Chủ đề này có 2 trả lời

[timelord]

Lam ho minh bai nay voi cac pan oi
Câu 1:Cho $xyz = 1;\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} > x + y + z,k \in {\mathbb{N}^*}$
Chứng minh: $\dfrac{1}{x^{k}}+\dfrac{1}{y^{k}}+\dfrac{1}{z^{k}}> x^{k}+y^{k}+z^{k}$
Câu 2: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện: $x+y+z=1$. CMR:
$\dfrac{1}{1-xy}+\dfrac{1}{1-yz}+\dfrac{1}{1-xz}\leq \dfrac{27}{8}$
-------------------------------------------------------------------------------
+ Bạn là thành viên mới nên đọc những nội dung sau.
$\to$ Thông báo về việc đặt tiêu đề
$\to$ Nội quy Diễn đàn Toán học
$\to$ Cách gõ $\LaTeX$ trên Diễn đàn
$\to$ Gõ thử công thức toán

+ Gõ tiếng Việt có dấu

Lần này mình sẽ sửa tiêu đề giúp bạn, lần sau bạn chú ý.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 02-01-2012 - 22:44

[Ispectorgadget]

Gợi ý Bài 2:
$\sum \dfrac{1}{1-xy}\leq \sum \dfrac{1}{1-\dfrac{(x+y)^2}{4}}=\sum \dfrac{4}{3+2z-z^2}$
CM đánh giá sau rồi cộng lại từ đây ta có đpcm
$$\dfrac{4}{3+2z-z^2}\leq \dfrac{297-27z}{256}$$

[KietLW9]

Câu 2: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện: $x+y+z=1$. CMR:
$\dfrac{1}{1-xy}+\dfrac{1}{1-yz}+\dfrac{1}{1-xz}\leq \dfrac{27}{8}$
 

Quy đồng rồi rút gọn, ta được: $3-11(xy+yz+zx)+19xyz-27x^2y^2z^2\geqslant 0$ 

$\Leftrightarrow 4[3+19xyz-27x^2y^2z^2]\geqslant 11.4(xy+yz+zx)$ 

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau $xyz\geqslant (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)$ , ta được: $xyz\geqslant (1-2x)(1-2y)(1-2z)\Leftrightarrow 11.4(xy+yz+zx)\leqslant 11(1+9xyz)$ 

Ta cần chứng minh: $4[3+19xyz-27x^2y^2z^2]\geqslant 11(1+9xyz)\Leftrightarrow (1-27xyz)(1+4xyz)\geqslant 0$  *đúng do $xyz\leqslant \frac{(x+y+z)^3}{27} =\frac{1}{27}$*

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 29-03-2021 - 17:49