Đến nội dung

Hình ảnh

Tổng hợp các bài toán Tích phân

* * * * * 2 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 59 trả lời

#21
nguyenthanhthi12a4

nguyenthanhthi12a4

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

Sử dụng tính chất $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$,ta có:
$$I_{13}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\ln \left[\frac{ \left(1+\cos{x} \right)^{1+\cos{x}}}{1+\sin{x}} \right]dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left[\frac{(1+\sin{x})^{1+\sin{x}}}{1+\cos{x}} \right]dx$$
Suy ra:
$$2I_{13}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left[(1+\cos{x})^{\cos{x}}(1+\sin{x})^{\sin{x}} \right]dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\ln{(1+\cos{x})}dx+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\ln{(1+\sin{x})}dx$$
Đặt $J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\ln{(1+\cos{x})}dx;K=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\ln{(1+\sin{x})}dx$.

*Với J,sử dụng công thức tích phân từng phần,ta có:
$$J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{(1+\cos{x})}d(\sin{x})=\left[\sin{x}.\ln{(1+\cos{x})} \right]\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}}dx$$
Xét :
$$J_1=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}}dx=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{\frac{x}{2}}dx=x\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\sin{x}\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1$$
Suy ra:
$$J=\frac{\pi}{2}-1$$

*Với K,cũng sử dụng công thức tích phân từng phần,ta có:
$$K=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{(1+\sin{x})}d(-\cos{x})=\left[-\cos{x}.\ln{(1+\sin{x})} \right]\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2{x}}{1+\sin{x}}dx=J_1=\frac{\pi}{2}-1$$

Vậy:
$$2I_{13}=J+K=2\left(\frac{\pi}{2}-1 \right) \Rightarrow I_{13}=\frac{\pi}{2}-1$$

P/s:@Anh Thành:Anh rảnh thì post lời giải câu 10 giùm em,cảm ơn :D

em cung da tung thay tinh chac nay$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$
nhung ko hieu cach ap dung

#22
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

em cung da tung thay tinh chac nay$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$
nhung ko hieu cach ap dung


Em chú ý gõ tiếng Việt có dấu. Nếu còn tái phạm anh sẽ chuyển bài viết sang pic những bài viết có nội dung SPAM.

#23
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Khởi động lại topic.

Bài 16: Cho $ 0<a<b $. Tính tích phân $ \int_{a}^{b}\arccos\frac{x}{\sqrt{(a+b)x-ab}}dx $

#24
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Bài 17: Tính tích phân $\int {\dfrac{{{{\sin }^5}x{{\arcsin }^5}x}}{{{e^{5x}}{{\ln }^5}x}}dx} $

#25
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Bài 18: Tính tích phân $ \int{\frac{{{x}^{3}}+2}{\left({{x}^{2}}-4\right)\left( x-3\right)\left({{x}^{2}}-3x+3\right)}}dx $

#26
khacduongpro_165

khacduongpro_165

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 594 Bài viết

Cảm ơn sự tham gia của dark templar. Mọi người cùng tham gia giải nào. Sau đây là một bài dành cho Đại học.

Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$


Bài này trước anh Luật ĐHV đã nêu trên math.vn và có lời giải sơ cấp nhưng tranh cãi nhiều và khá phức tạp1
"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!

#27
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Bài 19: Tính tích phân: $I = \int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} ,\left( {a > 0} \right)$

#28
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Bài 20. Tính tích phân: $I=\int_{0}^{12}\frac{dx}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{x+4}}$

----------------
Mọi người cùng thảo luận nào.

