Topic bất đẳng thức THCS (2)
#721
Đã gửi 21-05-2012 - 00:41
$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b+c}\geq 2$$
- hamdvk yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#722
Đã gửi 21-05-2012 - 10:37
Bài 364: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $ab+bc+ac=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b+c}\geq 2$$
Đk ko âm phải chưa anh !???
BĐT tương đương với
$\sum a + \sum \frac{ab}{a + b} + \frac{1}{a + b + c} \geq 2$
Ko mất tính tổng quát , giả sử $a \geq b \geq c$
Ta có
$\frac{bc}{b + c} + \frac{ac}{a + c} \geq 0$
Cần cm
$\sum a + \frac{ab}{a + b} + \frac{1}{a + b + c} \geq 2$
Ta thấy rằng
$\sum a + \frac{ab}{a + b} + \frac{1}{a + b + c} \geq \sum a + \frac{c^2 + 1}{a + b + c} \geq 2\sqrt{c^2 + 1} \geq 2$
Xảy ra khi a = b = 1 ; c = 0
Sai ko biết ! Nếu có ai các huynh thông cảm đệ nhé ! Chớ thực dương cả thì em bó tay !
- Dung Dang Do yêu thích
P . I = A . 22
#723
Đã gửi 21-05-2012 - 10:38
CMR :
$\sum \frac{1}{(x + y)^2} \geq \frac{27}{4(x + y + z)}$
Đọc kĩ nội quy topic nhé vui lòng ghi số bài vào còn tái phạm xóa không báo trước.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 21-05-2012 - 11:14
P . I = A . 22
#724
Đã gửi 21-05-2012 - 18:18
Đề bài đúng phải là:
$\sum\frac{1}{(x+y)^2}\ge\frac{27}{4(x+y+z)^2}$
Giải:
Sử dụng BĐT Bu-nhi-a-cop-xki ta có:
$3(\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x)^2})\ge(\frac{1}{(x+y)}+\frac{1}{(y+z)}+\frac{1}{(z+x)})^2\ge[\frac{9}{2(x+y+z)}]^2=\frac{81}{4(x+y+z)^2}$
$<=>(\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x)^2})\ge\frac{27}{4(x+y+z)^2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuongnamz10A2: 21-05-2012 - 18:21
#726
Đã gửi 22-05-2012 - 11:55
Bài này chỉ cần 1 dòng là xongBài 363: (PolishMO 2008) Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng:
$$4(\sqrt{a^3b^3}+\sqrt{b^3c^3}+\sqrt{c^3a^3})\leq 4c^3+(a+c)^3$$
$$RHS-LHS=(\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}-2\sqrt{c^3})^2+3ab(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hay $a=0;b=\sqrt[3]{4}c$ hoặc $a=\sqrt[3]{4}c;b=0 \,\,\, \square$
- duongld, perfectstrong và hamdvk thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#727
Đã gửi 23-05-2012 - 11:05
Bài 368: Cho 3 số $a,b,c$ thực dương thỏa $a^3+b^3+c^3=3$. Tìm GTLN
$$P=\frac{a^2b}{(2a+b)^2}+\frac{b^2c}{(2b+c)^2}+\frac{c^2a}{(2c+a)^2}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 23-05-2012 - 11:12
$\LaTeX$
- duongld, Cao Xuân Huy và hamdvk thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#728
Đã gửi 23-05-2012 - 19:53
Từ giả thiết suy ra: $xy+yz+zx\le 1$. Đặt: $xy+yz+zx=S$Bài 367: Cho 3 số $x,y,z$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm min $$T=\sqrt{x^2+(1-yz)^2}+\sqrt{y^2+(1-xz)^2}+\sqrt{z^2+(1-xy)^2}$$
Áp dụng Minkowski ta có:
\[T \ge \sqrt {{{(x + y + z)}^2} + {{(3 - xy - yz - zx)}^2}} = \sqrt {1 + 2S + {{(3 - S)}^2}} \]
\[ = \sqrt {{S^2} - 2S + 1 - 2S + 9} \ge \sqrt {{{(S - 1)}^2} - 2 + 9} \ge \sqrt 7 \]
................
