Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic bất đẳng thức THCS (2)


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 1115 trả lời

#1101 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 05-04-2013 - 20:06

cho a,b,c là các số dương, chứng minh rằng: $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq \frac{3}{a+b}+\frac{18}{3b+4c}+\frac{9}{c+6a}$

Ta có : Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{3}{a+b}=\frac{1}{\frac{a}{3}+\frac{b}{3}}=\frac{1}{\frac{a}{3}+\frac{b}{6}+\frac{b}{6}}\leq \frac{1}{9}\left ( \frac{3}{a}+\frac{12}{b} \right )$

CMTT:..

Ta có : $\frac{3}{a+b}+\frac{18}{3b+4c}+\frac{9}{c+6a}\leq \frac{1}{9}\left ( \frac{3}{a}+\frac{12}{b}+\frac{6}{b}+\frac{18}{c}+\frac{9}{c}+\frac{6}{a} \right )=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#1102 Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên ĐHSPHN
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 06-04-2013 - 19:34

Bài 501 : Cho các số thực bất kỳ a,b,c.CMR $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\geq\frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

p/s : sao mọi người không đánh STT của bài cho dễ theo dõi nhỉ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 06-04-2013 - 19:35

"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)


#1103 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 09-04-2013 - 19:41

Cho $x,y\geq 0,x^{2}+y^{2}=1$. Cmr : $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}<1$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#1104 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 10-04-2013 - 15:37

Bài 501 : Cho các số thực bất kỳ a,b,c.CMR $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\geq\frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

p/s : sao mọi người không đánh STT của bài cho dễ theo dõi nhỉ

BĐT$\Leftrightarrow (\sum a^2)\left [ \sum \frac{1}{(a-b)^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$.

Vì $3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$

nên ta chỉ cần cm $\left [ \sum (a-b)^2 \right ]\left [ \sum \frac{1}{(a-b)^2} \right ]\geq \frac{27}{2}$ (1).

Đặt $x=a-b, y=b-c\Rightarrow c-a=-(x+y)$. BĐT (1)$\Leftrightarrow (x^2+xy+y^2)\left [ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2} \right ]\geq \frac{27}{4}$. Theo BĐT AM-GM:$x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2; \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{2}{xy}\geq \frac{8}{(x+y)^2}$.

Nhân 2 BĐT này lại ta có ngay đpcm


$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#1105 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 10-04-2013 - 15:38

Bài 501 : Cho các số thực bất kỳ a,b,c.CMR $\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\geq\frac{9}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

p/s : sao mọi người không đánh STT của bài cho dễ theo dõi nhỉ

BĐT$\Leftrightarrow (\sum a^2)\left [ \sum \frac{1}{(a-b)^2} \right ]\geq \frac{9}{2}$. Vì $3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$

nên ta chỉ cần cm $\left [ \sum (a-b)^2 \right ]\left [ \sum \frac{1}{(a-b)^2} \right ]\geq \frac{27}{2}$ (1).

Đặt $x=a-b, y=b-c\Rightarrow c-a=-(x+y)$. BĐT (1)$\Leftrightarrow (x^2+xy+y^2)\left [ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{(x+y)^2} \right ]\geq \frac{27}{4}$. Theo BĐT AM-GM:$x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2; \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\geq \frac{2}{xy}\geq \frac{8}{(x+y)^2}$.

Nhân 2 BĐT này lại ta có ngay đpcm


$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#1106 andymurray44

andymurray44

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Hà Nội Amsterdam

Đã gửi 11-04-2013 - 22:05

Cho $x,y\geq 0,x^{2}+y^{2}=1$. Cmr : $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}<1$

Nhỏ hơn 1 có dầu bằng mà bạn,chẳng hạn x=0,y=1.

Còn vế kia thì Cauchy 3 số:

$\frac{x^{3}}{2}+\frac{x^{2}}{\sqrt{2}}+x\geq \frac{3x^{2}}{\sqrt{2}}$

.Sau đó làm đơn giản thui. :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi andymurray44: 11-04-2013 - 22:08


#1107 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 13-04-2013 - 21:18

Cho $a,b,c$. Tìm min của $P=x^{2}+y^{2}-xy-x+y+1$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#1108 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 13-04-2013 - 21:31

Cmr: $\frac{1}{3}\leq \frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\leq 3$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#1109 Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:My house

Đã gửi 13-04-2013 - 21:48

Cmr: $\frac{1}{3}\leq \frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}\leq 3$

Đặt $\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}=A$

$\Longleftrightarrow \dfrac{(1-A)x^2+(A+1)x+(1-A)}{x^2-x+1}=0$

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi $

$(A+1)^2-4(1-A)^2 \ge 0$

$\Longleftrightarrow \dfrac{1}{3} \le A \le 3$

--

Hoặc là bạn có thể chuyển vế qua ra hằng đẳng thức luôn đúng.


"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#1110 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 13-04-2013 - 21:53

Làm cách này cũng đc: 

$\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}=\frac{x^{2}-x+1+2x^{2}+2-4x}{3(x^{2}-x+1)}\geq \frac{1}{3}$

$\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-x+1}=\frac{3(x^{2}-x+1-2(x+1)^{2})}{x^{2}-x+1}\leq 3$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#1111 PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vietnam
  • Sở thích:Sông Lam Nghệ An

Đã gửi 13-04-2013 - 22:24

Cho x, y, z $> 0$ thõa mãn x+y+z=$18\sqrt{2}$. Tìm max $A=\sum \frac{1}{\sqrt{x(y+z)}}$


                      THE SHORTEST ANSWER IS DOING 

                        :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  

 


#1112 4869msnssk

4869msnssk

    Bá tước

  • Thành viên
  • 549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 16-04-2013 - 20:01

cho a,b,c dương tìm giá trị lớn nhất( biểu diễn dưới dạng hệ thức liên hệ với tổng) của biểu thức $a^{2}-ab+b^{2}$


 B.F.H.Stone


#1113 andymurray44

andymurray44

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Hà Nội Amsterdam

Đã gửi 18-04-2013 - 18:56

Cho x, y, z $> 0$ thõa mãn x+y+z=$18\sqrt{2}$. Tìm max $A=\sum \frac{1}{\sqrt{x(y+z)}}$

$\frac{1}{\sqrt{x}(y+z)}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2x(y+z)}}$

Sau đó Cauchy dưới mẫu.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi andymurray44: 18-04-2013 - 18:56


#1114 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 27-04-2013 - 21:51

Cho $x,y,z> 0,x+y+z\leq \frac{3}{2}.Cmr: \sum \sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}\geq \frac{3}{2}.\sqrt{17}$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#1115 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 27-04-2013 - 21:52

Cho $a,b,c\geq 0, a+b+c=1, Cmr: a^{2}+b^{2}+c^{2}+\sqrt{12abc}\leq 1$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#1116 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 28-04-2013 - 21:35

Cho $a,b,c\geq 0, a+b+c=1, Cmr: a^{2}+b^{2}+c^{2}+\sqrt{12abc}\leq 1$

BĐT$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\sqrt{12abc}\leq (a+b+c)^2\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq \sqrt{3abc}\Leftrightarrow (ab+bc+ca)^2\geq 3abc=3abc(a+b+c)$

(hiển nhiên đúng)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 28-04-2013 - 21:40

$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck





4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh