Giả sử $P(x)$ bậc $n$ và có $n$ nghiệm $a_1,a_2,...,a_n$ có thể là nghiệm thực hoặc phức. Lại giả sử $P(x^2)$ khả quy. Đặt:
$$P(x^2)=G(x)H(x)=(x^2-a_1)(x^2-a_2)...(x^2-a_n)$$
Nếu $G(x)$ và $H(x)$ đều không chứa nhân tử dạng $x^2-a_i$ khi đó dễ thấy $G(0)$ và $H(0)$ chỉ nhận một trong 2 giá trị là $\sqrt{a_1a_2....a_n}$ hoặc $-\sqrt{a_1a_2...a_n}$. Điều này mâu thuẫn vì 2012 không là SCP.
Không mất tính tổng quát giả sử $G(x)$ chứa nhân tử $x^2-a_i$ và ta có thể giả sử bậc của $G(x)$ là nhỏ nhất để $G(x) \in Z[x]$. Vì $G(x) \in Z[x]$ nên $G(-x) \in Z[x]$. Đặt $G(-x)=aG(x)+T(x)$ với $T(x) \in Z(x),a=1$ hoặc $a=-1$ và $degT<degG$, $G(x) \vdots x^2-a_i,G(-x) \vdots x^2-a_i \Rightarrow T(x) \vdots x^2-a_i$. Từ định nghĩa của $G(x)$ ta phải có $T(x) \equiv 0$. Mà $G(0)>0$ nên $a=1$. Vậy $G(x)=G(-x)\Rightarrow G(x)=R(x^2)$. Từ đây cũng suy ra $H(x)=K(x^2)$
Vậy $P(x^2)=R(x^2)K(x^2)$ dẫn đến $P(x)$ khả quy. Vô lí.
Suy ra $P(x^2)$ bất khả quy.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 02-01-2012 - 19:06