Topic bất đẳng thức THCS (2)
#701
Đã gửi 14-05-2012 - 15:39
$$10(x^2+y^2)+z^2$$
Bài 354: (USAMO 1964) Cho a,b,c là 3 cạnh 12 tam giác. CMR:
$$a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc$$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#702
Đã gửi 14-05-2012 - 15:58
SOLUTION:Bài 353: Cho $x,y,z$ thực dương thỏa $xy+xz+yz=1$. Tìm GTNN của biểu thức
$$10(x^2+y^2)+z^2$$
Áp dụng AM-GM:
$2{x^2} + 2{y^2} \ge 4xy$
$8{x^2} + {1 \over 2}{z^2} \ge 4xz$
$8{y^2} + {1 \over 2}{z^2} \ge 4yz$
Cộng vế theo vế ta được: $10\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + {z^2} \ge 4\sum {xy = 4} $
Vậy GTNN của b thức là 4 khi x=y=${1 \over 3}$; z=${4 \over 3}$
----------
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 14-05-2012 - 15:59
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#703
Đã gửi 14-05-2012 - 16:25
Bài 353 cân bằng hệ số hả anh?Bài 354: (USAMO 1964) Cho a,b,c là 3 cạnh 12 tam giác. CMR:
$$a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc$$
Bài 354:
$$\Leftrightarrow a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)-(a^3+b^3+c^3)\leq 3abc\\ \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)$$
Đúng theo Schur. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
#704
Đã gửi 14-05-2012 - 16:28
SOLUTION: Vì a,b,c là 3 cạnh tg nên a+b-c >0;b+c-a>;c+a-b>0Bài 354: (USAMO 1964) Cho a,b,c là 3 cạnh 12 tam giác. CMR:
$$a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc$$
Theo AM-GM:
$\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{c}}} \right)\left( {{\rm{b}} + {\rm{c}} - {\rm{a}}} \right) \le {\left( {\frac{{a + b - c + b + c - a}}{2}} \right)^2} = {b^2}$
$ \Rightarrow {b^2}\left( {c + a - b} \right) \ge \left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{c}}} \right)\left( {{\rm{b}} + {\rm{c}} - {\rm{a}}} \right)\left( {c + a - b} \right)$
Dễ dàng cm được: $\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}} - {\rm{c}}} \right)\left( {{\rm{b}} + {\rm{c}} - {\rm{a}}} \right)\left( {c + a - b} \right) \ge abc$
$ \Rightarrow {b^2}\left( {c + a - b} \right) \ge abc$
Xây dựng 2 bđt tương tự rồi cộng vế theo vế ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi tg đã cho đều
---------
- ninhxa yêu thích
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#705
Đã gửi 14-05-2012 - 16:33
Bài 356: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $a+b+c=1$. CMR $$(\frac{1}{a^2}-1)(\frac{1}{b^2}-1)(\frac{1}{c^2}-1)\geq 2^9$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 14-05-2012 - 17:50
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#706
Đã gửi 14-05-2012 - 16:37
$\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{1}{{{b^2} + {c^2}}} + \frac{1}{{{c^2} + {a^2}}} \ge \frac{{10}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}$
-----------
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 14-05-2012 - 16:38
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#707
Đã gửi 14-05-2012 - 17:13
Sao nhìn chả đối xứng gì vậy anhBài 356: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $a+b+c=1$. CMR $$(\frac{1}{a^2-1})(\frac{1}{b^2}-1)(\frac{1}{c^2}-1)\geq 2^9$$
Bài 357 có trong STBDT mà
#708
Đã gửi 14-05-2012 - 17:20
Tình cờ đọc được 1 tài liệu có bài này chứ cũng ko rõ STBĐT có bài này ko. Mà nếu có có thì cậu cũng nên post lời giải nếu biết, chứ không nên nói là bài này có trong STBĐT, bởi có nhiều bài cũng lấy từ sách ra màBài 357 có trong STBDT mà
----------
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#709
Đã gửi 14-05-2012 - 17:39
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \sqrt {\frac{{{a^2} + 1}}{{{b^2} + 1}}} + \sqrt {\frac{{{b^2} + 1}}{{{c^2} + 1}}} + \sqrt {\frac{{{c^2} + 1}}{{{a^2} + 1}}}$
---------
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#710
Đã gửi 14-05-2012 - 17:49
$$\frac{a^3}{2a^2-ab+2b^2}+\frac{b^3}{2b^2-bc+2c^2}+\frac{c^3}{2c^2-ca+2b^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 14-05-2012 - 17:49
- DavidVince yêu thích
#711
Đã gửi 14-05-2012 - 21:00
Bài 359: CMR với mọi số thực dương $a,b,c$ thì:
$$\frac{a^3}{2a^2-ab+2b^2}+\frac{b^3}{2b^2-bc+2c^2}+\frac{c^3}{2c^2-ca+2b^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$$
-Áp dụng bdt AM_GM ta có $2a^2+2b^2-ab\geq 4ab-ab=3ab$
-Ta có
$$\frac{a^3}{2a^2-ab+2b^2}=\frac{1}{2}.\frac{a(2a^2-ab+2b^2)-ab(2b-a)}{2a^2-ab+2b^2}\geq \frac{1}{2}\left ( a-\frac{ab(2b-a)}{3ab} \right )\geq \frac{1}{2}\left ( a-\frac{2b-a}{3} \right )$$
-Xây dựng các bất đẳng thức tượng tự rồi cộng vào ta được điều cần chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ninhxa: 14-05-2012 - 22:19
- Nguyễn Hữu Huy và DavidVince thích
Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.
#712
Đã gửi 14-05-2012 - 21:11
Biến đổi thế nào đó bạn? $a(2a^2-ab+2b^2)-ab(2b+a)=2a^3-2a^2b$ mà-Ta có
$\frac{a^3}{2a^2-ab+2b^2}=\frac{1}{2}.\frac{a(2a^2-ab+2b^2)-ab(2b+a)}{2a^2-ab+2b^2}$
Chắc bài này xài S.O.S
- DavidVince yêu thích
#713
Đã gửi 17-05-2012 - 08:50
Nếu để không mà bình lên thì rất khó vì nó quầng lại cái bđt cần chứng minh. Vì thế ta thử cộng thêm 2 vế với 1 và bình lên ta được.BÀI 358: Cho a,b,c không âm. CMR:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \sqrt {\frac{{{a^2} + 1}}{{{b^2} + 1}}} + \sqrt {\frac{{{b^2} + 1}}{{{c^2} + 1}}} + \sqrt {\frac{{{c^2} + 1}}{{{a^2} + 1}}}$
---------
\[{\left( {1 + \sum\limits_{cyc} {\frac{a}{b}} } \right)^2} \ge \left( {1 + \sum\limits_{cyc} {\sqrt {\frac{{{a^2} + 1}}{{{b^2} + 1}}} } } \right)\]
\[ \Leftrightarrow 2\sum\limits_{cyc} {\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)} + 1 + \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}} \]
\[\ge 2\sum\limits_{cyc} {\left( {\sqrt {\frac{{{a^2} + 1}}{{{b^2} + 1}}} + \sqrt {\frac{{{b^2} + 1}}{{{a^2} + 1}}} } \right)} + 1 + \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2} + 1}}{{{b^2} + 1}}} \]
Tiếp theo ta chứng minh:
\[\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge \sqrt {\frac{{{a^2} + 1}}{{{b^2} + 1}}} + \sqrt {\frac{{{b^2} + 1}}{{{a^2} + 1}}} \Leftrightarrow ({a^2} + {b^2})\sqrt {({a^2} + 1)({b^2} + 1)} \ge ab({a^2} + {b^2} + 2)\]
Ta có:
$$VT\ge (a^2+b^2)(ab+1)= (a^2+b^2)ab+a^2+b^2 \ge ab(a^2+b^2+2)$$
Ta cũng có:
\[\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{{b^2} + 1}}} + \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}({b^2} + 1)}}} \]
Giả sử $a\ge b\ge c$ ta có:
\[\frac{1}{{{a^2}({a^2} + 1)}} \le \frac{1}{{{b^2}({b^2} + 1)}} \le \frac{1}{{{c^2}({c^2} + 1)}}\]
Do đó áp dụng bđt hoán vị ta có:
\[\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{{b^2} + 1}}} + \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}({b^2} + 1)}}} \]
\[\ge \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{{b^2} + 1}}} + \sum\limits_{cyc} {\frac{{{b^2}}}{{{b^2}({b^2} + 1)}}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2} + 1}}{{{b^2} + 1}}} \]
Do đó có ĐPCM.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 17-05-2012 - 08:52
- Dung Dang Do, minhtuyb, NLT và 1 người khác yêu thích
Cao Xuân Huy tự hào là thành viên VMF
#714
Đã gửi 17-05-2012 - 09:55
Cho a,b,c không âm thỏa a+b+c=3. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}$
-----------
- hamdvk và DavidVince thích
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#715
Đã gửi 19-05-2012 - 23:17
BÀI 359:
Cho a,b,c không âm thỏa a+b+c=3. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{{b + {c^2}}} + \frac{b}{{c + {a^2}}} + \frac{c}{{a + {b^2}}} \ge \frac{3}{2}$
-----------
Một lời giải khá dài cho bài này, và có thể bị sai sót nữa, mọi người kiểm chứng dùm nha.
Theo BĐT Cauchy-Schwar ta có:
$VT\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca+a^2b+b^2c+c^2a}=\frac{9}{(ab+bc+ca-abc)+(a^2b+b^2c+c^2a+abc)}$
Sử dụng BĐT quen thuộc với $a+b+c=3$ thì $$a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq 4$$
Ta sẽ chứng minh $$A=ab+bc+ca-abc\leq 2$$
Thật vậy $$A=b(a+c)+ac(1-b)\leq b(3-b)+\frac{(a+c)^2(1-b)}{4}=b(3-b)+\frac{(3-b)^2(1-b)}{4}=\frac{(3-b)(b^2+3)}{4}$$
Đạo hàm $A'=\frac{-3(b-1)^2}{4}$
$$A'=0 \Leftrightarrow b=1$$
Dựa vào BBT ta tìm được $A\leq 2$ khi $a=b=c=1$
Từ đây, thay vào BĐT ban đầu, ta được:
$$VT\geq \frac{9}{(ab+bc+ca-abc)+(a^2b+b^2c+c^2a+abc)}\geq \frac{9}{2+4}=\frac{3}{2}$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 19-05-2012 - 23:19
- NLT và DavidVince thích
Nguyễn Đức Nghĩa tự hào là thành viên VMF
#716
Đã gửi 20-05-2012 - 06:13
Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
$\frac{{{a^3}}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{4}$
-------
P/S: Topic này dần lặng đi rồi, mọi người tiếp tục post bài nào !
-------
- danganhaaaa yêu thích
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#717
Đã gửi 20-05-2012 - 11:57
$$\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}\geq \sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}$$
- Poseidont, NLT và danganhaaaa thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#718
Đã gửi 20-05-2012 - 15:43
BÀI 360:
Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
$\frac{{{a^3}}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge \frac{{a + b + c}}{4}$
-------
P/S: Topic này dần lặng đi rồi, mọi người tiếp tục post bài nào !
-------
-Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có
$\frac{a^3}{(b+c)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\geq \frac{3a}{4}$
-Xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế với vế ta được điều cần chứng minh.
- tramanh94, dohuuthieu, Poseidont và 3 người khác yêu thích
Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.
#719
Đã gửi 20-05-2012 - 22:05
$$\frac{a^5+b^5}{ab(a+b)}+\frac{b^5+c^5}{bc(b+c)}+\frac{c^5+a^5}{(a+c)ac}\geq 3(ab+bc+ac)-2$$
Bài 363: (PolishMO 2008) Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng:
$$4(\sqrt{a^3b^3}+\sqrt{b^3c^3}+\sqrt{c^3a^3})\leq 4c^3+(a+c)^3$$
Ai vô dọn topic này đi
- hamdvk yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#720
Đã gửi 20-05-2012 - 22:28
Ta có $a^5+b^5 \ge a^2b^2(a+b)$Bài 362: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng
$$\frac{a^5+b^5}{ab(a+b)}+\frac{b^5+c^5}{bc(b+c)}+\frac{c^5+a^5}{(a+c)ac}\geq 3(ab+bc+ac)-2$$
Áp dụng ta có
$$\frac{a^5+b^5}{ab(a+b)}+\frac{b^5+c^5}{bc(b+c)}+\frac{a^5+c^5}{ac(a+c)}\geq ab+bc+ac=3(ab+bc+ac)-2(ab+bc+ac)\geq 3(ab+bc+ac)-2(a^2+b^2+c^2)=3(ab+bc+ac)-2$$
- tramanh94, Nguyễn Hữu Huy và hamdvk thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh