Tính tích phân $$\int_{1}^{e}\dfrac{lnx}{x(2+lnx)^{2}}dx$$
#1
Đã gửi 03-01-2012 - 17:42
#2
Đã gửi 03-01-2012 - 18:01
$\int_{1}^{e}\dfrac{lnx}{x(2+lnx)^{2}}dx$
Đặt $t = \ln x,dt = \dfrac{1}{x}dx$.
Khi $x = 1$ thì $t = 0$. Khi $x = e$ thì $t = 1$.
Khi đó: $$\int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x{{\left( {2 + \ln x} \right)}^2}}}dx = \int\limits_0^1 {\dfrac{t}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}dt = \int\limits_0^1 {\dfrac{t}{{{t^2} + 4t + 4}}dt} } } $$
$$ = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{d\left( {{{\left( {2 + t} \right)}^2}} \right)}}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}} - 2\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}dt = \left. {\ln \left| {t + 2} \right|} \right|_0^1 + \left. {\dfrac{2}{{2 + t}}} \right|} _0^1 = \boxed{\ln \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{3}}$$
#3
Đã gửi 04-01-2012 - 18:53
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhthi12a4: 04-01-2012 - 19:11
#4
Đã gửi 04-01-2012 - 18:56
anh giai thich ro cho em cai khuc $\dfrac{t}{t^{2}+4t+4}$ dj anh. em ko hieu lam anh a
Thành thật xin lỗi em. Cái đó anh viết bị thừa, không có cái đó.
@ nguyenthanhthi12a4: Em viết tiếng Việt có dấu nhé, nếu không bài viết sẽ bị delete.
#5
Đã gửi 04-01-2012 - 19:12
Đặt $t = \ln x,dt = \dfrac{1}{x}dx$.
Khi $x = 1$ thì $t = 0$. Khi $x = e$ thì $t = 1$.
Khi đó: $$\int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x{{\left( {2 + \ln x} \right)}^2}}}dx = \int\limits_0^1 {\dfrac{t}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}dt = \int\limits_0^1 {\dfrac{t}{{{t^2} + 4t + 4}}dt} } } $$
$$ = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{d\left( {{{\left( {2 + t} \right)}^2}} \right)}}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}} - 2\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}dt = \left. {\ln \left| {t + 2} \right|} \right|_0^1 + \left. {\dfrac{2}{{2 + t}}} \right|} _0^1 = \boxed{\ln \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{3}}$$
vậy thì anh giải thích cho em $\int \dfrac{t}{(2+t)^{2}}dt=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{d((2+t)^{2})}{(2+t)^{2}} -2\int\dfrac{1}{(2+t)^{2}}dt$ đi anh
#6
Đã gửi 04-01-2012 - 19:20
vậy thì anh giải thích cho em $\int \dfrac{t}{(2+t)^{2}}dt=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{d((2+t)^{2})}{(2+t)^{2}} -2\int\dfrac{1}{(2+t)^{2}}dt$ đi anh
Như thế này em nhé.
Ta có: $$\int {\dfrac{t}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}dt = \int {\dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {2t + 4} \right) - 2}}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}} } dt = \int {\left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{{2t + 4}}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}} - \dfrac{2}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}} \right)} dt$$
$$ = \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{2t + 4}}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}} dt - \int {\dfrac{2}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}} dt = \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{d\left( {{{\left( {2 + t} \right)}^2}} \right)}}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}} - 2\int {\dfrac{1}{{{{\left( {2 + t} \right)}^2}}}} dt$$
Vì ${\left( {2 + t} \right)^2} = {t^2} + 4t + 4$ nên $d\left( {{{\left( {2 + t} \right)}^2}} \right) = 2t + 4$.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh