Đến nội dung

Hình ảnh

Tính các góc của tam giác ABC


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 18 trả lời

#1
Ham học toán hơn

Ham học toán hơn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết
Tính các góc của tam giác ABC biết đường cao AH, trung tuyến AM chia góc $\widehat{BAC}$ thành 3 góc bằng nhau
新一工藤 - コナン江戸川

#2
Đoàn Quốc Việt

Đoàn Quốc Việt

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

Tính các góc của tam giác ABC biết đường cao AH, trung tuyến AM chia góc $\widehat{BAC}$ thành 3 góc bằng nhau

Theo tính chất phân giác áp dụng cho tam giác AHC:
$\dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{HD}}{{DC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {C} = {30^0} \Rightarrow \widehat {B} = {60^0}$
Hình đã gửi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Đoàn Quốc Việt: 04-01-2012 - 17:10

Không cần chữ kí.

#3
Ham học toán hơn

Ham học toán hơn

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 389 Bài viết
Có thể giải theo cách khác được không mọi người ?
新一工藤 - コナン江戸川

#4
Minhnguyenquang75

Minhnguyenquang75

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 244 Bài viết

Theo tính chất phân giác áp dụng cho tam giác AHC:
$\dfrac{{AH}}{{AC}} = \dfrac{{HD}}{{DC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {C} = {30^0} \Rightarrow \widehat {B} = {60^0}$
Hình đã gửi

Giả thiết không cho góc A = 90 độ mà bạn !!?
Nếu góc A=90 độ thì
=> góc BAH = 90 / 3 = 30 độ, góc HAC = 60 độ
=> góc HBA = 90 - 30 = 60 độ
góc HCA = 90 - 60 = 30 độ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenquang75: 05-01-2012 - 18:26


#5
Đoàn Quốc Việt

Đoàn Quốc Việt

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết

Giả thiết không cho góc A = 90 độ mà bạn !!?
Nếu góc A=90 độ thì
=> góc BAH = 90 / 3 = 30 độ, góc HAC = 60 độ
=> góc HBA = 90 - 30 = 60 độ
góc HCA = 90 - 60 = 30 độ

Bạn đọc lại lời giải của tôi đi, có sử dụng góc A vuông đâu? Kết quả $\widehat{A}=90^0$ suy ra sau cùng.
Không cần chữ kí.

#6
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết
Chứng minh đầy đủ cho bài toán.
Lời giải:
Dễ thấy $HB = HM = \dfrac{1}{2}MB = \dfrac{1}{2}MC$
Đặt $\angle BAH = \angle HAM = \angle MAC = a$
Dễ thấy $2a = \angle HAC = {90^o} - \angle ACB < {90^o}$
Đặt $BH = x;HA = y$
\[\begin{array}{l}
AM = AB = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {{y^2} + {x^2}} \\
AC = \sqrt {A{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {{y^2} + 9{x^2}} \\
\angle C + \angle HAC = {90^o} \Leftrightarrow \cos C = \sin HAC = \sin 2a = 2\sin a.\cos a \Leftrightarrow \dfrac{{CH}}{{CA}} = 2.\dfrac{{HM}}{{AM}}.\dfrac{{HA}}{{AM}} \\
\Leftrightarrow \dfrac{{3x}}{{\sqrt {{y^2} + 9{x^2}} }} = \dfrac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}} \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 2y\sqrt {{y^2} + 9{x^2}} \Leftrightarrow 9{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} = 4{y^2}\left( {{y^2} + 9{x^2}} \right) \\
\Leftrightarrow 9{x^4} - 18{x^2}{y^2} + 5{y^4} = 0 \Leftrightarrow 9{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^4} - 18{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2} + 5 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right) \\
\end{array}\]
Đặt $t = {\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2} = {\tan ^2}a$
\[\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow 9{t^2} - 18t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \dfrac{1}{3} \\
t = \dfrac{5}{3} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan a = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \\
\tan a = \sqrt {\dfrac{5}{3}} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = {30^o} \\
a = ta{n^{ - 1}}\sqrt {\dfrac{5}{3}} \left( {{\rm{loai do }}2a > {{90}^o}} \right) \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \angle BAC = {90^o};\angle ABC = {60^o};\angle ACB = {30^o} \\
\end{array}\]
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#7
hathanh123