#29
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Bài 19: Tính tích phân: $I = \int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} ,\left( {a > 0} \right)$

Biết làm mỗi bài này :D
Đặt $t=\frac{1}{x} \Rightarrow dx=\frac{-dt}{t^2}$
Suy ra:
$$I=\int \frac{-tdt}{t^2.\frac{\sqrt{t^2a^2+1}}{t}}=-\int \frac{dt}{\sqrt{a^2t^2+1}}$$
Đặt $u=at+\sqrt{a^2t^2+1} \Rightarrow du=\left(a+\frac{a^2t}{\sqrt{a^2t^2+1}} \right)dt=\frac{audt}{\sqrt{a^2t^2+1}}$
Hay:
$$\frac{du}{u}=\frac{adt}{\sqrt{a^2t^2+1}}$$
Vậy:
$$I=-\frac{1}{a}\int \frac{du}{u}=\frac{-\ln{|u|}}{a}+C=\frac{-\ln{\left|\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x} \right|}}{a}+C$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#30
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Có $I=\int_{0}^{12}\frac{dx}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{x+4}}$
$=\int_{0}^{12}\frac{(\sqrt{4x+1}-\sqrt{x+4})dx}{3(x-1)}$

Làm sai ở khúc này ;) Biểu thức trong tích phân vô nghĩa khi cho $x=1 \in [0;12]$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#31
tuithichtoan

tuithichtoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
Đúng rồi. Bị gián đoạn mà không để ý. Hix. Buồn ghê.
Refresh..........................
I'll always smile.
Try my best.

#32
tuithichtoan

tuithichtoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Bài 20. Tính tích phân: $I=\int_{0}^{12}\frac{dx}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{x+4}}$

----------------
Mọi người cùng thảo luận nào.

Đặt $\sqrt{4x+1}=t-2\sqrt{x+4}\Rightarrow 4x+1=t^{2}-4t\sqrt{x+4}+4x+16$
$\Leftrightarrow t^{2}-4t\sqrt{x+4}+15=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+4}=\frac{t^{2}+15}{4t}$
$\Leftrightarrow x=(\frac{t^{2}+15}{4t})^{2}-4$
$\Rightarrow dx=2.\frac{t^{2}+15}{4t}.\frac{2t.4t-4(t^{2}+15)}{16t^{2}}dt$
$\Rightarrow dx=\frac{t^{2}+15}{2t}.\frac{4t^{2}-60}{16t^{2}}dt$
$\Rightarrow dx=\frac{t^{4}-225}{8t^{3}}$
Đổi cận $x\in \left [ 0;12 \right ]\Rightarrow t\in \left [ 5;15 \right ]$
$\Rightarrow I=\int_{5}^{15}\frac{1}{t-\frac{t^{2}+15}{4t}}.\frac{t^{4}-225}{8t^{3}}dt$
$=\int_{5}^{15}\frac{t^{4}-225}{6t^{2}(t^{2}-5)}$
$=\int_{5}^{15}\frac{dt}{16}+\int_{5}^{15}\frac{5(t^{2}-45)}{6t^{2}(t^{2}-5)}dt$=.....
p/s: Cách làm này không biết đúng không. Mình xóa bài trước đi ha.
Refresh..........................
I'll always smile.
Try my best.

#33
khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết

Bài 18: Tính tích phân $ \int{\frac{{{x}^{3}}+2}{\left({{x}^{2}}-4\right)\left( x-3\right)\left({{x}^{2}}-3x+3\right)}}dx $


$\begin{array}{l}
\int {\frac{{{x^3} + 2}}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 3} \right)}}} dx = - \frac{5}{2}\int {\frac{{dx}}{{x - 2}} - \frac{3}{{130}}\int {\frac{{dx}}{{x + 2}} + \frac{{29}}{{15}}\int {\frac{{dx}}{{x - 3}}} } } \\
+ \frac{{10}}{{33}}\int {\frac{{\left( {2x - 3} \right)dx}}{{{x^2} - 3x + 3}}} - \frac{8}{{11}}\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - 3x + 3}}} \\
\end{array}$

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#34
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Tiếp tục nào các bạn trẻ.

