Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh nếu $p,q$ nguyên tố và $r=\dfrac{p^2 + q^2}{p+q}$ nguyên thì $r$ nguyên tố.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Chứng minh nếu $p,q$ nguyên tố và $r=\dfrac{p^2 + q^2}{p+q}$ nguyên thì $r$ nguyên tố.

(Brazil MO - 2008)


Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Chứng minh nếu $p,q$ nguyên tố và $r=\dfrac{p^2 + q^2}{p+q}$ nguyên thì $r$ nguyên tố.
(Brazil MO - 2008)


Giải như sau:
Viết lại đề $r=\dfrac{p^2+q^2}{p+q}$
Vì $r$ nguyên tố suy ra $p^2+q^2$ chia hết cho $p+q$ <1>
Ta thấy $p^2-q^2=(p-q)(p+q)$ chia hết cho $p+q$ <2>
Từ <1> và <2> suy ra $2q^2$ chia hết cho $p+q$
Do vậy đặt $2q^2=(p+q)k$ với $k$ tự nhiên)
Nên $2q^2=pk+qk$ ta thấy $2q^2$ chia hết cho $q$ suy ra $pk$ chia hết cho $q$
Th1: $p$ chia hết cho $q$ suy ra $p=q$ nên $r=p=q$ nguyên tố $đpcm$
Th2: $k$ chia hết cho $q$ (ta có điều này sở dĩ $q$ nguyên tố nên nó ko có tích của số nào nữa)
Ta thấy $k<2q$ vì nếu $k\geq 2q$ thì $2q^2\geq (p+q)(2q)=2pq+2q^2$ vô lý do $2pq>0$
Do vậy $k<2q$ lại có $k$ chia hết cho $q$ suy ra $k=q$ suy ra $2q^2=(p+q)q=pq+q^2 \rightarrow q^2=pq \rightarrow p=q$
Do đó cũng có $r=p=q$ là nguyên tố $đpcm$
Tóm lại bài toán được giải hoàn toàn :icon6:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 08-01-2012 - 10:50


#3
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

Cách khác:

$p^{2}+q^{2}\vdots p+q=>(p+q)^{2}-2pq\vdots p+q=>2pq\vdots p+q$

$p\geq 2,q\geq 2=>p+q> 2=>(2,p+q)=1=>pq\vdots p+q$

$=>p+q\epsilon U (pq)$

Mà $p$,$q$ là số nguyên tố 

$=>U(pq)\epsilon \left \{ 1,p,q,pq \right.$

$p+q> p,q,1=>p+q=pq<=>(p-1)(q-1)=1<=>p=q=r=2$


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#4
HieuND

HieuND

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

Cách khác:

$p^{2}+q^{2}\vdots p+q=>(p+q)^{2}-2pq\vdots p+q=>2pq\vdots p+q$

$p\geq 2,q\geq 2=>p+q> 2=>(2,p+q)=1=>pq\vdots p+q$

$=>p+q\epsilon U (pq)$

Mà $p$,$q$ là số nguyên tố 

$=>U(pq)\epsilon \left \{ 1,p,q,pq \right.$

$p+q> p,q,1=>p+q=pq<=>(p-1)(q-1)=1<=>p=q=r=2

 

Nếu như p và q cùng lẻ thì sao



#5
Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 772 Bài viết

$2pq\vdots p+q=>p+q\epsilon \left \{ 1,2,p,q,2p,2q,2pq,pq \right.$ Mình phát hiện đoạn đó sai lâu rồi nhưng chưa kịp sửa :3 nhưng đoạn sau giải cũng tương tự thôi


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh