Mọi người làm hăng quá, nháy mắt đã xong hết rùi, chứng tỏ VMF chúng ta rất nhiều nhân tài 
Post vài bài nữa cho cả nhà cùng làm. Topic sôi nổi lên nào... Tra....zố.... 
Bài 416: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=4$.CMR:
$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc\geq 4$
Vasile Cirtoaje, Phạm Kim Hùng
Bài 417: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn không có hai số nào đòng thời bằng 0. Chứng minh rằng:
$\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}+\frac{4abc}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc}\geq 2$.
Võ Quốc Bá Cẩn
Bài 418: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn không có 2 số nào đồng thời bằng không và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(ab+bc+ca)$. Chứng minh rằng:
$\sqrt{\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}}++\sqrt{\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}}+\sqrt{\frac{ca}{c^{2}+a^{2}}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Bài 416: Cho $a=0,b=1,c=3$ bất đẳng thức sai ngay.
Bài 417: Giả sử $b$ là số nằm giữa, khi đó ta có ${{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a+abc\le b{{(a+c)}^{2}}.$
Như vậy, $$\begin{align}
\frac{\sum{{{a}^{2}}}}{\sum{a}b}+\frac{4abc}{{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a+abc} & \ge \frac{\sum{{{a}^{2}}}}{\sum{a}b}+\frac{4ac}{{{\left( a+c \right)}^{2}}} \\
& =2+\frac{{{\left( {{a}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc \right)}^{2}}}{{{\left( a+c \right)}^{2}}\sum{a}b} \\
& \ge 2. \\
\end{align}$$
Bài toán được chứng minh xong
.
Đẳng thức xảy ra khi một biến bằng không, hai biến còn lại bằng nhau hoặc cả ba biến bằng nhau.
Bài 418 Theo $AM-GM$, ta có
$$\sum\limits_{cyc}{\sqrt{\frac{ab}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}}=\sum\limits_{cyc}{\frac{\sqrt{ab\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\ge \sum\limits_{cyc}{\frac{\sqrt{2}ab}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\ge \sum\limits_{cyc}{\frac{\sqrt{2}ab}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\sqrt{2}.\frac{ab+bc+ca}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Bài toán được chứng minh xong
.
Đẳng thức xảy ra khi một biến bằng không, hai biến còn lại bằng nhau. $\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LilTee: 06-07-2012 - 11:53
Chủ đề bị khóa