hathanh123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

Chứng minh đầy đủ cho bài toán.
Lời giải:
Dễ thấy $HB = HM = \dfrac{1}{2}MB = \dfrac{1}{2}MC$
Đặt $\angle BAH = \angle HAM = \angle MAC = a$
Dễ thấy $2a = \angle HAC = {90^o} - \angle ACB < {90^o}$
Đặt $BH = x;HA = y$
\[\begin{array}{l}
AM = AB = \sqrt {A{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {{y^2} + {x^2}} \\
AC = \sqrt {A{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {{y^2} + 9{x^2}} \\
\angle C + \angle HAC = {90^o} \Leftrightarrow \cos C = \sin HAC = \sin 2a = 2\sin a.\cos a \Leftrightarrow \dfrac{{CH}}{{CA}} = 2.\dfrac{{HM}}{{AM}}.\dfrac{{HA}}{{AM}} \\
\Leftrightarrow \dfrac{{3x}}{{\sqrt {{y^2} + 9{x^2}} }} = \dfrac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2}}} \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 2y\sqrt {{y^2} + 9{x^2}} \Leftrightarrow 9{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} = 4{y^2}\left( {{y^2} + 9{x^2}} \right) \\
\Leftrightarrow 9{x^4} - 18{x^2}{y^2} + 5{y^4} = 0 \Leftrightarrow 9{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^4} - 18{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2} + 5 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right) \\
\end{array}\]
Đặt $t = {\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2} = {\tan ^2}a$
\[\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow 9{t^2} - 18t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \dfrac{1}{3} \\
t = \dfrac{5}{3} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\tan a = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \\
\tan a = \sqrt {\dfrac{5}{3}} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = {30^o} \\
a = ta{n^{ - 1}}\sqrt {\dfrac{5}{3}} \left( {{\rm{loai do }}2a > {{90}^o}} \right) \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \angle BAC = {90^o};\angle ABC = {60^o};\angle ACB = {30^o} \\
\end{array}\]

Em nó mới học lớp 7 đó Bác. Trước cổng trường bê bết bụi đỏ (đang làm đường) Em nó mà đọc bài này chắc ... xỉu luôn. Srr, Spam một chút.

#8
Junz

Junz

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
Hình đã gửi
Vẽ $MD\perp AC$ tại $D$, $MD$ cắt $AH$ tại $E$

Xét $\Delta AHM$ và $\Delta ADM$, có
$HM=DM$ ( cmt )
$\widehat{HME}=\widehat{DMC}$ ( gt )
=> $\Delta AHM$ = $\Delta ADM$ ( ch.gn )
=> $HM=DM$

Xét $\Delta HME$ vuông tại $H$ và $\Delta DMC$ vuông tại $D$, có
$\widehat{MHE}=\widehat{MDC}=90^{\circ}$
$AM$ cạnh chung
$\widehat{MAH}=\widehat{MAD}$
=> $\Delta HME$ = $\Delta DMC$ ( g.c.g )
=> $ME=MC$
mà $MC=MB$ ( $M$ là trung điểm $BC$ )
=> $ME=MB$

$\Delta ABM$ có
$AH$ là tia phân giác $\widehat{BAM}$ ( vì $\widehat{BAH}=\widehat{MAH}$ )
$AH$ là đường cao $AH\perp BM$
=> $\Delta ABM$ cân tại $A$
mà $AH$ là đường cao ( $AH\perp BM$ )
=> $AH$ là trung trực $BM$
mà $E\in AH$
=> $EH$ là trung trực $BM$
=> $BE=ME$
mà $ME=MB$ ( cmt )
=> $MB=ME=BE$
=> $\Delta MBE$ đều
=> $\widehat{BME}=60^{\circ}$
mà $\widehat{BME}=\widehat{DMC}$ ( đối đỉnh )
=>$\widehat{DMC}=60^{\circ}$
mà $\Delta DMC$ vuông tại $D$ có $\widehat{DMC}+\widehat{C}=90^{\circ}$
=> $\widehat{C}=30^{\circ}$

Ta có
$\widehat{BME}+\widehat{BMD}=180^{\circ}$
mà $BME^{\circ}=60^{\circ}$ ( vì $\Delta BME$ đều )
$\widehat{BMD}=120^{\circ}$
mà $\widehat{BMD}=\widehat{AMB}+\widehat{AMD}$
$\widehat{AMB}=\widehat{AMD}$
=> $\widehat{AMB}=\widehat{AMD}=\dfrac{\widehat{BMD}}{2}=\dfrac{120^{\circ}}{2}= 60^{\circ}$
mà $\widehat{AMB}=\widehat{B}$ ( vì $\Delta AMB$ cân tại $B$ )
=> $\widehat{B}=60^{\circ}$
mà $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ ( tổng 3 góc $\Delta ABC$ )
$\widehat{C}=30^{\circ}$ ( cmt )
=> $\widehat{A}=90^{\circ}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Junz: 07-01-2012 - 11:18


#9
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Em nó mới học lớp 7 đó Bác. Trước cổng trường bê bết bụi đỏ (đang làm đường) Em nó mà đọc bài này chắc ... xỉu luôn. Srr, Spam một chút.

Thực ra, mình cũng có hơi quá đà trong việc sử dụng công cụ mạnh. Nhưng nó cũng hữu hiệu khi mở rộng lên thêm. Mời bạn tham khảo 1 bài toán sau (hình như cũng có lời giải THCS mà mình quên mất rồi):
Tính các góc $\vartriangle ABC$ biết trung tuyến AM, phân giác AD, đường cao AH chia góc BAC thành 4 phần bằng nhau.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#10
Junz

Junz

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
Đọc lại bài mình mới biết là sai hoàn toàn, vừa sửa lại. Đang suy nghĩ cho bài của perfectstrong

#11
hathanh123

hathanh123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

Thực ra, mình cũng có hơi quá đà trong việc sử dụng công cụ mạnh. Nhưng nó cũng hữu hiệu khi mở rộng lên thêm. Mời bạn tham khảo 1 bài toán sau (hình như cũng có lời giải THCS mà mình quên mất rồi):
Tính các góc $\vartriangle ABC$ biết trung tuyến AM, phân giác AD, đường cao AH chia góc BAC thành 4 phần bằng nhau.

Hình đã gửi
Giả sử AB < AC, chứng minh được D nằm giữa H và M.
Tia AD cắt (ABC) tại I là điểm chính giữa cung BC.
Chứng minh được $\Delta AMI$ cân tại M
$\Rightarrow$ M là tâm (ABC)
$\Rightarrow \widehat{BAC}=90^{o}$
$\Rightarrow \widehat{ABC}=67^{o}30'; \widehat{ACB}=22^{o}30'$

* Bài của Ham học toán hơn giải theo cách lớp 7 không khó.

#12
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4990 Bài viết

Hình đã gửi
Giả sử AB < AC, chứng minh được D nằm giữa H và M.
Tia AD cắt (ABC) tại I là điểm chính giữa cung BC.
Chứng minh được $\Delta AMI$ cân tại M
$\Rightarrow$ M là tâm (ABC)
$\Rightarrow \widehat{BAC}=90^{o}$
$\Rightarrow \widehat{ABC}=67^{o}30'; \widehat{ACB}=22^{o}30'$

Mong bạn chứng minh lại đoạn $\vartriangle AMI$ cân tại M. Mình nghĩ bạn đã nhầm lẫn chỗ này.
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#13
hathanh123

hathanh123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 158 Bài viết

Mong bạn chứng minh lại đoạn $\vartriangle AMI$ cân tại M. Mình nghĩ bạn đã nhầm lẫn chỗ này.


Có gì mà sai nhỉ? Dễ hiểu mà!!!
$\Delta BIC$ cân tại I có IM là trung tuyến
$\Rightarrow IM$ là đường cao$\Rightarrow IM$vuông góc BC
$\Rightarrow \widehat{DAM}=\widehat{AIM}(=\widehat{HAD})$
$\Rightarrow \Delta AMI $ cân.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hathanh123: 08-01-2012 - 22:09


#14
mathnam

mathnam

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết
hathanh sai roi
o cho:ΔBIC cân tại I



HỌC! HỌC NỮA! HỌC MÃI!$\sum$

#15
Leorick King

Leorick King

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết

bài này ko ai làm được ah???



#16
nk0kckungtjnh

nk0kckungtjnh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 254 Bài viết

...  Đây là bài tập trong chuyên đề tính số đo góc, các em( lớp 7) có thể tham khảo trong quyển Nâng Cao và Phát Triển toán 7 tập 2 trang 55 Hoặc ở đây:

http://dethi.violet....ntry_id=6372225


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nk0kckungtjnh: 10-07-2013 - 17:19

             Hãy Đánh Bại Những Gì Yếu Đuối Để Biết Rằng


         Nỗ Lực Hơn Hẳn Tài Năng

- Nhân Chính -

 


#17
Leorick King

Leorick King

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết

mod post bài giải sử dụng lớp 7,8  coi mod



#18
NoName2000

NoName2000

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Nhớ là cô mình từng giải bài này rồi, nhưng tam giác ABC không có góc tù và giả sử AC>AB.

- Dựng MD vuông góc với AC (D thuộc AC) 

- E là điểm đối xứng của M qua D.=> DE = DM

- Ta có:

 + $\triangle$AHM = $\triangle$ADM do $\widehat{HAM}$ = $\widehat{DAM}$, cạnh AM chung và là tam giác vuông. => MH = MD

 + $\triangle$AHB = $\triangle$AHM do $\widehat{BAH}$ = $\widehat{MAH}$, cạnh AH chung và là tam giác vuông. => HB = HM = MD = MC/2 (AM là trung tuyến).

 + $\triangle$CDM = $\triangle$CDE (cạnh góc cạnh) => CM = CE mà CM = 2MD = ME nên MCE là tam giác đều. Mặt khác góc MCD = ECD nên góc MCD = ECD = 30 độ.

- Xét $\triangle$ AHC có góc C bằng 30 độ, nên $\widehat{HAC}$ = 60 độ => $\widehat{BAC}$ = 3*60/2 = 90 độ.

- Dễ dàng suy ra góc ABC = 60 độ (180 - 30 - 90 = 60)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NoName2000: 17-11-2013 - 23:14


#19
trang91ht

trang91ht

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

tính các góc của tam giác ABC biết đường cao AH trung tuyến AM phân giác AD


Failure is the Mother of Success

:ukliam2:  ~O)  :lol:  :namtay  @};-  %%-  :ninja:  :oto:  :biggrin:  :off:  **==  :botay  :like  :dislike    

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh