Chủ đề này có 1 trả lời

[Peter Pan]

Cho đa tức $P(x)$ đơn khởi và bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn $|P(0)|=2012$. Chứng minh rằng $P(x^2)$ cũng bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$.
P/s: Happy New Year. Chúc VMF ngày càng phát triển, các thành viên VMF học giỏi sức khỏe và đạt được nhiều thành công

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi winwave1995: 01-01-2012 - 22:17

[Karl Heinrich Marx]

Giả sử $P(x)$ bậc $n$ và có $n$ nghiệm $a_1,a_2,...,a_n$ có thể là nghiệm thực hoặc phức. Lại giả sử $P(x^2)$ khả quy. Đặt:
$$P(x^2)=G(x)H(x)=(x^2-a_1)(x^2-a_2)...(x^2-a_n)$$
Nếu $G(x)$ và $H(x)$ đều không chứa nhân tử dạng $x^2-a_i$ khi đó dễ thấy $G(0)$ và $H(0)$ chỉ nhận một trong 2 giá trị là $\sqrt{a_1a_2....a_n}$ hoặc $-\sqrt{a_1a_2...a_n}$. Điều này mâu thuẫn vì 2012 không là SCP.
Không mất tính tổng quát giả sử $G(x)$ chứa nhân tử $x^2-a_i$ và ta có thể giả sử bậc của $G(x)$ là nhỏ nhất để $G(x) \in Z[x]$. Vì $G(x) \in Z[x]$ nên $G(-x) \in Z[x]$. Đặt $G(-x)=aG(x)+T(x)$ với $T(x) \in Z(x),a=1$ hoặc $a=-1$ và $degT<degG$, $G(x) \vdots x^2-a_i,G(-x) \vdots x^2-a_i \Rightarrow T(x) \vdots x^2-a_i$. Từ định nghĩa của $G(x)$ ta phải có $T(x) \equiv 0$. Mà $G(0)>0$ nên $a=1$. Vậy $G(x)=G(-x)\Rightarrow G(x)=R(x^2)$. Từ đây cũng suy ra $H(x)=K(x^2)$
Vậy $P(x^2)=R(x^2)K(x^2)$ dẫn đến $P(x)$ khả quy. Vô lí.
Suy ra $P(x^2)$ bất khả quy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Karl Heinrich Marx: 02-01-2012 - 19:06