Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenthanhthi12a4]

$I=\int_{1}^{2}\dfrac{1-x^{5}}{x(1+x^{5})}dx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhthi12a4: 05-01-2012 - 16:46

[Crystal]

$I=\int_{1}^{2}\dfrac{1-x^{5}}{x(1+x^{5})}dx$

Tích phân đã cho được viết lại:
$$I = \int\limits_1^2 {\dfrac{{1 - {x^5}}}{{x\left( {1 + {x^5}} \right)}}dx = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{x\left( {1 + {x^5}} \right)}} - \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^4}}}{{1 + {x^5}}}dx = {I_1} - {I_2}} } } $$
* Tính ${I_1} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{x\left( {1 + {x^5}} \right)}}} $

Đặt $t = {x^5},dt = 5{x^4}dx$. Khi $x = 1$ thì $t = 1$. Khi $x = 2$ thì $t = 32$

Khi đó: $${I_1} = \dfrac{1}{5}\int\limits_1^2 {\dfrac{{5{x^4}dx}}{{{x^5}\left( {1 + {x^5}} \right)}}} = \dfrac{1}{5}\int\limits_1^{32} {\dfrac{{dt}}{{t\left( {1 + t} \right)}} = \dfrac{1}{5}\int\limits_1^{32} {\left( {\dfrac{1}{t} - \dfrac{1}{{t + 1}}} \right) = \dfrac{1}{5}\left. {\left( {\ln \left| {\dfrac{t}{{t + 1}}} \right|} \right)} \right|} } _1^{32} = \boxed{\dfrac{1}{5}\ln \dfrac{{64}}{{33}}}$$
* Tính ${I_2} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^4}}}{{1 + {x^5}}}dx} $

Ta có: $${I_2} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{{x^4}}}{{1 + {x^5}}}dx} = \dfrac{1}{5}\int\limits_1^2 {\dfrac{{d\left( {1 + {x^5}} \right)}}{{1 + {x^5}}}} = \left. {\dfrac{1}{5}\ln \left| {1 + {x^5}} \right|} \right|_1^2 = \boxed{\dfrac{1}{5}\ln \dfrac{{33}}{2}}$$
Do đó: $$I = \dfrac{1}{5}\ln \dfrac{{64}}{{33}} - \dfrac{1}{5}\ln \dfrac{{33}}{2} = \dfrac{1}{5}\ln \dfrac{{128}}{{1089}} = \boxed{\dfrac{2}{5}\ln \dfrac{{8\sqrt 2 }}{{33}}}$$