_{j}}$$

Bài 36: Cho $a,b,c>0$ thỏa:$a+b+c \ge 3$ và $n \in \mathbb{N^*}$.Tìm GTLN của biểu thức:
$$H=\dfrac{a^{n}+b^{n}+c^{n}}{a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 08-01-2012 - 08:35

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#69 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 08-01-2012 - 10:59

Tổng quát cho bài 22
Cho Cho $a_1;a_2;a_3;...a_n$ thuộc đoạn [0;1]
CMR:$ F=\frac{a_1}{a_2.a_3...a_n+1}+\sum _{i=2}^{n-1}\frac{a_i}{a_1....a_{i-1}.a_{i+n}.a_n+1}+\frac{a_n}{a_1.a_2...a_{n-1}+1}\leq n-1$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#70 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 08-01-2012 - 11:09

Bài 36 . Gia sử $a \ge b \ge c => a^n \ge b^n \ge c^n $ Theo BĐT Chebyshev, ta có$ 3(a^{n + 1} + b^{n + 1} + c^{n + 1} \ge (a + b + c)(a^n + b^n + c^n) \ge 3(a^n + b^n + c^n)$ => max = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 08-01-2012 - 11:13

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#71 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 08-01-2012 - 12:37

Bài 37:Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa
$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geq 1$
CMR: $a+b+c\geq ab+bc+ac$ (THTT)
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#72 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 08-01-2012 - 12:54

Bài 37:Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa
$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geq 1$
CMR: $a+b+c\geq ab+bc+ac$ (THTT)


Giờ mới tham gia vào topic này. Anh tặng cho Ispectorgadget những lời giải cho bài toán trên.

Cách 1: Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz, ta có:
$$\left( {a + b + 1} \right)\left( {a + b + {c^2}} \right) \geqslant {\left( {a + b + c} \right)^2}$$
Suy ra: $$1 \leqslant \sum {\left( {\frac{1}{{a + b + c}}} \right)} \leqslant \sum {\frac{{a + b + {c^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}} \Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} \leqslant 2\left( {a + b + c} \right) + {a^2} + {b^2} + {c^2}$$
$$ \Leftrightarrow ab + bc + ca \leqslant a + b + c \Rightarrow Q.E.D$$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c = 1$.

Cách 2: Giả sử $\sum {\frac{1}{{a + b + 1}} \geqslant 1} $ và $a + b + c < ab + bc + ca$

Khi đó ta có: $$\frac{1}{{a + b + 1}} < \frac{{\frac{{ab + bc + ca}}{{a + b + c}}}}{{a + b + c + \frac{{ab + bc + ca}}{{a + b + c}}}} = \frac{{ab + bc + ca}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + b + c} \right) + ab + bc + ca}}$$
Suy ra: $$\sum {\frac{{ab + bc + ca}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + b + c} \right) + ab + bc + ca}} > 1 \Leftrightarrow 1 > \sum {\left( {1 - \frac{{2\left( {ab + bc + ca} \right)}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + b + c} \right) + ab + bc + ca}}} \right)} } $$
$$ \Leftrightarrow 1 > \sum {\frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + b + c} \right) + ab + bc + ca}}} \geqslant \frac{3}{4}\sum {\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + b + c} \right) + ab + bc + ca}}}$$
$$ \geqslant \frac{{3{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + b + c} \right) + ab + bc + ca}} = \frac{{3{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2{{\left( {a + b + c} \right)}^2} + 3\left( {ab + bc + ca} \right)}} \geqslant 1$$
BĐT trên mâu thuẫn. Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c = 1$

Cách 3: Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz, ta có:
$$2 \geqslant \sum {\left( {1 - \frac{1}{{a + b + 1}}} \right) = \sum {\frac{{a + b}}{{a + b + 1}}} } $$
$$ \geqslant \frac{{4{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {a + b + 1} \right) + \left( {b + c} \right)\left( {b + c + 1} \right) + \left( {c + a} \right)\left( {c + a + 1} \right)}}$$
$$ \Leftrightarrow \sum {{a^2} + \sum {ab + \sum a \geqslant {{\left( {a + b + c} \right)}^2}} } \Leftrightarrow ab + bc + ca \leqslant a + b + c$$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 08-01-2012 - 14:08


#73 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 08-01-2012 - 14:19

Xin để lại một bài.

Bài 38: Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác và $x,y > 0$. Chứng minh rằng:
$$\sum {\frac{{{a^x}}}{{{{\left( {b + c - a} \right)}^y}}} \geqslant \sum {{a^{x - y}}} } $$

#74 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 08-01-2012 - 16:05

Bài 33:
Cho a,b,c >0. CMR: $\dfrac{1}{a(1+b)}+\dfrac{1}{b(1+c)}+\dfrac{1}{c(1+a)}\geq \dfrac{3}{1+abc}$

Lời giải:
BDT cần chứng minh tương đương$\frac{1+abc}{a(1+b)}+\frac{1+abc}{b(1+c)}+\frac{1+abc}{c(1+a)}\geq 3$
Ta có: $\frac{1+abc}{a(1+b)}=\frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{b(1+c)}{1+b}-1$
Tương tự: $\frac{1+abc}{b(1+c)}=\frac{1+b}{b(1+c)}+\frac{c(1+a)}{1+c}-1$
$\frac{1+abc}{c(1+a)}=\frac{1+c}{c(1+a)}+\frac{c(1+a)}{1+a}-1$
VT=$\sum [\frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{a(1+b)}{a+1}]-3\geq \sum 2\sqrt{\frac{1+a}{a(b+1)}.\frac{a(1+b)}{1+a}}-3=6-3=3$
Từ đây ta có đpcm
Bài 39: Cho a,b,c>0 và a+b+c=3 . Tìm GTLN của biểu thức
B=$\frac{41a^3-b^3}{ab+7a^2}+\frac{41b^3-c^3}{bc+7b^2}+\frac{41c^3-a^3}{ac+7c^2}$
Bài 40: Cho a,b,c không âm thoả a+b+c=3. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
$A=\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 08-01-2012 - 17:46

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#75 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 09-01-2012 - 21:45

Chết thật gõ nhầm :P
Bài 40:
GTLN
Giả sử a=min{a,b,c}
Ta có: $VT \le \frac{a}{{a^2 + 1}} + \frac{c}{{a^2 + 1}} + \frac{b}{{a^2 + 1}} = \frac{3}{{a^2 + 1}} \le 3$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=0; c=3

Từ lời giải trên ta có bài toán tổng quát sau:
Cho $a_1+a_2+...+a_n$ là những số nguyên thỏa mãn $a_1+a_2+...+a_n=k( k\in N*)$
Tìm GTLN,GTNN của $\frac{a_1}{a_1^2+1}+\frac{a_2}{a_2^2+1}+...+\frac{a_n}{a_n^2+1}$
Bài 41: Cho a,b,c>0 thỏa $a^2+b^2+c^2=3$
Tìm GTNN của biểu thức
A=$\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{a^2+c^3}+\frac{c^5}{a^3+b^2}+a^4+b^4+c^4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 10-01-2012 - 14:20

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#76 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 09-01-2012 - 23:03

Bài 40: Cho a,b,c không âm thoả a+b+c=3. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
$A=\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}$

Đáp số : $GTLN = 3$ , $GTNN = \dfrac{3}{2}$

* Tìm GTLN của $A$

Ta có : $A=\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1} \leq a+b+c =3$

Vậy GTLN của $A=3$, đẳng thức xảy ra khi $a=b=0,c=3$ và các hoán vị của nó

* Tìm GTNN của $A$

Ta có : $\dfrac{a}{b^2+1} = a\left(1-\dfrac{b^2}{b^2+1}\right) \geq a\left(1-\dfrac{b^2}{2b}\right) = a-\dfrac{ab}{2}$

Do đó $\sum \dfrac{a}{b^2+1} \geq \sum a -\dfrac{1}{2}\sum ab = \dfrac{3}{2}$

Vậy GTNN của $A=\dfrac{3}{2}$, đẳng thức xảy ra khi $ a=b=c=1$

P/s : Bài này cho $a,b,c$ là các số dương thì phần GTLN sẽ thú vị hơn.

#77 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 09-01-2012 - 23:43

Bài 41: Cho a,b,c>0 thỏa $a^2+b^2+c^2=3$
Tìm GTNN của biểu thức
A=$\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{b^5}{a^2+c^3}+\frac{c^5}{a^3+b^2}$

Trước tiên mình nhắc lại BĐT quen thuộc của cụ Vasc ( không biết viết đúng tên ko nữa ... tại ko nhớ rõ (@_^ ) )

$3(ab^3+bc^3+ca^3) \leq (a^2+b^2+c^2)^2$

Áp dụng vào bài toán thì $ab^3+bc^3+ca^3 \leq 3 \leq a^3+b^3+c^3$

Mặt khác ta có $ac^2+ba^2+cb^2 \leq a^3+b^3+c^3$

Áp dụng BĐT B.C.S $\sum \dfrac{a^5}{b^3+c^2} \geq \dfrac{\left(\sum a^3\right)^2}{\sum ab^3 +\sum ac^2} \geq \dfrac{a^3+b^3+c^3}{2} \geq \dfrac{3}{2}$

Vậy GTNN $A=\dfrac{3}{2}$, đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

#78 phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lỗ đen vũ trụ

Đã gửi 10-01-2012 - 12:52

Bài 39: Cho a,b,c>0 và a+b+c=3 . Tìm GTLN của biểu thức
B=$\frac{41a^3-b^3}{ab+7a^2}+\frac{41b^3-c^3}{bc+7b^2}+\frac{41c^3-a^3}{ac+7c^2}$

Ta sẽ chứng minh $\dfrac{41a^3-b^3}{ab+7a^2} \leq 6a-b$

$\Leftrightarrow a^3+b^3-ab(a+b) \geq 0$ .BĐT này hiển nhiên đúng.
Ta chỉ việc làm tương tự với các lượng còn lại thì BĐT đã được chứng minh.

Có thể có bạn thắc mắc là tại sao mình lại xác định được lượng bất đẳng thức trên đúng không ?
Cũng không có gì cao siêu ở đây, cái này là phương pháp hệ số bất định trong BĐT.
Mình sẽ nói sơ qua hướng giải cho trường hợp dạng này thôi để bạn nào chưa làm quen với phương pháp có thể nắm bắt.


Ta cần xác định $x,y$ sao cho $\dfrac{41a^3-b^3}{ab+7a^2} \leq xa+yb$ (*)
Trường hợp dấu bằng xảy ra đơn giản nhất mà ta nghỉ ra ngay đó là $a=b=c=1$
Do đó để giảm bớt rắc rối ta cho $b=1$, thế vào (*), rồi biến đổi thành
$(41-7x)a^3-(x+7y)a^2-ya-1 \leq 0$
Ta đặt $f(a)=(41-7x)a^3-(x+7y)a^2-ya-1$
Do đây là 2 ẩn nên bắt buộc ta phải có 2 phương trình để giải mới tìm được $x,y$
Vì vậy ta nghỉ ngay tới trường hợp $f(a)$ có 1 nghiệm kép, giả sử nghiệm đó là $t$
thì khi đó ta có $f(t) = 0$ và $f'(t)=0$ .Thế là ta đã có đủ 2 phương trình.
Còn việc chọn nghiệm thế nào ? Cái này ta chọn theo dự đoán đẳng thức xảy ra. Ở đây ta dự đoán $a=b=c=1$ nên ta chọn $t=1$.Theo cách lập luận này các bạn sẽ tìm được $x,y$ như mong muốn.


P/s : Bạn nào rành về phương pháp này có thể nói thêm để mọi người nắm bắt. Mình chỉ nhớ có 1 vài dạng của phương pháp này thôi. Phương pháp này rất hay đấy mọi người @_^)

#79 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 10-01-2012 - 14:32

Ta sẽ chứng minh $\dfrac{41a^3-b^3}{ab+7a^2} \leq 6a-b$

$\Leftrightarrow a^3+b^3-ab(a+b) \geq 0$ .BĐT này hiển nhiên đúng.
Ta chỉ việc làm tương tự với các lượng còn lại thì BĐT đã được chứng minh.

Có thể có bạn thắc mắc là tại sao mình lại xác định được lượng bất đẳng thức trên đúng không ?
Cũng không có gì cao siêu ở đây, cái này là phương pháp hệ số bất định trong BĐT.
Mình sẽ nói sơ qua hướng giải cho trường hợp dạng này thôi để bạn nào chưa làm quen với phương pháp có thể nắm bắt.


Ta cần xác định $x,y$ sao cho $\dfrac{41a^3-b^3}{ab+7a^2} \leq xa+yb$ (*)
Trường hợp dấu bằng xảy ra đơn giản nhất mà ta nghỉ ra ngay đó là $a=b=c=1$
Do đó để giảm bớt rắc rối ta cho $b=1$, thế vào (*), rồi biến đổi thành
$(41-7x)a^3-(x+7y)a^2-ya-1 \leq 0$
Ta đặt $f(a)=(41-7x)a^3-(x+7y)a^2-ya-1$
Do đây là 2 ẩn nên bắt buộc ta phải có 2 phương trình để giải mới tìm được $x,y$
Vì vậy ta nghỉ ngay tới trường hợp $f(a)$ có 1 nghiệm kép, giả sử nghiệm đó là $t$
thì khi đó ta có $f(t) = 0$ và $f'(t)=0$ .Thế là ta đã có đủ 2 phương trình.
Còn việc chọn nghiệm thế nào ? Cái này ta chọn theo dự đoán đẳng thức xảy ra. Ở đây ta dự đoán $a=b=c=1$ nên ta chọn $t=1$.Theo cách lập luận này các bạn sẽ tìm được $x,y$ như mong muốn.


P/s : Bạn nào rành về phương pháp này có thể nói thêm để mọi người nắm bắt. Mình chỉ nhớ có 1 vài dạng của phương pháp này thôi. Phương pháp này rất hay đấy mọi người @_^)


phuc_90 sinh năm nhiêu nhỉ? Không biết nên gọi đại là anh vậy. Cám ơn bài viết của anh. Mà học sinh THCS chưa biết đạo hàm đâu :P.
$\frac{41a^3-b^3}{ab+7a^2}\leq 6a-b$ (*)
Để ra được * (đây là cách hiểu bản thân không biết đúng không nữa)
$\frac{41a^3-b^3}{ab+7a^2}\leq xb+ya$
x thoả mãn $7x-41=1$ Tìm được $x=6$
y thoả mãn $\frac{41-1}{1+7}=5=x+y\Rightarrow y=-1$
Từ đây ta có được đánh giá (*) :)
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#80 Cao Xuân Huy

Cao Xuân Huy

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 592 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

Đã gửi 10-01-2012 - 16:04

phuc_90 sinh năm nhiêu nhỉ? Không biết nên gọi đại là anh vậy. Cám ơn bài viết của anh. Mà học sinh THCS chưa biết đạo hàm đâu :P.
$\frac{41a^3-b^3}{ab+7a^2}\leq 6a-b$ (*)
Để ra được * (đây là cách hiểu bản thân không biết đúng không nữa)
$\frac{41a^3-b^3}{ab+7a^2}\leq xb+ya$
x thoả mãn $7x-41=1$ Tìm được $x=6$
y thoả mãn $\frac{41-1}{1+7}=5=x+y\Rightarrow y=-1$
Từ đây ta có được đánh giá (*) :)

Chỗ em tô đỏ là từ đâu ra thế anh Kiên

Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF

Hình đã gửi





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh