Đến nội dung

Hình ảnh

Topic bất đẳng thức THCS (2)


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 1115 trả lời

#1061
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

Cho dãy số dương $a_1, a_2, a_3,..., a_n$. Cho $0 < p < q$ là hai số hữu tỉ. Chứng minh rằng :
$\left ( \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_k^q \right )\frac{1}{p} < \left ( \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_k^p \right )\frac{1}{q}$

Em ơi đây là "Topic bất đẳng thức THCS" ạ! Muốn khoe kiến thức thì lên cấp cao hơn nhé em !

#1062
Nguyen Tho The Cuong

Nguyen Tho The Cuong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
chung minh voi moi so thuc duong a,b,c ta co: $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

#1063
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết

chung minh voi moi so thuc duong a,b,c ta co: $\sqrt{\frac{2a}{a+b}}+\sqrt{\frac{2b}{b+c}}+\sqrt{\frac{2c}{c+a}}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

Cấm không được post bàiToán tuổi thơ 2 trong kì !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 14-11-2012 - 23:12


#1064
Nguyen Tho The Cuong

Nguyen Tho The Cuong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
Cho $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{a^{2}+c^{2}}=\sqrt{2013}$

Chung minh: $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a} +\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2013}{2}}$

#1065
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Bài 7 lúc nãy gõ nhầm đã sửa lại :)
Bài 11: Cho a,b,c là 3 số thực dương. Chứng minh rằng:
$\sqrt{a^2+(1-b)^2}+\sqrt{b^2+(1-c)^2}+\sqrt{c^2+(1-a)^2}\geq \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$


chem tam bai nay vay
ap dung bdt Mincopxki ta co
$VT\geq \sqrt{(a +b+c)^{2}+(3-a-b-c)^{2}}\geq \sqrt{\frac{1}{2}(3-a-b-c+a+b+c)^{2}}= \frac{3\sqrt{2}}{2}$
dpcm
dau "=" khi a=b=c

#1066
Nguyen Tho The Cuong

Nguyen Tho The Cuong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
Cho $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}=\sqrt{2013}$

Chung minh: $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2013}{2}}$

#1067
Nguyen Tho The Cuong

Nguyen Tho The Cuong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
Cho: $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{a^{2}+c^{2}}=\sqrt{2013}$
CHung minh: $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2013}{2}}$

#1068
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
đong gop 1 bai nua. cho $a+b+c$=3. cmr
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq a+b+c$

#1069
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
cho n so duong thoa man $\sum x_{i}=n$
cmr
$\sum x_{i}^{k}\geq \sum x_{i}^{k-1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 22-11-2012 - 11:00


#1070
tran thanh binh dv class

tran thanh binh dv class

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết

đong gop 1 bai nua. cho $a+b+c$=3. cmr
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq a+b+c$

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}=3=a+b+c$
Dấu = khi a=b=c=1

Hình đã gửi


#1071
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
bai nua
cho a,b,c la 3 canh 1 tam giac. cmr
$a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

#1072
tran thanh binh dv class

tran thanh binh dv class

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết

bai nua
cho a,b,c la 3 canh 1 tam giac. cmr
$a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

Bất đẳng thức schur
Biến đổi về dạng $a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0$
Giả sử $a\geq b\geq c$ thì $a(a-b)(a-c)\geq b(b-c)(a-b)$
nên $a(a-b)(a-c)+ b(b-c)(b-a)\geq 0$
mặt khác $c(c-a)(c-b)\geq 0$
vậy $a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0$
Dấu = khi a=b=c ( tam giác đều)

Hình đã gửi


#1073
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Bất đẳng thức schur
Biến đổi về dạng $a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0$
Giả sử $a\geq b\geq c$ thì $a(a-b)(a-c)\geq b(b-c)(a-b)$
nên $a(a-b)(a-c)+ b(b-c)(b-a)\geq 0$
mặt khác $c(c-a)(c-b)\geq 0$
vậy $a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0$
Dấu = khi a=b=c ( tam giác đều)

su dung bdt Schur lieu co qua muc cua THCS khong??? bai nay dung AM-GM cung dc ma

#1074
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

bai nua
cho a,b,c la 3 canh 1 tam giac. cmr
$a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

Gõ tiếng Việt có dấu,bạn nhé :)
Nhìn chung thì bài này có 2 hướng tiếp cận:
+Về mặt Hình học:
Nó xuất phát từ BĐT $\cos{A}+\cos{B}+\cos{C} \le \frac{3}{2}$ hay 1 dạng tương đương khác quen thuộc hơn là $R \ge 2r$.
+Về mặt Đại Số:
Ta có 1 dạng phát biểu khác "dễ nhìn" hơn cho BĐT này:
$$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le abc$$
Và đây là hệ quả của AM-GM:
$$(a+b-c)(b+c-a) \le b^2$$
Thật ra phép biến đổi về Schur cũng không quá khó hiểu vì đó chính là bản chất bài toán này.

P/s:Mod THCS xóa giùm mấy bài post của Nguyen Tho The Cuong giùm,post trùng lặp nhiều quá :(

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 22-11-2012 - 12:11

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#1075
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Gõ tiếng Việt có dấu,bạn nhé :)
Nhìn chung thì bài này có 2 hướng tiếp cận:
+Về mặt Hình học:
Nó xuất phát từ BĐT $\cos{A}+\cos{B}+\cos{C} \le \frac{3}{2}$ hay 1 dạng tương đương khác quen thuộc hơn là $R \ge 2r$.
+Về mặt Đại Số:
Ta có 1 dạng phát biểu khác "dễ nhìn" hơn cho BĐT này:
$$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) \le abc$$
Và đây là hệ quả của AM-GM:
$$(a+b-c)(b+c-a) \le b^2$$
Thật ra phép biến đổi về Schur cũng không quá khó hiểu vì đó chính là bản chất bài toán này.

P/s:Mod THCS xóa giùm mấy bài post của Nguyen Tho The Cuong giùm,post trùng lặp nhiều quá :(

hì, thông cảm là vì máy nhà mình bị hỏng vietkey, đánh có dấu hơi mất thời gian

bai nua
cho a,b,c la 3 canh 1 tam giac. cmr
$a^{2}(b+c-a)+b^{2}(c+a-b)+c^{2}(a+b-c)\leq 3abc$

chữa bài luôn vậy:
đặt

$b+c-a=x$
$c+a-b=y$
$a+b-c=z$
$\Rightarrow a=\frac{y+z}{2}$



$b=\frac{x+z}{2}$


$c=\frac{x+y}{2}$


bdt cần chứng minh trở thành

$\sum \frac{(y+z)^{2}x}{4}\leq \frac{3(x+y)(y+z)(z+x)}{8}$

$\Leftrightarrow \sum xy(x+y)+6xyz\leq \frac{3}{2}(\sum xy(x+y)+2xyz)\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$

( đây là 1 bdt khá quen thuộc, dễ chứng minh)


$\Rightarrow$ dpcm. dấu "=" khi $a=b=c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 23-11-2012 - 19:57


#1076
tran thanh binh dv class

tran thanh binh dv class

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết

hì, thông cảm là vì máy nhà mình bị hỏng vietkey, đánh có dấu hơi mất thời gian

chữa bài luôn vậy:
đặt

$b+c-a=x$
$c+a-b=y$
$a+b-c=z$
$\Rightarrow x=\frac{y+z}{2}$


$y=\frac{x+z}{2}$

$z=\frac{x+y}{2}$

bdt cần chứng minh trở thành

$\sum \frac{(y+z)^{2}x}{4}\leq \frac{3(x+y)(y+z)(z+x)}{8}$

$\Leftrightarrow \sum xy(x+y)+6xyz\leq \frac{3}{2}(\sum xy(x+y)+2xyz)\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz$

( đây là 1 bdt khá quen thuộc, dễ chứng minh)

$\Rightarrow$ dpcm. dấu "=" khi $a=b=c$


Nhầm rồi Đạt ơi :icon6:

$\Leftrightarrow a=\frac{y+z}{2}$

$b=\frac{x+z}{2}$

$c=\frac{x+y}{2}$

Cho $a^3>36,b,c>0$ Chứng minh
$\frac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tran thanh binh dv class: 23-11-2012 - 17:13

Hình đã gửi


#1077
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Nhầm rồi Đạt ơi :icon6:

$\Leftrightarrow a=\frac{y+z}{2}$

$b=\frac{x+z}{2}$

$c=\frac{x+y}{2}$

Cho $a^3>36,b,c>0$ Chứng minh
$\frac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ca$

=))
$a^{3}>36\Rightarrow \frac{a^{3}}{3}>a^{2}\Rightarrow \frac{a^{3}}{3}+b^{2}+c^{2}>a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$ (dpcm )
^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 23-11-2012 - 20:05


#1078
nghiakvnvsdt

nghiakvnvsdt

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 34 Bài viết

Bài 500:
b, Cho x, y,z >2 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$


CMR:(x-2)(y-2)(z-2)$\leq$1


Đây là lời giải t học đc khi đọc 1 cuốn sách:

vì $x,y,z>2$ nên ta có thể đặt $x-2=a; y-2=b; z-2=c (x,y,z>0)$

Khi ấy điều kiện bài toán trở thành:
$\frac{1}{a+2} +\frac{1}{b+2} + \frac{1}{c+2} = 2$
$<=> \frac{1}{2} - \frac{1}{a+2} + \frac{1}{2}-\frac{1}{b+2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{c+2} = \frac{1}{2}$
$<=> \frac{a}{2(a+2)} + \frac{b}{2(b+2)} + \frac{c}{2(c+2)} = \frac{1}{2}$
$<=> \frac{a}{a+2} + \frac{b}{b+2} + \frac{c}{c+2} = 1$

Đến đây ta lại đặt $\frac{a}{a+2} = m; \frac{b}{b+2} = n; \frac{c}{c+2} =p$ khi đó Điều kiện trở thành $m+n+p=1$
Ta có $\frac{a}{a+2} = m => \frac{1}{m} = \frac{a+2}{a} =>\frac{2}{a} = \frac{1}{m}-1 = \frac{n+p}{m} => a=\frac{2m}{n+p}$
Tương tự ta cũng có $b=\frac{2n}{p+m}; c=\frac{2p}{m+n}$

Do đó BĐT cần Chứng minh trở thành $\frac{2m}{n+p}. \frac{2n}{p+m}.\frac{2p}{m+n} \leq 1$
$<=>(m+n)(n+p)(p+m)\leq 8mnp$
Đến đây áp dụng BĐT cô si lần lượt cho $m+n ; n+p ; p+m$ rùi nhân lại ta có ngay ĐpCM
Đẳng thức xảy ra $<=> m=n=p <=> a=b=c=1 <=> x=y=z=3$

Lời giải trên có lẽ hơi dài vì ta có thể sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng để giải dễ dàng, nhưng qua cách giải này khiến ta liên tưởng đến 1 CM BĐT cho loại khó hơn mà nếu ko đặt ẩn phụ thì rất khó để giải hoặc ko bao giờ giải được.
Mình thích nhất là khúc biến đổi từ $\frac{1}{a+2} + \frac{1}{b+2} + \frac{1}{c+2} = 1$
$<=> \frac{a}{a+2}+ \frac{b}{b+2} + \frac{c}{c+2} = 1$
..........

#1079
Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
bài 50 ta có thể suy ra như sau Từ $\frac{x-2}{x}+\frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{z}=1$
CMR $$(x-2)(y-2)(z-2) \le 1$$
$$\frac{x-2}{x}+\frac{y-2}{y}=\frac{2}{z}\ge 2\sqrt{\frac{(x-2)(y-2)}{xy}}$$
Tương tự $$\frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{z}=\frac{2}{x}\ge 2\sqrt{\frac{(z-2)(y-2)}{zy}}$$
$$\frac{x-2}{x}+\frac{z-2}{z}=\frac{2}{y}\ge 2\sqrt{\frac{(z-2)(x-2)}{zx}}$$
Nhân lại ta có Điều phải chứng minh
@@@@@@@@@@@@

#1080
Nguyen Tho The Cuong

Nguyen Tho The Cuong

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
Cho $x\geq 1,y\geq 1,z\geq 1$
Chung Minh
$\frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}}\geq \frac{3}{1+xyz}$




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh