Đến nội dung

Hình ảnh

Topic bất đẳng thức THCS (2)


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 1115 trả lời

#741
thoconlk

thoconlk

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
Bài 371:
Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương a,b,c:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geqslant 3\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$
Bài 372: Chứng minh: $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leqslant \sqrt{c(ab+1)}$ với mọi số thực dương a,b,c $\geqslant 1$
Bài 373: Cho a,b,c,d dương tuỳ ý. Chướng minh:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{p+q}{pa+pb}+\frac{p+q}{pb+pc}+\frac{p+q}{pc+pa}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 29-05-2012 - 20:22


#742
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 372: Chứng minh: $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leqslant \sqrt{c(ab+1)}$ với mọi số thực dương a,b,c $\geqslant 1$

Toàn bài quen thuộc zz

Ta có: $$(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1})^2=(\sqrt{a-1}.1+1\sqrt{b-1})^2\leq [(\sqrt{a-1})^2+1][1+(\sqrt{b-1})^2]=ab$$
Suy ra $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\le ab$
Ta phải chứng minh $$\sqrt{ab}+\sqrt{c-1}\le \sqrt {c(ab+1)}$$
Để ý rằng $c(ab+1)=(c-1+1)(1+ab)$
$$(\sqrt{ab}+\sqrt{c-1})^2=(\sqrt{ab}.1+1\sqrt{c-1})^2\le[(\sqrt{ab}^2+1)][1+(\sqrt{c-1})^2]=c(ab+1)$$
Và như thế bài toán được chứng minh $\blacksquare$

Bài 373 $p,q$ là cái gì vậy bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 28-05-2012 - 07:34

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#743
thoconlk

thoconlk

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

Toàn bài quen thuộc zz

Bài 373 $p,q$ là cái gì vậy bạn.

p,q$>$0 bất kì

#744
thoconlk

thoconlk

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
Bài 372: Đặt a-1=x2; b-1=y2; c-1=z2 (với x,y,z $>$0) thì bđt cần chứng minh trở thành: x+y+z$\leqslant \sqrt{(z^{2}+1)[(y^{2}+1)(x^{2}+1)+1]}$.
Áp dụng bđt Bunhiacõpki ta có:x+y$\leqslant \sqrt{(x^{2}+1)(y^{2}+1)}\Rightarrow x+y+z\leqslant \sqrt{(x^{2}+1)(y^{2}+1)}+z\leqslant \sqrt{(x^{2}+1)(y^{2}+1)+1}.\sqrt{z^{2}+1}$.
Bài 373: Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: (p+q)2 = $(\sqrt{\frac{p}{a}}.\sqrt{pa}+\sqrt{\frac{p}{b}}.\sqrt{pb})^{2}\leqslant (\frac{p}{a}+\frac{p}{b})(pa+pb)$. Cm tương tự ta được: (p+q)2 $\leqslant (\frac{p}{b}+\frac{q}{c})(pb+qc)$ ; (p+q)2 $\leqslant (\frac{p}{c}+\frac{q}{a})(pc+qa))$.
Cộng từng vế ta có:
(p+q)2 $[\frac{1}{pa+qb}+\frac{1}{pb+qc}+\frac{1}{pc+qa}\leqslant (p+q)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
Hay (p+q)$[\frac{1}{pa+qb}+\frac{1}{pb+qc}+\frac{1}{pc+qa}]\leqslant \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Suy ra đfcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thoconlk: 29-05-2012 - 20:58


#745
thoconlk

thoconlk

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
Bài 374: Cho M=x2+y2+2y2+t2 với x,y,z,t là các số nguyên không âm. Hãy tìm Min M và các giá trị tương ứng của x,y,z,t biêt rằng:
x2-y2+t2=21 và x2+3y2+4z2=101
MOD: Bài kia của bạn có rồi nên mình xóa đi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 28-05-2012 - 21:33


#746
thoconlk

thoconlk

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

Bài 374: Cho M=x2+y2+2y2+t2 với x,y,z,t là các số nguyên không âm. Hãy tìm Min M và các giá trị tương ứng của x,y,z,t biêt rằng:
x2-y2+t2=21 và x2+3y2+4z2=101
MOD: Bài kia của bạn có rồi nên mình xóa đi.

Thế bạn giải bài kia thế nào?

#747
thoconlk

thoconlk

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
Giải Bài 374 vậy: x2-y2+t2=21 (1) và x2+3y2+4z2=101(2). Cộng từng vế (1) và (2) ta được:2x2 +2y2 +t2 +4z2 =122(3)
Vì x,y,z,t là các số nguyên nên từ (3) suy ra t2 $\vdots$2. Mà t2 là số chính phương nên t2 $\vdots$4.
Đặt t2 =4k2(với k$\in$Z,k$\geqslant 0$) thì phương trình (3) trở thành: 2x2 +2y2 +4k2 +4z2 =122 $\Leftrightarrow$ x2 +y2 +2z2 +2k2 =61$\Leftrightarrow$ x2 +y2 +2z2 +4k2 = 61+2k2 hay M =61 +2k2 $\geqslant$61.
Dấu bằng xảy ra khi t=0, x=5,y=2,z=4.
Vậy Min M=61 khi (x,y,z,t)=(5,2,4,0)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thoconlk: 29-05-2012 - 20:58


#748
NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1468 Bài viết

bài 368: Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương thoã mãn $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$. Tìm GINN của
$$A=x+y+z$$

Đây là bài toán thách đấu trên Toán tuổi thơ 2 số gần đây(nói thế chú là số năm ngoái)

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


#749
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Bài 364: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $ab+bc+ac=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b+c}\geq 2$$


Chú ý rằng $$\frac{ab+bc+ca}{a+b}=c+\frac{ab}{a+b}$$ nên bất đẳng thức tương đương với $$\left (a+b+c+\frac{1}{a+b+c} \right )+\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\ge2..$$ Ủa, bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo AM-GM mà ? Đề bài có nhầm lẫn thì phải, đề đúng hình như phải phải là $$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq 2+\frac{1}{a+b+c}$$
___
Cái này em lấy bên diễn đàn nước ngoài nên không rõ ạ! :|

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 04-06-2012 - 13:20

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#750
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Bài 371:
Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương a,b,c:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geqslant 3\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$

Em xin giải (có người gợi ý mới ra :D)
Nhận thấy $\sum{(\frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^2})}=\sum{((\frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}+b+c)-(b+c))}=\sum{(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^2-bc+c^2}-(b+c))}$
$\sum{(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^2-bc+c^2}-(b+c))}\geq \dfrac{9(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}-2(a+b+c)$ (AM-GM $1/a+1/b+1/c\geq 9/(a+b+c)$)
Như vậy ta cần chứng minh
$\dfrac{9(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}-2(a+b+c)\geq 3\dfrac{ab+bc+ca}{a+b+c}$
$\leftrightarrow \dfrac{9(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}-2(a+b+c)\geq a+b+c$
$\leftrightarrow \dfrac{9(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}\geq 3(a+b+c)$
$\leftrightarrow 3(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b+c)(2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca))$
$\leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
Luôn đúng do Schur bậc 3 nên đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 05-06-2012 - 18:00


#751
baonguyen97

baonguyen97

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
Bài 372
Cho x,y,z là các số thực dương. chứng minh
\[
4(xy + yz + xz) \le \sqrt {(x + y)(y + z)(x + z)} (\sqrt {x + y} +\sqrt {y + z}+ \sqrt {x + z})
\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 07-06-2012 - 14:49


#752
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Bài 372
Cho x,y,z là các số thực dương. chứng minh
\[
4(xy + yz + xz) \le \sqrt {(x + y)(y + z)(x + z)} (\sqrt {x + y} +\sqrt {y + z}+ \sqrt {x + z})
\]

Giải như sau:
Đặt $\sqrt{x+y}=a;\sqrt{y+z}=b;\sqrt{z+x}=c \rightarrow \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=x+y+z$
Suy ra $x=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2};y=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2};z=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}$
Do đó BDT tương đương
$(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)+(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2)+(b^2+c^2-a^2)(a^2+b^2-c^2)\le abc(a+b+c)$
$\leftrightarrow 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\le a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)$
$\leftrightarrow a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)-2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\geq 0$
$\leftrightarrow (a+b+c)(a^3+b^3+c^3+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a))\geq 0$
Hiển nhiên đúng do $a+b+c>0; a^3+b^3+c^3+3abc-[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\geq 0 \rightarrow \text{luôn đúng do BDT Schur bậc 3}$
Dấu $=$ khi $a=b=c \rightarrow x=y=z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 07-06-2012 - 15:59


#753
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Bài 373: Cho $a,b,c>1$. Tìm min của
$$P=\frac{a^3}{a+b-2}+\frac{b^3}{b+c-2}+\frac{c^3}{a+c-2}$$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#754
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Bài 373: Cho $a,b,c>1$. Tìm min của
$$P=\frac{a^3}{a+b-2}+\frac{b^3}{b+c-2}+\frac{c^3}{a+c-2}$$

Giải như sau:
Theo BDT cauchy schwarz cho 3 số ta có
$\dfrac{a^3}{x}+\dfrac{b^3}{y}+\dfrac{c^3}{z}\geq \dfrac{(a+b+c)^3}{3(x+y+z)}$
Áp dụng ta có:
$\sum{\dfrac{a^3}{a+b-2}}\geq \dfrac{(a+b+c)^3}{3(a+b+b+c+c+a-6)}=\dfrac{(a+b+c)^3}{6(a+b+c)-18}$
Ta sẽ chứng minh $\dfrac{(a+b+c)^3}{6(a+b+c)-18} \geq \dfrac{81}{8} \leftrightarrow \dfrac{(a+b+c)^3}{(a+b+c)-3}\geq \dfrac{243}{4}$
Đặt $a+b+c=k$
Suy ra ta cần chứng minh $\dfrac{k^3}{k-3}\geq \dfrac{243}{4} \leftrightarrow 4k^3-243k+729\geq 0 \rightarrow (9-2k)^2(k+9)\geq 0$ Hiển nhiên
Dấu $=$ khi $a=b=c$ và $9-2k=0 \rightarrow k=4,5 \rightarrow a=b=c=1,5$
Vậy $min{P}=\dfrac{81}{8} \leftrightarrow a=b=c=1,5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 07-06-2012 - 22:25


#755
thoconlk

thoconlk

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
Bài 374: Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+c}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b}\geqslant \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thoconlk: 08-06-2012 - 07:53


#756
thoconlk

thoconlk

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

Bài 296: Cho $x\ge xy+1$ . Tìm GTLN của $P=\frac{3xy}{x^2+y^2}$
Đề thi tuyển sinh - Hải Phòng

Xét x,y trái dấu thì P<0
Xét 1 trong 2 số a,b bằng 0 thì P=0
Xét x,y cùng dấu và khác 0 từ giả thiết x$\geq$xy+1 suy ra x,y dương.
Có P=$\frac{3xy}{x^{2}+y^{2}}= \frac{3}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$.
Xét $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}= \frac{x}{16y}+\frac{y}{x}+\frac{15x}{16y}\geq \frac{1}{2}+\frac{15x}{16y}$ (theo bđt Côsi)
Có x$\geq xy+1$ $\Rightarrow$y+$\frac{1}{x}\leq 1$ $\Rightarrow$y$\leq 1-\frac{1}{x}$
Vì x,y dương, x$\geq xy+1$ nên x>1 suy ra x-$\frac{1}{x}> 0$.
Suy ra $\frac{15x}{16y}\geq \frac{15x}{16(1-\frac{1}{x})}\geq \frac{15}{4}$ Suy ra $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq \frac{1}{2}+\frac{15}{4}=\frac{17}{4}$ Suy ra P$\geq \frac{12}{17}$ dấu đẳng thức xảy ra khi x=2; y=$\frac{1}{2}$.
Từ 3 TH rut ra kết luận Max P= $\frac{12}{17}$ khi x=2, y=$\frac{1}{2}$

#757
anh19101997

anh19101997

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
BÀi 375: $a,b,c> 0, ab+bc+ca=1$ cmr
$$(1-a^{2})(1-b^{2})(1-c^{2})\leq abc(a+b)(b+c)(c+a)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 08-06-2012 - 10:47

Hopefullllllllllllllll

#758
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Em có ý kiến tại sao mọi ngưòi mở rộng các bài bđt mà không giải tổng quát phần mở rộng

đúng đấy em cũng có í kiến thế

Thật việc này trước đây có làm mà dạo này số thành viên "ghé thăm" topic không sôi nổi như trước nữa. :wacko:

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#759
Beautifulsunrise

Beautifulsunrise

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 450 Bài viết
Bài 376. Cho PT ax2 + 1998x + c = 0 với a, c $\epsilon$ Z; $\left | a \right |< 2000$.
Chứng minh rằng nếu PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì
$\left | x_{1}-x_{2} \right |$ $\geqslant \frac{1}{998}$
(TS lớp 10 NK Trần Phú 2000 - 2001)
Bài 377. Cho a, b, c > 0.
CM: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2$
(TS lớp 10 QH Huế 2001 - 2002)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 08-06-2012 - 10:47


#760
Mai Duc Khai

Mai Duc Khai

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 617 Bài viết

Bài 376. Cho a, b, c > 0.
CM: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2$
(TS lớp 10 QH Huế 2001 - 2002)



Ta có:

\[\begin{array}{l}
\frac{a}{{b + c}} < \frac{{a + a}}{{a + b + c}} = \frac{{2a}}{{a + b + c}}\\
\frac{b}{{c + a}} < \frac{{b + b}}{{a + b + c}} = \frac{{2b}}{{a + b + c}}\\
\frac{c}{{a + b}} < \frac{{c + c}}{{a + b + c}} = \frac{{2c}}{{a + b + c}}
\end{array}\]


Cộng vế theo vế của 3 BĐT ta có $dpcm$

- Bài này thực chất là Cho $a, b, c > 0.$ Cm:$1 < \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} < 2$

hoặc Cho $a,b,c>0$. Cm: $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}$ ko nguyên

Tra cứu công thức toán trên diễn đàn


Học gõ Latex $\to$ Cách vẽ hình trên VMF


Điều mà mọi thành viên VMF cần phải biết và tuân thủ

______________________________________________________________________________________________

‎- Luật đời dạy em cách Giả Tạo
- Đời xô ... Em ngã
- Đời nham ... Em hiểm

- Đời chuyển ... Em xoay

Đời cay ... Em đắng





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh