Chủ đề này có 2 trả lời

[cvp]

Cho $a,b,c,d>0$.Tìm giá trị min của bt:
$S=\dfrac{a}{b+c+d}+\dfrac{b}{a+c+d}+\dfrac{c}{a+b+d}+\dfrac{d}{a+b+c}+\dfrac{b+c+d}{a}+\dfrac{a+c+d}{b}+\dfrac{a+b+d}{c}+\dfrac{a+b+c}{d}$

[Cao Xuân Huy]

Cho $a,b,c,d>0$.Tìm giá trị min của bt:
$S=\dfrac{a}{b+c+d}+\dfrac{b}{a+c+d}+\dfrac{c}{a+b+d}+\dfrac{d}{a+b+c}+\dfrac{b+c+d}{a}+\dfrac{a+c+d}{b}+\dfrac{a+b+d}{c}+\dfrac{a+b+c}{d}$

Ta có:

\[S = \sum {\left( {\dfrac{a}{{b + c + d}} + \dfrac{{b + c + d}}{{9a}}} \right)} + \sum {\dfrac{8}{9}.\dfrac{{b + c + d}}{a}} \]

Xài AM-GM ta có:

\[S \ge 8\sqrt[8]{{\prod {\dfrac{a}{{b + c + d}}.\prod {\dfrac{{b + c + d}}{{9a}}} } }} + \dfrac{8}{9}\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{a}{d} + \dfrac{d}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{d} + \dfrac{d}{b} + \dfrac{c}{d} + \dfrac{d}{c}} \right)\]

Xài AM-GM phát nữa:

\[8\sqrt[8]{{\prod {\dfrac{a}{{b + c + d}}.\prod {\dfrac{{b + c + d}}{{9a}}} } }} + \dfrac{8}{9}\left( {\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{a}{d} + \dfrac{d}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b} + \dfrac{b}{d} + \dfrac{d}{b} + \dfrac{c}{d} + \dfrac{d}{c}} \right) \]
\[\ge 8.\dfrac{1}{3} + \dfrac{8}{9}.12 = \dfrac{{40}}{3}\]

Vậy $S_{\min}=\dfrac{40}{3} \Leftrightarrow a=b=c=d$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 03-01-2012 - 22:40

[Ispectorgadget]

Gọi $S_1$ $\sum \dfrac{a+b+c}{d}=\sum (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})\geq 12$
$S_2 \sum{\dfrac{a+b+c}{d}}$
$S_2+4=\sum (1+\dfrac{a}{b+c+d})=\dfrac{1}{3}[(a+b+c)+(b+c+d)+(a+b+d)+(c+d+a)][\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+b+d}+\dfrac{1}{b+c+d}+\dfrac{1}{c+d+a}]\geq \dfrac{16}{3}$
Do đó: $S_1+S_2=\dfrac{16}{3}-4+12=\dfrac{40}{3}$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 03-01-2012 - 22:45