Chủ đề này có 1115 trả lời

[anh qua]

THCS à:
Bài 427: Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^4+b^4+c^4 = 3$. Tìm Max của:
A = $(abc)^{\frac{10}{3}}(a^5+b^5+c^5)$

p.s:AM-GM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 08-07-2012 - 08:41

[NguyThang khtn]

THCS à:
Bài 427: Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $a^4+b^4+c^4 = 3$. Tìm Max của:
A = $(abc)^{\frac{10}{3}}(a^5+b^5+c^5)$

p.s:AM-GM

THCS bài này thì nặng quá!
Theo AM-GM ta có:
$a^{\frac{5}{2}}b^{\frac{5}{2}}+b^{\frac{5}{2}} c^{\frac{5}{2}}+c^{\frac{5}{2}}a^{\frac{5}{2}} \ge 3\sqrt[3]{a^5b^5c^5}=3(abc)^{\frac{5}{3}}$

Suy ra:
$9A=(a^5+b^5+c^5).3(abc)^{\frac{5}{3}} .3(abc)^{\frac{5}{3}} \le (a^5+b^5+c^5)(a^{\frac{5}{2}}b^{\frac{5}{2}}+ b^{\frac{5}{2}} c^{\frac{5}{2}}+c^{\frac{5}{2}}a^{\frac{5}{2}})(a^{\frac{5}{2}}b^{\frac{5}{2}}+b^{\frac{5}{2}} c^{\frac{5}{2}}+c^{\frac{5}{2}}a^{\frac{5}{2}}) $(AM-GM cho 3 số)
$\le \frac{(a^5+b^5+c^5+2a^{\frac{5}{2}}b^{\frac{5}{2}}+ 2b^{\frac{5}{2}} c^{\frac{5}{2}}+2c^{\frac{5}{2}}a^{\frac{5}{2}})^3}{27}=\frac{(a^{\frac{5}{2}}+b^{\frac{5}{2}}+ c^{\frac{5}{2}})^6}{27}$
Ta sẽ chứng minh:
$a^{\frac{5}{2}}+b^{\frac{5}{2}}+ c^{\frac{5}{2}} \le 3$
Khi đó $\Rightarrow A \le 3$
Tiếp tục sử dụng AM-GM ta có:
$5a^4+3=a^4+a^4+a^4+a^4+a^4+1+1+1 \ge 8\sqrt[8]{a^{20}}=8a^{\frac{5}{2}} $
Tương tự với b,c .Cộng vế theo vế suy ra đpcm.
Vậy max A bằng 3.

[tkvn97]

Bài 428 .
Cho x , y > 0
Chứng minh rằng $x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})$
(Theo yêu cầu cảu các bạn cho bài dễ )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 08-07-2012 - 09:34

[BlackSelena]

Bài 428 .
Chứng minh rằng $x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 2(\sqrt{x}+\sqrt{y})$
(Theo yêu cầu cảu các bạn cho bài dễ )

Có thiếu điều kiện x,y không âm ko anh ?
$x^2 + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x}$
$y^2 +\frac{1}{y} \geq 2\sqrt{y}$
$Q.E.D$

[tkvn97]

Bài 429
Cho $0< a\leq \frac{1}{2}$ . Chứng minh rằng $a+\frac{1}{a^{2}}\geq \frac{9}{2}$
Bài 430 . Cho $x,y>0$ . $(1+x)(1+\frac{y}{x})(1+\frac{9}{\sqrt{y}})^{2}\geq 256$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 08-07-2012 - 09:52

[tkvn97]

Bài 431 (lớp 7,8)
Tim giá trị nhỏ nhất của $A = 10\begin{vmatrix} x \end{vmatrix} -7\begin{vmatrix} y \end{vmatrix}$ . Trong đó x ,y là nghiệm nguyên của phương trình 3x + 5 y = 11
Bài 432 . Chứng minh $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2000}}}} <3$
Bài 433 . Cho hai số x , y thỏa mãn $2x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=4$ . Xác định x , y để tích xy đạt GTNN
Bài 434.Chứng minh rằng $x+\frac{4x^{2}}{(x-1)(x+1^{3})}>3$ với $\forall x>1$

[triethuynhmath]

Bài 429:
Áp dụng BĐT cauchy cho 3 số >0 kết hợp $a\leq \frac{1}{2}$,ta có:
8a+8a+$\frac{1}{a^2}$-15a$\geq 3\sqrt[3]{64}-\frac{15}{2}=\frac{9}{2}$
Dấu = xảy ra khi a=$\frac{1}{2}$

[triethuynhmath]

Bài 430:
Ta có:
$(1+x)(1+\frac{y}{x})(1+\frac{9}{\sqrt{y}})^2$=$(1+\frac{y}{x}+x+y)(1+\frac{9}{\sqrt{y}})^2$$\geq (y+2\sqrt{y}+1)(1+\frac{9}{\sqrt{y}})^2=((\sqrt{y}+1)(1+\frac{9}{\sqrt{y}}))^2$
=$(\sqrt{y}+\frac{9}{\sqrt{y}}+10)^2$$\geq (2\sqrt{9}+10)^2=16^2=256$(Q.E.D)

[BlackSelena]

Bài 433
$4=x^2+\frac{1}{x^2}-2+x^2+\frac{y^2}{4}+-xy+2=\left ( x-\frac{1}{x} \right )^2+\left ( x+\frac{y}{2} \right )^2-xy+2$
$\Rightarrow xy\ge -2$

[triethuynhmath]

Bài 433:
Ta có $2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4<=>(x-\frac{1}{x})^2+(x-\frac{y}{2})^2=2-xy\geq 0$
=> $xy\leq 2$.Dấu = xảy ra khi x=1,y=2

[triethuynhmath]

Bài 431 (lớp 7,8)
Tim giá trị nhỏ nhất của $A = 10\begin{vmatrix} x \end{vmatrix} -7\begin{vmatrix} y \end{vmatrix}$ . Trong đó x ,y là nghiệm nguyên của phương trình 3x + 5 y = 11
Bài 432 . Chứng minh $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{2000}}}} <3$
Bài 433 . Cho hai số x , y thỏa mãn $2x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=4$ . Xác định x , y để tích xy đạt GTNN
Bài 434.Chứng minh rằng $x+\frac{4x^{2}}{(x-1)(x+1^{3})}>3$ với $\forall x>1$

Bài 434 mình không hiểu lắm là $x+1^3$ hay $(x+1)^3$

[triethuynhmath]

Nếu là $x+1^3$ thì mình xin giải :
$x+\frac{4x^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1}{2}+\frac{x+1}{2}+\frac{4x^2}{(x-1)(x+1)}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số:
$\frac{x-1}{2}+\frac{x+1}{2}+\frac{4x^2}{(x-1)(x+1)}\geq 3\sqrt[3]{x^2}> 3(x> 1)$

[Mai Duc Khai]

Có thiếu điều kiện x,y không âm ko anh ?
$x^2 + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x}$
$y^2 +\frac{1}{y} \geq 2\sqrt{y}$
$Q.E.D$

cần j điều kiện ko âm? x,y nằm trong căn thì phải có ĐKXĐ là ko âm rồi chứ!

[Tham Lang]

Bài toán 434.
Cho $x_1, x_2, .., x_n$ thoả mãn điều kiện $\sum x_1=n$. Gia sử $a,b$ là 2 số mà $a\le \min{x_k}, b\ge \max{x_k} (1\le k\le n)$. Chứng minh :
$$ab+\dfrac{1}{n}\sum x_1^2\le a+b$$

[khanh3570883]

Bài toán 434.
Cho $x_1, x_2, .., x_n$ thoả mãn điều kiện $\sum x_1=n$. Gia sử $a,b$ là 2 số mà $a\le \min{x_k}, b\ge \max{x_k} (1\le k\le n)$. Chứng minh :
$$ab+\dfrac{1}{n}\sum x_1^2\le a+b$$

Bài này lộ rõ cách chứng minh!
Từ định nghĩa hai số a và b ta có:
\[\left( {a - {x_k}} \right)\left( {b - {x_k}} \right) \le 0 \Leftrightarrow ab + x_k^2 \le \left( {a + b} \right){x_k}\]
Cho k chạy từ 1 đến n rồi cộng lại ta có đpcm

[Tham Lang]

Bài toán 435.
Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}\ge \dfrac{(2a+b)(2b+c)(2c+a)}{27}$$
Bài toán 436.
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\ge \dfrac{3(a+b+c)}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$$

[tkvn97]

Nếu là $x+1^3$ thì mình xin giải :
$x+\frac{4x^2}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-1}{2}+\frac{x+1}{2}+\frac{4x^2}{(x-1)(x+1)}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số:
$\frac{x-1}{2}+\frac{x+1}{2}+\frac{4x^2}{(x-1)(x+1)}\geq 3\sqrt[3]{x^2}> 3(x> 1)$

----------------------------------------------------------------------------------------
Sorry : Mính sửa lại đề
Bài 434 . $x+\frac{4x^{2}}{(x-1)(x+1)^{3}}>3$ $\forall x>1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRUNGKIEN1997: 08-07-2012 - 17:23

[tkvn97]

Bài 433:
Ta có $2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4<=>(x-\frac{1}{x})^2+(x-\frac{y}{2})^2=2-xy\geq 0$
=> $xy\leq 2$.Dấu = xảy ra khi x=1,y=2

Đề nghị bạn xem lại cách làm nhé .

[khanh3570883]

Bài toán 436.
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a}{b^2+c^2}+\dfrac{b}{c^2+a^2}+\dfrac{c}{a^2+b^2}\ge \dfrac{3(a+b+c)}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}$$

Ta có:
\[VT = \sum {\frac{{{a^2}}}{{a\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}}} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{\sum {a\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} }}\]
Ta cần chứng minh:
\[\begin{array}{l}
\frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{\sum {a\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} }} \ge VP \\
\Leftrightarrow \frac{{a + b + c}}{{\sum {a\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} }} \ge \frac{3}{{\sum {{a^2} + ab} }} \\
\end{array}\]
Đặt:
\[\left\{ \begin{array}{l}
p = a + b + c \\
q = ab + bc + ca \\
r = abc \\
\end{array} \right. \Rightarrow r \ge \frac{{p\left( {4q - {p^2}} \right)}}{9}\]
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh cũng là:
\[r \ge \frac{{p\left( {4q - {p^2}} \right)}}{9}\]
Vậy ta có đpcm

[WhjteShadow]

Mọi người chém nhanh quá. Thêm 1 chút "gia vị" nào:

Bài 424: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn: $a+b+c=1$. CMR:

$\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq \sqrt{3}$.

Cùng nhau giải quyết hết những bài tồn đọng trước khi sang mẻ mới nào các bạn:
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ có:
$[\sqrt{a+\frac{(b-c)^2}{4}}+\sqrt{b}+\sqrt{c}]^2\leq 3[a+\frac{(b-c)^2}{4}+\frac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{4}+\frac{(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{4}]=3[a+\frac{(b-c)^2+2(b+c)+4\sqrt{bc}}{4}]$
Mà $(b-c)^2+4\sqrt{bc}=(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2(\sqrt{b}+\sqrt{c})^2+4\sqrt{bc}\leq 2(b+c)(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2+4\sqrt{bc} \leq 2(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2+4\sqrt{bc}=2(b+c)$
(Do $b+c<a+b+c=1$)
Vì vậy $LHS^2\leq 3[a+\frac{2(b+c)+2(b+c)}{4}]=3$ (Do $a+b+c=1$)
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$