Chủ đề này có 1115 trả lời

[nth1235]

Bài này sai ở cái đề, đọc trong link kia sẽ thấy. Còn qui nạp thì không phải lúc nào cũng đúng. Khi cho k=4 thì GTLN của nó lớn hơn hai.

Nhưng bài này mình lại thấy trong sách của anh Võ Quốc Bá Cẩn đã đưa ra bài tổng quát. Nếu sai thì tại sao có trong sách ???

[henry0905]

Nhưng bài này mình lại thấy trong sách của anh Võ Quốc Bá Cẩn đã đưa ra bài tổng quát. Nếu sai thì tại sao có trong sách ???

Viết sách đôi khi cũng phải có nhầm lẫn chứ. Bây giờ chỉ cần mình đưa ra một phản ví dụ là với k=4 thì GTLN của nó lớn hơn 2. Vậy với k=4 thì anh Cẩn sai.

[nth1235]

Viết sách đôi khi cũng phải có nhầm lẫn chứ. Bây giờ chỉ cần mình đưa ra một phản ví dụ là với k=4 thì GTLN của nó lớn hơn 2. Vậy với k=4 thì anh Cẩn sai.

Ukm, Mình xem cái cm rồi. Lâu lâu anh Cẩn cũng bất cẩn. Hì

[Nguyen Tho The Cuong]

lam giup em bai nay :Cho $x.y=1.$. CM $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}\geqslant 2\sqrt{2}$

[Katyusha]

lam giup em bai nay :Cho $x.y=1.$. CM $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}\geqslant 2\sqrt{2}$

Điều kiện phải là $x>y>0$ nữa chứ nhỉ.
Nếu như thế thì ta đưa BĐT về:
$$x^2+y^2 \ge 2 \sqrt{2}(x-y) \Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2} \ge 2\sqrt{2}(x-\dfrac{1}{x}) (*)$$
Đặt $t=x-\dfrac{1}{x}$ thì $t >0$ và $x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2+2$
Khi đó:
$$(*) \Leftrightarrow t^2+2 \ge 2\sqrt{2}t \Leftrightarrow (t-\sqrt{2})^2 \ge 0$$
BĐT cuối đúng, vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 05-09-2012 - 10:36

[899225]

[BoBoiBoy]

Ta có:$(x+y+1)^2-3(xy+x+y)=\frac{1}{2}((x-1)^2+(y-1)^2+(x-y)^2)\geq 0$
$(x+y+1)^2\geq 3(xy+x+y)$.
$\frac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}+\frac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}=\frac{8(x+y+1)^2}{9(xy+x+y)}+(\frac{(x+y+1)^2}{9(xy+x+y)}+\frac{xy+x+y}{(x+y+1)^2})$
$\geq \frac{8}{9}.3+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$
Dấu $"="\Leftrightarrow x=y=1$

[BoFaKe]

lam giup em bai nay :Cho $x.y=1.$. CM $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}\geqslant 2\sqrt{2}$

Điều kiện đề phải là $x>y>0$ khi đó ta sẽ có một cách làm đơn giản hơn rất nhiều:
$\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}= \frac{(x-y)^{2}+2xy}{x-y}= (x-y)+\frac{2}{x-y}\geq 2\sqrt{2}$(Theo Cô-si)
Vậy ta có ĐPCM.

[899225]

Tổng quát hóa dạng toán trên

Từ đó có thể làm được nhiều bài khó có dạng tương tự.
Đó cũng là 1 kĩ thuật chọn điểm rơi trong BĐT

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 899225: 06-09-2012 - 18:52

[thaptam]

Bài 495
Cho x.y.z thỏa mãn $0 \leq x,y,z \leq 2$ và $x+y+z=3$.TÌm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của:

B= $x^4 +y^4+z^4 +12(1-x)(1-y)(1-z)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thaptam: 09-09-2012 - 18:39

[thien than cua gio]

Bài 496:Cho $x,y,z,$ là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}-\sqrt{xyz+2xy+2yz+2zy}=0$ .Chứng minh :
$\frac{\sqrt{x^{3}y^{5}}-2xy}{x^{2}+y^{2}}+\frac{\sqrt{y^{3}z^{5}}-2yz}{y^{2}+z^{2}}+\frac{\sqrt{z^{3}x^{5}}-2zx}{z^{2}+x^{2}}$

[hientran812]

xin cho đáp án bài 496 đi bạn ?

