Chủ đề này có 1115 trả lời

[minh29995]

Bài 384: Cho $a,b,c$ không âm. Chứng minh: $$3(a^2+b^2+c^2)+abc+80\geq 4(ab+bc+ac)+8(a+c+b)$$
Bài 385: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện: $abc=8$
Chứng minh: $$\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{2+a}{2+b}+\frac{2+b}{2+c}+\frac{2+c}{2+a}$$
Chuyên Hà Tĩnh VÒng 2 - 2012

Bài 384:
Theo nguyên lý Dirichlet thì trong 3 số a-4, b-4, c-4 tồn tại 2 số có tích không âm, giả sử là a-4 và b-4
Khi đó:
$c(a-4)(b-4)\geq 0$
$\Leftrightarrow abc+16c\geq 4ac+4bc$
$\Leftrightarrow abc+16c+4ab\geq 4ac+4bc+4ab$
Mà theo AM-GM thì:
$16c+4ab\leq 2c^2+32+2a^2+2b^2$
Do đó:
$2a^2+2b^2+2c^2+abc+32\geq 4(ab+bc+ca)$
Theo Am-GM ta cũng có:
$a^2+16+b^2+16+c^2+16\geq 8(a+b+c)$
Cộng vế 2 BĐT trên ta có ngay ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=4
Bài 385:
Xem tại đây: http://diendantoanho...18
#8

[tkvn97]

Bài 385 ( Đề tuyển sinh Chuyên Lam sơn vòng 1 năm học 2012 - 2013)
Cho a , b , c là các số thực không âm thõa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$
. Chứng minh rằng $\sum_{sym}\frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan11: 17-06-2012 - 19:43

[tkvn97]

Các bạn thảo luận cách các giải nhé .
Cách của minh :
$\sum_{a,b,c}\frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \sum_{a,b,c}\frac{a}{2a+2b+2}$ (AM-GM)
Vậy ta cần chứng minh : $\sum_{a,b,c}\frac{a}{a+b+1}\leq 1\Leftrightarrow \sum_{a,b,c}\frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$
. Bằng cách đặt ẩn phu => ĐPCM

[nthoangcute]

Bài 385 ( Đề tuyển sinh Chuyên Lam sơn vòng 1 năm học 2012 - 2013)
Cho a , b , c là các số thực không âm thõa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2$
. Chứng minh rằng $\sum_{sym}\frac{a}{a^{2}+2b+3}\leq \frac{1}{2}$

Đề chuyên Lam Sơn phải là như này chứ !!!

Câu 5: (1,0 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện: $a^2+b^2+c^2=3$.
Chứng minh rằng: $\frac{a}{2a^2+b+3}+\frac{b}{2b^2+c+3}+\frac{c}{2c^2+a+3}\le \frac{1}{2}$

Giải như sau:
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$2a^2+b+3 \geq 4a+b+1$
Suy ra $$\sum \frac{a}{2a^2+b+3} \leq \sum \frac{a}{4a+b+1}$$
$$=\frac{3}{4}-\sum \frac{b+1}{4(4a+b+1)}$$
$$\leq \frac{3}{4} - \frac{(a+b+c+3)^2}{4 \sum (a+1)(4c+a+1)} $$
$$=\frac{3}{4}- \frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+6(a+b+c)+9}{4(a^2+b^2+c^2+4(ab+bc+ca)+6(a+b+c)+3)} $$
$$\leq \frac{3}{4} -\frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)+6(a+b+c)+3+2(ab+bc+ca)}{4(a^2+b^2+c^2+4(ab+bc+ca)+6(a+b+c)+3)}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$
Suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 18-06-2012 - 11:45

[Poseidont]

Đề chuyên Lam Sơn phải là như này chứ !!!



Giải như sau:
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$a^2+b+3 \geq 4a+b+1$

Edit liền

[nthoangcute]

Edit liền

Chết, lại nhầm rồi.
Đã fix

[tkvn97]

Edit liền

Xin loi , minh danh may nham

Xem lai de đi bạn ơi , mình chit post sai ở cái chỗ a^2+b^2+c^2=2 thôi
MOD: Vui lòng gõ tiếng Việt có dấu nhé!.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 18-06-2012 - 11:55

[Poseidont]

