Chủ đề này có 1115 trả lời

[phantomladyvskaitokid]

Bài 330.
Cho $x,y,z > 1$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{x^4}{(y-1)^2}+\dfrac{y^4}{(z-1)^2}+\dfrac{z^4}{(x-1)^2}\ge 48$$

$\frac{x^4}{(y-1)^2}+16(y-1)+16(y-1)+16\geq 32x$

xd 2 bđt tt rồi cộng từng vế 3 bđt trên đc đpcm

[Katyusha]

Bài 330.
Cho $x,y,z > 1$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{x^4}{(y-1)^2}+\dfrac{y^4}{(z-1)^2}+\dfrac{z^4}{(x-1)^2}\ge 48$$

Một hướng khác

Đặt $a=x-1, b=y-1,c=z-1$. BĐT đã cho trở thành:
$$\dfrac{(a+1)^4}{b^2}+\dfrac{(b+1)^4}{c^2}+\dfrac{(c+1)^4}{a^2}\ge 48$$
AM-GM:
$$VT \ge \dfrac{(2\sqrt{a})^4}{b^2}+\dfrac{(2\sqrt{b})^4}{c^2}+\dfrac{(2\sqrt{c})^4}{a^2}=16(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2})\ge 16.3=48$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 13-04-2012 - 13:35

[alex_hoang]

Bài 331:Cho các số thực dương $a,b,c$.CMR
\[{\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right)^2} \ge \frac{3}{2}\left( {\frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b}} \right)\]
(Dương Đức Lâm)

[alex_hoang]

Bài 332:Tìm $a,b$ để giá trị lớn nhất của biểu thức sau là nhỏ nhất:

$P=\left|\left|\left|x+1 \right|-2 \right|-(ax+b) \right|$ với $a,b \in [-3, 4]$

Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 13-04-2012 - 17:55

[phantomladyvskaitokid]

Bài 331:Cho các số thực dương $a,b,c$.CMR
\[{\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}} \right)^2} \ge \frac{3}{2}\left( {\frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b}} \right)\]
(Dương Đức Lâm)

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+3\geq 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\geq \frac{3}{2}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})+\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{3}{2}\geq \frac{3}{2}(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})$

$2(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}) \geq \frac{3}{2}(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b})+\frac{3}{2}$

cộng từng vế 2 bđt trên đc đpcm

[Nguyễn Hữu Huy]

Bài 335
Cho $x^2 + y^2 + z^2 =1$
Chứng minh BĐT

$\sum \frac{x}{y^2 + z^2} \geq \frac{9}{2(x + y + z)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 16-04-2012 - 13:54

[Ispectorgadget]

Bài 336: Cho a,b,c>0 chứng minh rằng $$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\geq 3(a-b)(b-c)$$
Bài 337: Cho $a,b>0$ chứng minh rằng $$\frac{1}{2}(a+b)^2+\frac{1}{4}(a+b)\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$$

[L Lawliet]

Bài 336: Cho a,b,c>0 chứng minh rằng $$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\geq 3(a-b)(b-c)$$

Bất đẳng thức tương đương:
$$a^2+4b^2+c^2\geq 4ab+4bc-2ac$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy là ra ĐPCM (sai thì anh Kiên chỉ em nha )

[Mai Duc Khai]

Bài 337: Cho $a,b>0$ chứng minh rằng $$\frac{1}{2}(a+b)^2+\frac{1}{4}(a+b)\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$$

\[\frac{1}{2}{(a + b)^2} + \frac{1}{4}(a + b) \ge a\sqrt b + b\sqrt a \]
Ta có:
\[\frac{1}{2}{(a + b)^2} + \frac{1}{4}(a + b) = \frac{{a + b}}{2}\left( {a + b + \frac{1}{2}} \right) \ge \sqrt {ab} \left( {a + b + \frac{1}{2}} \right)\]
Ta phải chứng minh: $\sqrt {ab} \left( {a + b + \frac{1}{2}} \right) \ge a\sqrt b + b\sqrt a$
Thật vậy:
\[\sqrt {ab} \left( {a + b + \frac{1}{2}} \right) \ge a\sqrt b + b\sqrt a \]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {ab} \left( {a + b + \frac{1}{2} - \sqrt a - \sqrt b } \right) \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {ab} \left[ {{{\left( {\sqrt a - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b - \frac{1}{2}} \right)}^2}} \right] \ge 0(*)\]
Do (*) đúng nên BĐT được cm:
Đẳng thức xảy ra khi:

\[\left[ \begin{array}{l}
a = b = \frac{1}{4}\\
a = b = 0
\end{array} \right.\]

[Katyusha]

Bài 337: Cho $a,b>0$ chứng minh rằng $$\frac{1}{2}(a+b)^2+\frac{1}{4}(a+b)\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$$

AM-GM:
$$VT\ge 2ab+\dfrac{1}{4}(a+b)=ab+\dfrac{a}{4}+ab+\dfrac{b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$$

Ai giải giúp mình bài 335 với

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 18-04-2012 - 07:14

[Nguyễn Hữu Huy]

Bài 338
Cho các số thực dương x ; y ; z thõa mãn xyz = 1
Chứng minh rằng
$\dfrac{1}{1 + x^2 + y^2} + \dfrac{1}{1 + y^2 + z^2} + \dfrac{1}{1 + z^2 + x^2} \leq \dfrac{1}{1 + x + x^2} + \dfrac{1}{1 + y + y^2} + \dfrac{1}{1 + z + z^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hữu Huy: 20-04-2012 - 06:27

[Dung Dang Do]