zz
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 23-05-2012 - 19:57
- Ispectorgadget, Poseidont, ducthinh26032011 và 2 người khác yêu thích
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#729
Đã gửi 23-05-2012 - 20:27
Bài 368: Cho 3 số $a,b,c$ thực dương thỏa $a^3+b^3+c^3=3$. Tìm GTLN
$$P=\frac{a^2b}{(2a+b)^2}+\frac{b^2c}{(2b+c)^2}+\frac{c^2a}{(2c+a)^2}$$
$\frac{a^2b}{(2a+b)^2}+\frac{b^2c}{(2b+c)^2}+\frac{c^2a}{(2c+a)^2}$
$\leq \frac{(2a+b)^3}{27(2a+b)^2}+\frac{(2b+c)^3}{27(2b+c)^2}+\frac{(2c+a)^3}{27(2c+a)^2}$
$=\frac{a+b+c}{9}$
$\leq \frac{a^3+1+1+b^3+1+1+c^3+1+1}{27}$
$=\frac{1}{3}$
- Poseidont, minhtuyb, davildark và 1 người khác yêu thích
T hj vọng là khj lên ckuyên rùj, gặp nkiều ng pạn ms, sống trog môj trường học tập ms, thầy cô gjáo ms, thì m kũg ko pao gjờ quên t, kũg nkư k pao gjờ quên 9a2 mìnk, t ngkĩ là nkữg ngày thág m sốg cùg t sẽ ko quá mờ nkạt để m quên đj tất cả đúg ko? Nhưg nếu thờj gjan làm m quên đj 1 ckút thì kũg đừg quên luôn t là aj nka. Đừg để đến khj m onl thấy trog list pạn pè kủa m thấy Nguyễn Bạck Dươg rùj k nkớ là aj luôn đấy nké Thỉnk thoảng về ckơj vs t, k thì t pùn ckết mất Tất cả nkữg đứa thân nkất vs t, hầu nkư lên ckuyên hết uj, nản wá, thật học vs lớp khác nản ckết luôn Chị t sắp cưới, khj đó nkất địnk m fảj về nkà t đấy nká
Khj nào m cướj, cũg nkất địnk fảj mờj t đến Thôj, thế thôj. Tóm lạj là dù thế nào thì kũg k đk quên t đâu đấy nká, hj vọg t vs m vs kn hs vs kn nx mãj thân nké. Ckúg m k đk pỏ t đâu đấy, hjx
#730
Đã gửi 23-05-2012 - 20:43
Tặng topic này 1 bài !
Bài 366:
CMR: $\sum_{k=1}^{n}\sqrt{(1+k)^k}<(n+1)! (1)$
Bài giải:
$n=1 \sqrt{2} < 2!=2$. Suy ra $(1)$ đúng với $n=1$.
Giả sử $(1)$ đúng với $n$, ta phải chứng minh $(1)$ đúng với $n+1$.
Ta có:
$\sum_{k=1}^{n+1}\sqrt{(1+k)^k}=\sum_{k=1}^{n}\sqrt{(1+k)^k}+\sqrt{(n+2)^{n+1}}<(n+1)!+\sqrt{(n+2)^{n+1}}.$
Ta cần CM:
$(n+1)!+\sqrt{(n+2)^{n+1}}< (n+2)! \Leftrightarrow \sqrt{(n+2)^{n+1}}<(n+1)(n+1)!$
Mặt khác: $\sqrt{n^n}<n! \forall \in \mathbb{N}$ ( VMF ta pro chứng minh cái này dễ ).
Nên: $\sqrt{(n+2)^{n+1}}< \frac{(n+2)!}{\sqrt{n+2}}=(n+1)!\sqrt{n+2}<(n+1)!(n+1).$
Vậy $(1)$ đúng $\forall n \in \mathbb{N}$.
- Sun love moon HP yêu thích
#731
Đã gửi 25-05-2012 - 13:19
$$A=x+y+z$$
#732
Đã gửi 25-05-2012 - 15:29
Bài 369: Cho các số $a\in [3;4];b\in [7;9];c\in [10;12]$ thoả mãn $a+b+c=21$. Tìm cực trị của:
$S=abc$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-05-2012 - 17:35
Ghi số thứ tự
Đừng Sợ Hãi Khi Phải
Đối Đầu Với Một Đối Thủ Mạnh Hơn
Mà Hãy Vui Mừng Vì
Bạn Có Cơ Hội Chiến Đấu Hết Mình!
___________________________________________________________________________
Tự hào là thành viên của
VMF
#733
Đã gửi 26-05-2012 - 18:46
Tặng topic 1 bài:
Bài 369: Cho các số $a\in [3;4];b\in [7;9];c\in [10;12]$ thoả mãn $a+b+c=21$. Tìm cực trị của:
$S=abc$.
$(a-4)(b-4)(c-4)\leq 0 \Rightarrow abc-4\sum ab+16\sum a-64\leq 0(1)$
$(a-7)(b-7)(c-7)\leq 0 \Rightarrow abc-7\sum ab+49\sum a-343\leq 0(2)$
$(a-10)(b-10)(c-10)\geq 0 \Rightarrow abc-10\sum ab+100\sum a-1000\geq 0(3)$
$(1)+(2)\Rightarrow 2abc \leq 11\sum ab-958\Rightarrow 110\sum ab \geq 20abc+9580$
$(3)\Rightarrow abc \geq 10\sum ab-1100\Rightarrow 11abc \geq 110\sum ab-12100$
$\Rightarrow 11abc \geq 20abc+9580-12100$
$\Rightarrow abc \leq 280$
tương tự ta tìm đc gtnn của abc
T hj vọng là khj lên ckuyên rùj, gặp nkiều ng pạn ms, sống trog môj trường học tập ms, thầy cô gjáo ms, thì m kũg ko pao gjờ quên t, kũg nkư k pao gjờ quên 9a2 mìnk, t ngkĩ là nkữg ngày thág m sốg cùg t sẽ ko quá mờ nkạt để m quên đj tất cả đúg ko? Nhưg nếu thờj gjan làm m quên đj 1 ckút thì kũg đừg quên luôn t là aj nka. Đừg để đến khj m onl thấy trog list pạn pè kủa m thấy Nguyễn Bạck Dươg rùj k nkớ là aj luôn đấy nké Thỉnk thoảng về ckơj vs t, k thì t pùn ckết mất Tất cả nkữg đứa thân nkất vs t, hầu nkư lên ckuyên hết uj, nản wá, thật học vs lớp khác nản ckết luôn Chị t sắp cưới, khj đó nkất địnk m fảj về nkà t đấy nká
Khj nào m cướj, cũg nkất địnk fảj mờj t đến Thôj, thế thôj. Tóm lạj là dù thế nào thì kũg k đk quên t đâu đấy nká, hj vọg t vs m vs kn hs vs kn nx mãj thân nké. Ckúg m k đk pỏ t đâu đấy, hjx
#734
Đã gửi 27-05-2012 - 21:27
Bài này đâu cần cao siêu như thế chỉ đơn giản là AM-GM: $\frac{a^{2}}{b-1}+4(b-1)\geqslant 4a$ và$\frac{b^{2}}{a-1}+4(a-1)\geqslant 4b$. suy ra E$\geqslant 8$. Dấu bàng xảy ra khi a=b=2Bài 19: Sử dụng Bổ đề sau$\dfrac{1}{x-1}\geq \dfrac{4}{x^2}$
Chứng minh:Bất đẳng thức trên tương đương: $x^2\geq 4x-4\Leftrightarrow x^2-4x+4=(x-2)^2\geq 0$
Áp dụng:$\dfrac{a^2}{b-1}+\dfrac{b^2}{a-1}\geq \dfrac{4a^2}{b^2}+\dfrac{4b^2}{a^2}=4(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{^2})\geq 8$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=2
#735
Đã gửi 27-05-2012 - 21:31
Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{3}}{b(a+c)} \geqslant \frac{3}{2}$.
Bài 380: Cho a,b,c$> 0$ và a+b+c=1. Chứng minh:
a)$ab+bc+ca-abc \leqslant \frac{8}{27}$
b)$16abc\leqslant a+b$
_______________________________________
Mod: Mong bạn chú ý cách trình bày
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 27-05-2012 - 21:46
#736
Đã gửi 27-05-2012 - 21:54
Bài 370: Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn $abc=1$.
Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{3}}{b(a+c)} \geqslant \frac{3}{2}$.
Bài 380: Cho a,b,c$> 0$ và a+b+c=1. Chứng minh:
a)$ab+bc+ca-abc \leqslant \frac{8}{27}$
b)$16abc\leqslant a+b$
Lâu lắm mới lại post bài lên VMF.
Bài 370:
Có nhận xét sau:
\[\frac{{{a^3}}}{{b(a + c)}} + \frac{b}{2} + \frac{{c + a}}{4} \ge \frac{3}{2}a\]
Xây dựng 2 bđt tương tự rồi cộng lại ta có:
\[\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^3}}}{{b(a + c)}}} + (a + b + c) \ge \frac{3}{2}(a + b + c)\]
\[\Rightarrow \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^3}}}{{b(a + c)}}} \ge \frac{1}{2}(a + b + c) \ge \frac{3}{2}\sqrt[3]{{abc}} = \frac{3}{2}\]
Bài 371:
a) \[VT = 1 + ab + bc + ca - a - b - c - abc = (1 - a)(1 - b)(1 - c) \le \frac{{{{(3 - 1)}^3}}}{{27}} = \frac{8}{{27}}\]
b) $bdt \Leftrightarrow 16ab(1 - a - b) \le a + b \Leftrightarrow (a + b)(16ab + 1) \ge 16ab$ : đúng theo AM-GM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 27-05-2012 - 21:56
- hamdvk yêu thích
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#737
Đã gửi 27-05-2012 - 21:54
cô si đơn thuần: $\frac{a^{3}}{b(a+c)}$ + $\frac{b}{2}$ + $\frac{a+c}{4}$ $\geq$ a
tương tự
$\Rightarrow$ $\sum$$\frac{a^{3}}{b(a+c)}$ $\geq$ $\frac{a + b +c}{2} \geq \frac{3}{2}$
#738
Đã gửi 27-05-2012 - 22:31
bđt cần cm tương đương với:$\frac{1+abc}{a(1+b)}+\frac{1+abc}{b(1+c))}+\frac{1 +abc}{c(1+a)}$$\geqslant 3$.Bài 33:
Cho a,b,c >0. CMR: $\dfrac{1}{a(1+b)}+\dfrac{1}{b(1+c)}+\dfrac{1}{c(1+a)}\geq \dfrac{3}{1+abc}$
Chuyên toán Trần Phú hải Phòng 2001-2002 bài này hình như nằm trong đề thi VMO TPHCM thì phải
Tổng quát ta có: Với a,b,c>0
CMR: $\dfrac{1}{a(m+b)}+\dfrac{1}{b(m+c)}+\dfrac{1}{c(m+a)}\geq \dfrac{3m}{m^3+abc}$ (m>0)
Suy ra $\frac{1+abc+a+ab}{a(1+b)}+\frac{1+abc+b+bc}{b(1+c)}+\frac{1+abc+c+ac}{c(1+a)}\geqslant 6$.