[vuive97]

Bài 450: Cho x,y,z>0 thỏa $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$
Tìm GTLN của $3(xy+xz+yz)-xyz$

Xét (1-x)(1-y)(1-z)= 1-(x+y+z)+xy+yz+zx-xyz
Lại có (1-x)(1-y)(1-z) $\leq$$\frac{(1-x)^{3}+(1-y)^{3}+(1-z)^{3}}{3}= \frac{3-3(x+y+z)+3(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(x^{3}+y^{3}+z^{3})}{3}= x^{2}+y^{2}+z^{2}-(x+y+z))\Rightarrow 3(xy+yz+zx)-xyz\leq (x+y+z)^{2}-1$$\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\leq \sqrt[3]{(x^{3}+y^{3}+z^{3})^{2}(1+1+1))}=9\Rightarrow 3(xy+yz+zx)-xyz\leq 8$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$x=y=z=1
Vậy GTLN của biểu thức bằng 8 khi x=y=z=1

[dinhngoclinhyl]

Với mọi số a, b, c dương. Chứng minh rằng;
$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geqslant \frac{3}{1+abc}$

[letankhang]

Bài 497:
$Cho 0\leq x ; y ;z \leq 1. CMR:
\frac{x}{yz+1} + \frac{y}{xz+1} + \frac{z}{xy+1} \leq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 03-10-2012 - 08:57

[letankhang]

Bài 498:
$Cho x+y \geq 0. CMR: \frac{1}{1+4^{x}}+\frac{1}{1+4^{y}} \geq \frac{2}{1+2^{x+y}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 03-10-2012 - 09:39

[vinh1712]

Bài 499
Cho a,b,c > 0 và a+b+c = 3
CMR $2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+4abc\geq 19$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vinh1712: 05-11-2012 - 21:28

[kenvuong]

Bài 500:
a, Cho: $x\geq 1;y\geq 1\\\\CMR:\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}$

b, Cho x, y,z >2 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

CMR:(x-2)(y-2)(z-2)$\leq$1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kenvuong: 07-10-2012 - 17:35

[minhhieukaka]

Bài 500:
a, Cho: $x\geq 1;y\geq 1\\\\CMR:\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\geq \frac{2}{1+xy}$

Bài làm

Ta có:
$\frac{1}{(1+x^{2})}-\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{1+y^{2}}-\frac{1}{1+xy}\geq 0$
<=> $\frac{1+xy-1-x^{2}}{(1+x^{2})(1+xy)}+\frac{1+xy-1-y^{2}}{(1+y^{2})(1+xy)}\geq 0$
<=> $\frac{x(y-x)}{(1+x^{2})(1+xy)}+\frac{y(x-y)}{(1+y^{2})(1+xy)}\geq 0$
,<=> $x(y-x)(1+y^{2})+y(x-y)(1+x^{2})\geq 0$
,<=> $(x-y)(-x(1+y^{2})+y(1+x^{2}))\geq 0$
<=> $(x-y)(-x-xy^{2}+y+x^{2}y)\geq 0$
<=> $(x-y)^{2}(xy-1)\geq 0$ (luôn đúng vì xy-1 >= 0)
vì các biến đổi trên tương nên ta có ĐPCM

[Khanh 6c Hoang Liet]

Cho dãy số dương $a_1, a_2, a_3,..., a_n$. Cho $0 < p < q$ là hai số hữu tỉ. Chứng minh rằng :
$\left ( \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_k^q \right )\frac{1}{p} < \left ( \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_k^p \right )\frac{1}{q}$