Bài 339:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
$$\frac{x-y}{x^4+y^4+6}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-04-2012 - 17:34

[phantomladyvskaitokid]

Bài 339:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
$$\frac{x-y}{x^4+y^4+6}$$

$\left | \frac{x-y}{x^4+y^4+6} \right |\leq \frac{|x-y|}{2(x^2+y^2)+4} \leq \frac{|x-y|}{(x-y)^2+4}\leq 4\Rightarrow -4\leq \frac{x-y}{x^4+y^4+6}\leq 4$

[phantomladyvskaitokid]

Bài 340
Cho $a,b,c$ là độ dài 3cạnh tam giác thoã mãn $a+b+c=1$.CMR:
$$1<\frac{b}{\sqrt{a+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{b+c^2}}+\frac{a}{\sqrt{c+a^2}}<2$$

$a+b^2=a(a+b+c)+b^2<a(a+b+c)+b^2+c^2+ab+ac+2bc=(a+b+c)^2=1 \Rightarrow \frac{b}{\sqrt{a+b^2}}>b$

tuong tu suy ra $1<\frac{b}{\sqrt{a+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{b+c^2}}+\frac{a}{\sqrt{c+a^2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phantomladyvskaitokid: 22-04-2012 - 07:29

[Dung Dang Do]

Bài 340:
Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$4abc\left [ \frac{1}{(a+b)^2c}+\frac{1}{(a+c)^2b}+\frac{1}{(c+b)^2a} \right ]+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}\ge 9$$

[phantomladyvskaitokid]

Bài 340:
Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$4abc\left [ \frac{1}{(a+b)^2c}+\frac{1}{(a+c)^2b}+\frac{1}{(c+b)^2a} \right ]+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}\ge 9$$

$4abc\left [ \frac{1}{(a+b)^2c}+\frac{1}{(a+c)^2b}+\frac{1}{(c+b)^2a} \right ]+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}$

$=\frac{4ab}{(a+b)^2}+\frac{4bc}{(b+c)^2}+\frac{4ca}{(c+a)^2}+\frac{a+b}{2c}+\frac{a+b}{2c}+\frac{b+c}{2a}+\frac{b+c}{2a}+\frac{c+a}{2b}+\frac{c+a}{2b}$

$\geq 9$

[Cao Xuân Huy]

Lâu rồi mới post bài nên post một vài bài cho các bạn làm.

Lâu rồi không post bài trên VMF, hôm nay rảnh post ít bài cho các bạn làm.

Bài 340: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
\[\frac{{ab}}{{1 - {c^2}}} + \frac{{bc}}{{1 - {a^2}}} + \frac{{ca}}{{1 - {b^2}}} \le \frac{3}{8}\]

Bài 341: Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh:
\[1 + \frac{{a{b^2} + b{c^2} + c{a^2}}}{{(ab + bc + ca)(a + b + c)}} \ge \frac{{4\sqrt[3]{{({a^2} + ab + bc)({b^2} + bc + ca)({c^2} + ca + ab)}}}}{{{{(a + b + c)}^2}}}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-04-2012 - 17:35

[Ispectorgadget]

Bài 340: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
\[\frac{{ab}}{{1 - {c^2}}} + \frac{{bc}}{{1 - {a^2}}} + \frac{{ca}}{{1 - {b^2}}} \le \frac{3}{8}\]

$$\frac{ab}{1-c^2}=\frac{ba}{(a+b)(a+b+2c)}\leq \frac{ab}{2(a+b)\sqrt{(a+c)(b+c)}}\leq \frac{(ab)^{\frac{3}{4}}}{2\sqrt{2(a+b)(b+c)(c+a)}}$$
Do đó ta cần chứng minh $$(ab)^{\frac{3}{4}}+(bc)^{\frac{3}{4}}+(ac)^{\frac{3}{4}}\leq \frac{3}{2\sqrt{2}}\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}$$
Hay
$$\Leftrightarrow [(ab)^{\frac{3}{4}}+(bc)^{\frac{3}{4}}+(ac)^{\frac{3}{4}}]^2\leq \frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)$$
$$[(ab)^{\frac{3}{4}}+(bc)^{\frac{3}{4}}+(ac)^{\frac{3}{4}}]^2\leq $$
$$(ab+bc+ac)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac})\leq (ab+bc+ac)(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2})$$
Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh $8(a+b+c)(ab+bc+ac)\leq 9(a+b)(b+c)(c+a)$
Cái này khá quen thuộc rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 29-04-2012 - 15:16

[le_hoang1995]

334.
Cho a,b,c>0 tm $a^{4}+b^{4}+c^{4}=3$.cmr
$\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

Theo BĐT chê-bư-sép ta có $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{1}{3}.(a^4+b^4+c^4)\left [\frac{1}{a^2(b+c)}+\frac{1}{b^2(a+c)} +\frac{1}{c^2(b+a)} \right ]\geq \frac{9}{a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}$

Ta dễ chứng minh $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)\leq 2(a^3+b^3+c^3)$ theo AM-GM.

Và theo Holder ta có $3.(a^4+b^4+c^4)(a^4+b^4+c^4)(a^4+b^4+c^4)\geq (a^3+b^3+c^3)^4$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\leq 3$

$\Rightarrow a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)\leq 2(a^3+b^3+c^3)\leq 2.3=6$.

Thay vào trên, ta suy ra ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 29-04-2012 - 11:01

[pumpumt]

Bài 342:
cho 3 số thực dương a,b,c và a+b+c=3. Chứng minh rằng $\sum \frac{a}{ab+b^{3}}\geq \frac{3}{2}$