Bài này đổi biến đuợc mà, em h đang mắc mọi ngưòi thông cảm nha
$\inline \sum \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a}{4a+b+1}\leq \frac{1}{2}\Rightarrow \sum \frac{4a}{4a+b+1}\leq 2\Rightarrow \sum \frac{b+1}{4a+b+1}\geq 1$
Đến đây $\sum \frac{b+1}{4a+b+1}\geq 1=\sum \frac{b}{4a+b+1}+\frac{1}{4a+b+1}$
Ta áp dụng Cauchy Scwharz và áp dụng cái $a^2+b^2+c^2=3$ là $\square$

[Ispectorgadget]

Bài 386: Cho 3 số $a,b,c$ thỏa $a+b+c=6$. Chứng minh: $$\frac{a}{\sqrt{(b+2)(b^2-b+2)}}+\frac{b}{\sqrt{(c+2)(c^2-c+2)}}+\frac{c}{\sqrt{(a+2)(a^2-a+2)}}\geq \frac{3}{2}$$

[le_hoang1995]

Bài 386: Cho 3 số $a,b,c$ thỏa $a+b+c=6$. Chứng minh: $$\frac{a}{\sqrt{(b+2)(b^2-b+2)}}+\frac{b}{\sqrt{(c+2)(c^2-c+2)}}+\frac{c}{\sqrt{(a+2)(a^2-a+2)}}\geq \frac{3}{2}$$

Bài này ý tưởng chính dùng cauchy ngược dấu. Theo BĐT AM-GM ta có
$$\sum \frac{a}{\sqrt{(b+2)(b^2-b+2)}}\geq \sum \frac{a}{\frac{b^2+4}{2}}=\sum \frac{2a}{b^2+4}$$
Vậy ta sẽ chứng minh
$$\sum \frac{4a}{b^2+4}\geq 3$$
Thật vậy $$\sum \frac{4a}{b^2+4}=\sum a-\frac{ab^2}{b^2+4}\geq \sum a-\frac{ab^2}{4b}=\sum a-\frac{ab}{4}$$
$$=a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{4}\geq 6-\frac{(a+b+c)^2}{4.3}=6-\frac{6^2}{4.3}=3$$
ĐPCM. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=2$
Bài 387 Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$$
Bài 388 Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{abc}+\frac{4}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{9\sqrt{3}}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 19-06-2012 - 00:24

[WhjteShadow]

Bài 387: CHuẩn hóa $a+b+c=3$ thì $a,b,c<3$ và ta có bđt cần chứng minh trở thành:
$\frac{a}{(3-a)^2}+\frac{b}{(3-b)^2}+\frac{c}{(3-c)^2}\geq \frac{3}{4}$
Em sẽ chứng minh $\frac{a}{(3-a)^2}\geq \frac{1}{4}+\frac{1}{2}(a-1)$ (1)
Thật vậy (1) $\Leftrightarrow 4a\geq (3-a)^2+2(a-1)(3-a)^2$
$\Leftrightarrow (1-a)[a-9+2(3-a)^2]\geq 0$
$\Leftrightarrow (1-a)^2(9-2a)\geq 0$ (Đúng do $(1-a)^2\geq 0$ và $a<3$)
Vậy ta có $\frac{a}{(3-a)^2}\geq \frac{1}{4}+\frac{1}{2}(a-1)$
Xây dựng các bđt tương tự với ẩn $b$ và $c$ rồi cộng lại ta có đpcm ^^

[WhjteShadow]

Bài 388: Do $ab+bc+ca=1$ và $a,b,c$ dương nên dễ thấy $(ab+bc)(bc+ca)(ca+ab)\leq \frac{[2(ab+bc+ca)]^3}{27}= \frac{8}{27}$ và $abc\leq \sqrt{\frac{1}{27}}$
Sử dụng bđt cô si với 3 số dương ta có:
$$\frac{1}{abc}+\frac{4}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{1}{2abc}+\frac{1}{2abc}+\frac{4}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$
$$\geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{abc.abc.(a+b)(b+c)(c+a)}}$$
$$=3\sqrt[3]{\frac{1}{abc.(ab+bc)(bc+ca)(ca+ab)}}\geq \frac{9\sqrt3}{2}$$
(Do $(ab+bc)(bc+ca)(ca+ab)\leq \frac{8}{27}$ và $abc\leq \sqrt{\frac{1}{27}}$)
Vậy ta có đpcm ^^~

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 19-06-2012 - 08:18

[Poseidont]

Bài 387 ( Đối với những ngưòi chưa biết chuẩn hoá)
BĐT $\Leftrightarrow 4(a+b+c).\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq 9\Leftrightarrow \sum 4\frac{a^2}{(b+c)^2}+\sum 4\frac{a}{b+c}\geq 9$
Đến đây Áp dụng Cauchy Scwharz dạng Engel và Nesbit ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Nghia: 19-06-2012 - 10:18

[WhjteShadow]

Bài 387 em thấy cách của Nghĩa khá lắm sách viết nhưng làm phá cách mới vui chứ ^^
Bài 389: Cho $a,b,c>0$ chứng minh rằng
$(a^2+9)(b^2+9)(c^2+9)\geq 10(a+b+c+7)^2$

[hongcho24031997]

Bài 387 em thấy cách của Nghĩa khá lắm sách viết nhưng làm phá cách mới vui chứ ^^
Bài 389: Cho $a,b,c>0$ chứng minh rằng
$(a^2+9)(b^2+9)(c^2+9)\geq 10(a+b+c+7)^2$

đặt a+b+c=p, ab+bc+ca=q, abc=r, bđt cần c/m trở thành

$239+r^2+9q^2+71p^2\geq 18pr+162q+140p$

bđt trên có đc là do cộng từng vế các bđt sau

$r^2+\frac{p^2}{9}\geq \frac{2}{3}pr$

$\frac{52}{9}q^2\geq \frac{52}{3}pr$

$\frac{29}{9}q^2+29\geq \frac{58}{3}q$

$\frac{428}{9}p^2\geq \frac{428}{3}q$

$\frac{210}{9}p^2+210\geq 140p$

[WhjteShadow]

Chị Ánh chỉ em cách làm p,q,r với,tối 0nl YH! nhé T.T
Thật ra bài này e còn cách khác:Sử dụng bđt $Cauchi-Schwarz$ ta có:
$(a^2+9)[1+\frac{(b+c+7)^2}{9}]\geq (a+b+c+7)^2$
Nên ta chỉ cần chứng minh:
$(b^2+9)(c^2+9)\geq 10[1+\frac{(b+c+7)^2}{9}]$
$\Leftrightarrow c^2b^2+9c^2+9b^2+81\geq 10+\frac{10}{9}(b+c+7)^2$
$\Leftrightarrow 9b^2c^2+81(b^2+c^2)+639-10(b+c+7)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow 9(bc-1)^2+(b-c)^2+70(b-1)^2+70(c-a)^2\geq 0$
(Luôn đúng)
Vậy bđt đc c/m

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 19-06-2012 - 17:44

[le_hoang1995]

Bài 390 Chứng minh rằng với $a,b,c>0$ ta có
$$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq 3+\frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}{abc(a+b+c)}$$

[Poseidont]

BÀi 390 ( Được sự giúp đỡ của anh Hoàng, em làm cái dấu ấn bài thứ 200)
$VT=\frac{\sum ab(a+b)}{abc}\Rightarrow VT+3=\frac{\sum ab(a+b)+abc}{abc}=\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{abc}$
Suy ra BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{abc}-\frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}{abc(a+b+c)}\geq 6$
$\Leftrightarrow(a+b+c)^2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)\geq 6abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow2(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)\geq 6abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)$
Áp dụng BĐT $x^2+y^2+z^2\geq 3(xy+yz+xz)$
$\Rightarrow Q.E.D$
P/s: chuẩn hóa chắc là gọn hơn

[tuan268]

E nhờ các Anh, Chị trong diễn đàn giải giúp em bài tập này với ạ:
Bài tập 1. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c =4. Chứng minh rằng:
\sqrt[4]{a^{3}}+\sqrt[4]{b^{3}}+\sqrt[4]{c^{3}}> 2\sqrt{2}
(em gõ c. thức toán nhưng không biết tại sao không hiển thị được, nên gửi file kèm bên dưới ạ)
Thank a lot !

File gửi kèm

•  Bài tập.doc   17K   163 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan268: 21-06-2012 - 22:36

[Secrets In Inequalities VP]

E nhờ các Anh, Chị trong diễn đàn giải giúp em bài tập này với ạ:
Bài tập 1. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c =4. Chứng minh rằng:
\sqrt[4]{a^{3}}+\sqrt[4]{b^{3}}+\sqrt[4]{c^{3}}> 2\sqrt{2}
(em gõ c. thức toán nhưng không biết tại sao không hiển thị được, nên gửi file kèm bên dưới ạ)
Thank a lot !

BĐT $\Leftrightarrow \sqrt[4]{4a^{3}}+\sqrt[4]{4b^{3}}+\sqrt[4]{4c^{3}}> a+b+c$
Cái này đúng vì : $\sqrt[4]{4a^{3}}> \sqrt[4]{a.a^{3}}= a$
Suy ra BĐT đúng .

p/s: tuan268 o vĩnh phúc à ?