$\Leftrightarrow$$\frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{b(1+c)}{1+b}+\frac{1+b}{b(1+c)}+\frac{c(1+a)}{1+c}+\frac{1+c}{c(1+a)}+\frac{a(1+b)}{1+a}$$\geqslant 6$(luôn đúng theo Bđt AM-GM) suy ra đfcm
__
Bài này có người giải rồi bạn ạ. Lần sau chú ý hơn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-05-2012 - 22:33
- hamdvk yêu thích
#739
Đã gửi 27-05-2012 - 22:50
Bài 273: $\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{3a^{2}+14b^{2}+8ab}}= \sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(3a+2b)(a+4b)}}\geqslant \sum \frac{a^{2}}{4a+6b}$Anh xin làm 2 bài.
272. Ta có $$\dfrac{a}{\sqrt{b} - 1} + \dfrac{b}{\sqrt{c} - 1} + \dfrac{c}{\sqrt{c} - 1} \ge \dfrac{(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2}{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} - 3}$$ $$ = \dfrac{x^2}{x - 3} = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3} + \dfrac{9}{x - 3} = x + 3 + \dfrac{9}{x - 3} = 6 + x - 3 + \dfrac{9}{x - 3} \ge 6 + 6 = 12$$
273.
Đặt $ S= \sum a^2(3a^2 + 8b^2 + 14ab)$
Lúc đó
$$R^2.S \ge (a^2 + b^2 + c^2)^3$$
Ta lại có :
$$S = 3(a^4 + b^4 + c^4) + 8(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) + 14abc(a + b + c) $$ $$= 3(a^2 + b^2 + c^2)^2 + 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) + 14abc(a + b + c)$$
xét $$2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) \le \dfrac{2(a^2 + b^2 + c^2)^2}{3}$$
$$14abc(a + b + c) \le \dfrac{14(a^2 + b^2 + c^2)^2}{3}$$
Nên $$S \le 3(a^2 + b^2 + c^2)^2 + \dfrac{2(a^2 + b^2 + c^2)^2}{3} + \dfrac{14(a^2 + b^2 + c^2)}{3} = \dfrac{25(a^2 + b^2 + c^2)^2}{3}$$
Nên $$R \ge \sqrt{\dfrac{(a^2 + b^2 + c^2)^3}{\dfrac{25(a^2 + b^2 + c^2)^2}{3}}} = \dfrac{\sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2}}{5} \ge \dfrac{a + b + c}{5} = \dfrac{3}{5}$$
Có $\sum \frac{a^{2}}{4a+6b}+\frac{a+b+c}{10}\geqslant \frac{a+b+c}{5}$$\Rightarrow$$\sum \frac{a^{2}}{4a+6b}\geqslant \frac{a+b+c}{5}= \frac{3}{5}$$\Rightarrow R\geqslant \frac{3}{5}$. Min R=$\frac{3}{5}\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thoconlk: 27-05-2012 - 22:51
- hamdvk yêu thích
#740
Đã gửi 27-05-2012 - 22:55
Ở đâu thế ạbđt cần cm tương đương với:$\frac{1+abc}{a(1+b)}+\frac{1+abc}{b(1+c))}+\frac{1 +abc}{c(1+a)}$$\geqslant 3$.
Suy ra $\frac{1+abc+a+ab}{a(1+b)}+\frac{1+abc+b+bc}{b(1+c)}+\frac{1+abc+c+ac}{c(1+a)}\geqslant 6$.
$\Leftrightarrow$$\frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{b(1+c)}{1+b}+\frac{1+b}{b(1+c)}+\frac{c(1+a)}{1+c}+\frac{1+c}{c(1+a)}+\frac{a(1+b)}{1+a}$$\geqslant 6$(luôn đúng theo Bđt AM-GM) suy ra đfcm
__
Bài này có người giải rồi bạn ạ. Lần sau chú ý hơn.
__
Bạn chịu khó tìm đi nhé. Bài này mình giải rồi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-05-2012 - 22:57
4 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh