1115 replies to this topic

[thoconlk]

Bài 371:
Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương a,b,c:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geqslant 3\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$
Bài 372: Chứng minh: $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leqslant \sqrt{c(ab+1)}$ với mọi số thực dương a,b,c $\geqslant 1$
Bài 373: Cho a,b,c,d dương tuỳ ý. Chướng minh:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{p+q}{pa+pb}+\frac{p+q}{pb+pc}+\frac{p+q}{pc+pa}$

Edited by nguyenta98, 29-05-2012 - 20:22.

[Ispectorgadget]

Bài 372: Chứng minh: $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leqslant \sqrt{c(ab+1)}$ với mọi số thực dương a,b,c $\geqslant 1$

Toàn bài quen thuộc zz

Ta có: $$(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1})^2=(\sqrt{a-1}.1+1\sqrt{b-1})^2\leq [(\sqrt{a-1})^2+1][1+(\sqrt{b-1})^2]=ab$$
Suy ra $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\le ab$
Ta phải chứng minh $$\sqrt{ab}+\sqrt{c-1}\le \sqrt {c(ab+1)}$$
Để ý rằng $c(ab+1)=(c-1+1)(1+ab)$
$$(\sqrt{ab}+\sqrt{c-1})^2=(\sqrt{ab}.1+1\sqrt{c-1})^2\le[(\sqrt{ab}^2+1)][1+(\sqrt{c-1})^2]=c(ab+1)$$
Và như thế bài toán được chứng minh $\blacksquare$

Bài 373 $p,q$ là cái gì vậy bạn.

Edited by Ispectorgadget, 28-05-2012 - 07:34.

[thoconlk]

Toàn bài quen thuộc zz

Bài 373 $p,q$ là cái gì vậy bạn.

p,q$>$0 bất kì

[thoconlk]

Bài 372: Đặt a-1=x²; b-1=y²; c-1=z² (với x,y,z $>$0) thì bđt cần chứng minh trở thành: x+y+z$\leqslant \sqrt{(z^{2}+1)[(y^{2}+1)(x^{2}+1)+1]}$.
Áp dụng bđt Bunhiacõpki ta có:x+y$\leqslant \sqrt{(x^{2}+1)(y^{2}+1)}\Rightarrow x+y+z\leqslant \sqrt{(x^{2}+1)(y^{2}+1)}+z\leqslant \sqrt{(x^{2}+1)(y^{2}+1)+1}.\sqrt{z^{2}+1}$.
Bài 373: Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: (p+q)² = $(\sqrt{\frac{p}{a}}.\sqrt{pa}+\sqrt{\frac{p}{b}}.\sqrt{pb})^{2}\leqslant (\frac{p}{a}+\frac{p}{b})(pa+pb)$. Cm tương tự ta được: (p+q)² $\leqslant (\frac{p}{b}+\frac{q}{c})(pb+qc)$ ; (p+q)² $\leqslant (\frac{p}{c}+\frac{q}{a})(pc+qa))$.
Cộng từng vế ta có:
(p+q)² $[\frac{1}{pa+qb}+\frac{1}{pb+qc}+\frac{1}{pc+qa}\leqslant (p+q)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
Hay (p+q)$[\frac{1}{pa+qb}+\frac{1}{pb+qc}+\frac{1}{pc+qa}]\leqslant \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Suy ra đfcm

Edited by thoconlk, 29-05-2012 - 20:58.

[thoconlk]

Bài 374: Cho M=x²+y²+2y²+t² với x,y,z,t là các số nguyên không âm. Hãy tìm Min M và các giá trị tương ứng của x,y,z,t biêt rằng:
x²-y²+t²=21 và x²+3y²+4z²=101
MOD: Bài kia của bạn có rồi nên mình xóa đi.

Edited by Ispectorgadget, 28-05-2012 - 21:33.

[thoconlk]

Bài 374: Cho M=x²+y²+2y²+t² với x,y,z,t là các số nguyên không âm. Hãy tìm Min M và các giá trị tương ứng của x,y,z,t biêt rằng:
x²-y²+t²=21 và x²+3y²+4z²=101
MOD: Bài kia của bạn có rồi nên mình xóa đi.

Thế bạn giải bài kia thế nào?

[thoconlk]

Giải Bài 374 vậy: x²-y²+t²=21 (1) và x²+3y²+4z²=101(2). Cộng từng vế (1) và (2) ta được:2x² +2y² +t² +4z² =122(3)
Vì x,y,z,t là các số nguyên nên từ (3) suy ra t² $\vdots$2. Mà t² là số chính phương nên t² $\vdots$4.
Đặt t² =4k²(với k$\in$Z,k$\geqslant 0$) thì phương trình (3) trở thành: 2x² +2y² +4k² +4z² =122 $\Leftrightarrow$ x² +y² +2z² +2k² =61$\Leftrightarrow$ x² +y² +2z² +4k² = 61+2k² hay M =61 +2k² $\geqslant$61.
Dấu bằng xảy ra khi t=0, x=5,y=2,z=4.
Vậy Min M=61 khi (x,y,z,t)=(5,2,4,0)

Edited by thoconlk, 29-05-2012 - 20:58.

[NguyThang khtn]

bài 368: Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương thoã mãn $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$. Tìm GINN của
$$A=x+y+z$$

Đây là bài toán thách đấu trên Toán tuổi thơ 2 số gần đây(nói thế chú là số năm ngoái)

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 364: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa $ab+bc+ac=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b+c}\geq 2$$

Chú ý rằng $$\frac{ab+bc+ca}{a+b}=c+\frac{ab}{a+b}$$ nên bất đẳng thức tương đương với $$\left (a+b+c+\frac{1}{a+b+c} \right )+\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\ge2..$$ Ủa, bất đẳng thức này hiển nhiên đúng theo AM-GM mà ? Đề bài có nhầm lẫn thì phải, đề đúng hình như phải phải là $$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq 2+\frac{1}{a+b+c}$$
___
Cái này em lấy bên diễn đàn nước ngoài nên không rõ ạ! :|

Edited by Ispectorgadget, 04-06-2012 - 13:20.

[nguyenta98]

Bài 371:
Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương a,b,c:
$\sum \frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}\geqslant 3\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$

Em xin giải (có người gợi ý mới ra )
Nhận thấy $\sum{(\frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^2})}=\sum{((\frac{a^{3}}{b^{2}-bc+c^{2}}+b+c)-(b+c))}=\sum{(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^2-bc+c^2}-(b+c))}$
$\sum{(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{b^2-bc+c^2}-(b+c))}\geq \dfrac{9(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}-2(a+b+c)$ (AM-GM $1/a+1/b+1/c\geq 9/(a+b+c)$)
Như vậy ta cần chứng minh
$\dfrac{9(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}-2(a+b+c)\geq 3\dfrac{ab+bc+ca}{a+b+c}$
$\leftrightarrow \dfrac{9(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}-2(a+b+c)\geq a+b+c$
$\leftrightarrow \dfrac{9(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)}\geq 3(a+b+c)$
$\leftrightarrow 3(a^3+b^3+c^3)\geq (a+b+c)(2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca))$
$\leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
Luôn đúng do Schur bậc 3 nên đpcm

Edited by nguyenta98, 05-06-2012 - 18:00.

[baonguyen97]

Bài 372
Cho x,y,z là các số thực dương. chứng minh
\[
4(xy + yz + xz) \le \sqrt {(x + y)(y + z)(x + z)} (\sqrt {x + y} +\sqrt {y + z}+ \sqrt {x + z})
\]

Edited by nguyenta98, 07-06-2012 - 14:49.

[nguyenta98]

Bài 372
Cho x,y,z là các số thực dương. chứng minh
\[
4(xy + yz + xz) \le \sqrt {(x + y)(y + z)(x + z)} (\sqrt {x + y} +\sqrt {y + z}+ \sqrt {x + z})
\]

Giải như sau:
Đặt $\sqrt{x+y}=a;\sqrt{y+z}=b;\sqrt{z+x}=c \rightarrow \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=x+y+z$
Suy ra $x=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2};y=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2};z=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}$
Do đó BDT tương đương
$(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)+(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2)+(b^2+c^2-a^2)(a^2+b^2-c^2)\le abc(a+b+c)$
$\leftrightarrow 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\le a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)$
$\leftrightarrow a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)-2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\geq 0$
$\leftrightarrow (a+b+c)(a^3+b^3+c^3+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a))\geq 0$
Hiển nhiên đúng do $a+b+c>0; a^3+b^3+c^3+3abc-[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]\geq 0 \rightarrow \text{luôn đúng do BDT Schur bậc 3}$
Dấu $=$ khi $a=b=c \rightarrow x=y=z$

Edited by nguyenta98, 07-06-2012 - 15:59.

[Ispectorgadget]

Bài 373: Cho $a,b,c>1$. Tìm min của
$$P=\frac{a^3}{a+b-2}+\frac{b^3}{b+c-2}+\frac{c^3}{a+c-2}$$

[nguyenta98]

Bài 373: Cho $a,b,c>1$. Tìm min của
$$P=\frac{a^3}{a+b-2}+\frac{b^3}{b+c-2}+\frac{c^3}{a+c-2}$$

Giải như sau:
Theo BDT cauchy schwarz cho 3 số ta có
$\dfrac{a^3}{x}+\dfrac{b^3}{y}+\dfrac{c^3}{z}\geq \dfrac{(a+b+c)^3}{3(x+y+z)}$
Áp dụng ta có:
$\sum{\dfrac{a^3}{a+b-2}}\geq \dfrac{(a+b+c)^3}{3(a+b+b+c+c+a-6)}=\dfrac{(a+b+c)^3}{6(a+b+c)-18}$
Ta sẽ chứng minh $\dfrac{(a+b+c)^3}{6(a+b+c)-18} \geq \dfrac{81}{8} \leftrightarrow \dfrac{(a+b+c)^3}{(a+b+c)-3}\geq \dfrac{243}{4}$
Đặt $a+b+c=k$
Suy ra ta cần chứng minh $\dfrac{k^3}{k-3}\geq \dfrac{243}{4} \leftrightarrow 4k^3-243k+729\geq 0 \rightarrow (9-2k)^2(k+9)\geq 0$ Hiển nhiên
Dấu $=$ khi $a=b=c$ và $9-2k=0 \rightarrow k=4,5 \rightarrow a=b=c=1,5$
Vậy $min{P}=\dfrac{81}{8} \leftrightarrow a=b=c=1,5$

Edited by nguyenta98, 07-06-2012 - 22:25.

[thoconlk]

Bài 374: Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
$\frac{a^{3}}{b^{2}+c}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b}\geqslant \frac{3}{2}$

Edited by thoconlk, 08-06-2012 - 07:53.

[thoconlk]

Bài 296: Cho $x\ge xy+1$ . Tìm GTLN của $P=\frac{3xy}{x^2+y^2}$
Đề thi tuyển sinh - Hải Phòng

Xét x,y trái dấu thì P<0
Xét 1 trong 2 số a,b bằng 0 thì P=0
Xét x,y cùng dấu và khác 0 từ giả thiết x$\geq$xy+1 suy ra x,y dương.
Có P=$\frac{3xy}{x^{2}+y^{2}}= \frac{3}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}}$.
Xét $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}= \frac{x}{16y}+\frac{y}{x}+\frac{15x}{16y}\geq \frac{1}{2}+\frac{15x}{16y}$ (theo bđt Côsi)
Có x$\geq xy+1$ $\Rightarrow$y+$\frac{1}{x}\leq 1$ $\Rightarrow$y$\leq 1-\frac{1}{x}$
Vì x,y dương, x$\geq xy+1$ nên x>1 suy ra x-$\frac{1}{x}> 0$.
Suy ra $\frac{15x}{16y}\geq \frac{15x}{16(1-\frac{1}{x})}\geq \frac{15}{4}$ Suy ra $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq \frac{1}{2}+\frac{15}{4}=\frac{17}{4}$ Suy ra P$\geq \frac{12}{17}$ dấu đẳng thức xảy ra khi x=2; y=$\frac{1}{2}$.
Từ 3 TH rut ra kết luận Max P= $\frac{12}{17}$ khi x=2, y=$\frac{1}{2}$

[anh19101997]

BÀi 375: $a,b,c> 0, ab+bc+ca=1$ cmr
$$(1-a^{2})(1-b^{2})(1-c^{2})\leq abc(a+b)(b+c)(c+a)$$

Edited by nguyenta98, 08-06-2012 - 10:47.

[Ispectorgadget]

Em có ý kiến tại sao mọi ngưòi mở rộng các bài bđt mà không giải tổng quát phần mở rộng

đúng đấy em cũng có í kiến thế

Thật việc này trước đây có làm mà dạo này số thành viên "ghé thăm" topic không sôi nổi như trước nữa.

[Beautifulsunrise]

Bài 376. Cho PT ax² + 1998x + c = 0 với a, c $\epsilon$ Z; $\left | a \right |< 2000$.
Chứng minh rằng nếu PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì
$\left | x_{1}-x_{2} \right |$ $\geqslant \frac{1}{998}$
(TS lớp 10 NK Trần Phú 2000 - 2001)
Bài 377. Cho a, b, c > 0.
CM: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2$
(TS lớp 10 QH Huế 2001 - 2002)

Edited by nguyenta98, 08-06-2012 - 10:47.

[Mai Duc Khai]

Bài 376. Cho a, b, c > 0.
CM: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2$
(TS lớp 10 QH Huế 2001 - 2002)

Ta có:

\[\begin{array}{l}
\frac{a}{{b + c}} < \frac{{a + a}}{{a + b + c}} = \frac{{2a}}{{a + b + c}}\\
\frac{b}{{c + a}} < \frac{{b + b}}{{a + b + c}} = \frac{{2b}}{{a + b + c}}\\
\frac{c}{{a + b}} < \frac{{c + c}}{{a + b + c}} = \frac{{2c}}{{a + b + c}}
\end{array}\]


Cộng vế theo vế của 3 BĐT ta có $dpcm$

- Bài này thực chất là Cho $a, b, c > 0.$ Cm:$1 < \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} < 2$

hoặc Cho $a,b,c>0$. Cm: $\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}$ ko nguyên