Bài 21: Tính tích phân\[{I_{21}} = \int\limits_0^1 {{x^n}\ln \left( {\sqrt {1 + {x^k}} - \sqrt {1 - {x^k}} } \right)} dx\,\,\,,\,\,\,\left( {k > 0,n \ge 0} \right)\]

#35
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Bài 22. Tính tích phân: \[{I_{22}} = \int\limits_0^\infty {\frac{1}{{{x^{12}} + 1}}} dx\]

#36
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Bài 12: Tính tích phân: ${I_{12}} = \int\limits_0^{2004\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} dx} $

Giải thế này không biết đúng không :)
Do $f(x)=\sqrt{1-\cos 2x}$ liên tục và tuần hoàn chu kì $\pi$ nên ta có $$\int_0^{\pi}f(x)dx=\int_\pi^{2\pi}f(x)dx=...=\int_{2002\pi}^{2003\pi}f(x)dx=\int_{2003\pi}^{2004\pi}f(x)dx$$
$$\Rightarrow \int_{0}^{2004\pi}f(x)dx=\int_0^{\pi}f(x)dx+\int_{\pi}^{2\pi}f(x)dx+...+\int_{2003\pi}^{2004\pi}f(x)dx =2004\int_0^{\pi}f(x)dx$$
$$\Rightarrow I_{12}=2004\int_0^{\pi}\sqrt{1-\cos 2x}=2004\sqrt{2}\int_0^{\pi}\sin x dx=-2004\sqrt{2}\cos|_0^{\pi}=4008\sqrt{2}$$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#37
funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết

Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}= \int_{a \to -1^{+} }^{0}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} + \int_{0}^{b \to 1^- }\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{2}=\pi$

#38
letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết

Cảm ơn sự tham gia của dark templar. Mọi người cùng tham gia giải nào. Sau đây là một bài dành cho Đại học.

Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

hình như mình sai rồi, tích phân k tồn tại khi hàm duới dấu tích phân không bị chặn, mới học xong 2 hôm nên cũng lờ mờ chẳng biết đúng hay sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letrongvan: 29-11-2012 - 22:17

Tào Tháo


#39
wtbasoholmes

wtbasoholmes

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
có 1 bài toán cũng khá được, mình là dân mới, mong các bạn và anh chị chỉ giáo. xin cám ơn
$I= \int_{0}^{3}arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}dx
I'=\int_{1/2}^{2}(1+x-\frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}}dx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wtbasoholmes: 10-12-2012 - 17:08


#40
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

có 1 bài toán cũng khá được, mình là dân mới, mong các bạn và anh chị chỉ giáo. xin cám ơn
$I= \int_{0}^{3}arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}dx;
I'=\int_{1/2}^{2}(1+x-\frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}}dx$

Bài đầu:
Đặt $u=\sqrt{\dfrac{x}{x+1}} \implies x+1=\dfrac{1}{1-u^2} \implies dx=\dfrac{2udu}{(1-u^2)^2}$.
$x=0 \to u=0;x=3 \to u=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra $I=2\int_{0}^{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\dfrac{u\arcsin udu}{(1-u^2)^2}$.
Lại đặt $v=\arcsin u \implies du=\cos vdv$.
$u=0 \to v=0;u=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \to v=\dfrac{\pi}{3}$.
Nên:
$I=2\int_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{\sin v\cos v.vdv}{(1-\sin^2 v)^2}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{2\sin v.vdv}{\cos^3 v}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}vd\left(\dfrac{-1}{\cos^2 v} \right)$
$=\left(\dfrac{-v}{\cos^2 v} \right)\Bigg|_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}+\int_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{dv}{\cos^2 v}=\dfrac{-4\pi}{3}+(\tan v)\Bigg|_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}=\sqrt{3}-\dfrac{4\pi}{3}$

**********
Bài sau:
Ta có:
$$I'=\int_{\frac{1}{2}}^{2}e^{x+\frac{1}{x}}dx+\int_{\frac{1}{2}}^{2}x\left(1-\frac{1}{x^2} \right)e^{x+\frac{1}{x}}dx=\int_{\frac{1}{2}}^{2}e^{x+\frac{1}{x}}dx+\int_{\frac{1}{2}}^{2}xd\left(e^{x+\frac{1}{x}} \right)=\left(xe^{x+\frac{1}{x}} \right)\Bigg|_{\frac{1}{2}}^{2}=(2\sqrt{e}-1)e^2$$.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh