Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

Tổng hợp các bài toán Tích phân


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 59 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 05-01-2012 - 17:32

Mỗi ngày mình sẽ post lên đây một bài toán về Tích phân thuộc chương trình Đại học, cũng có những bài đơn giản mà các bạn THPT có thể làm được. Những ai quan tâm thì vào đây tham gia giải bài và trao đổi thêm nhé.

Xin được mượn quy định của anh E.Galois:
- Nguyên tắc: "ăn một quả, trả cục vàng". Nếu bạn giải được 1 bài, bạn hãy đưa thêm 1 đề
- Đề bài cần được đánh số thứ tự nghiêm túc, lời giải rõ ràng; khuyến khích giải bằng nhiều cách.
- Cấm spam dưới mọi hình thức

Hi vọng topic sẽ nhận được sự ủng hộ của mọi người (toán Đại học ít người tham gia nên đành phải lôi kéo các em THPT mới được :D)

Bài toán mở đầu (dễ):

Bài 1: Tính tích phân bất định sau: $$I = \int {\dfrac{1}{{{x^2}}}\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} } dx$$

#2 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 06-01-2012 - 16:50

Bài 2: Tính tích phân bất định: $${I_2} = \int {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \sqrt {\dfrac{{x + 1}}{x}} dx$$

#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-01-2012 - 19:36

Bài 3: Tính tích phân bất định sau: $${I_3} = \int {\sin x{e^x}dx} $$

#4 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 07-01-2012 - 20:10

Bài 2: Tính tích phân bất định: $${I_2} = \int {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \sqrt {\dfrac{{x + 1}}{x}} dx$$

Đặt $t=\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{x}} \rightarrow 2tdt=-\dfrac{dx}{x^2}$
Vậy:
$$I_2=\int {-2t^2dt}=\dfrac{-2t^3}{3}+C=\dfrac{-2}{3}\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{x} \right)^3}+C$$
Bài 1 làm giống bài 2 ;)

Bài 3: Tính tích phân bất định sau: $${I_3} = \int {\sin x{e^x}dx} $$

Ta có:
$$I_3=\int {\sin{x}d(e^{x})}=e^{x}\sin{x}+C-\int {e^{x}\cos{x}dx}$$
Xét $J_3=\int {\cos{x}e^{x}dx}=\int {\cos{x}d(e^{x})}=e^{x}\cos{x}+C+\int {e^{x}\sin{x}dx}$
Vậy dựa vào 2 tích phân bất định ở trên,ta tính được:
$$I_3=\dfrac{e^{x}(\sin{x}-\cos{x})}{2}+C$$


Ủng hộ bài mới :D
Bài 4: Tính:
$$I_4=\int {\dfrac{2-\cos{x}}{2+\sin{x}}dx}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 07-01-2012 - 20:18

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#5 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 08-01-2012 - 17:16

Cảm ơn sự tham gia của dark templar. Mọi người cùng tham gia giải nào. Sau đây là một bài dành cho Đại học.

Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

#6 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 10-01-2012 - 21:40

Bài 6: Tính tích phân: $${I_6} = \int {\frac{{dx}}{{4\cos x + 3\sin x + 5}}} $$
Bài 7: Tính tích phân: $${I_7} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx} $$

#7 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 11-01-2012 - 19:01

Bài 8: Tính tích phân: $${I_8} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{1}{{x\sqrt {(3 + 4x)(3 - 2x)} }}dx} $$

#8 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 14-01-2012 - 19:23

Bài 9: Tính tích phân: ${I_9} = \int {\frac{{\sqrt {\sin x} }}{{{{\cos }^3}x}}dx} $
Bài 10: ${I_{10}} = \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{{\ln x}}{{x + 1}}} \right)}^2}dx} $
Bài 11: ${I_{11}} = \int {\frac{{dx}}{{x + {x^{10}}}}} $

#9 khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Địa ngục

Đã gửi 14-01-2012 - 20:08

Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

Đặt $x = \sin t\left( {t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} \right)$
$dx = \cos tdt \Rightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = dt$
Đổi cận:
- Với x = 1 thì $t = \frac{\pi }{2}$
- Với x = -1 thì $t = - \frac{\pi }{2}$
Ta có:
${I_5} = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {dt = t\left| \begin{array}{l}
\pi /2\\
- \pi /2
\end{array} \right. = \pi } $

Bài 12: Tính tích phân: ${I_{12}} = \int\limits_0^{2004\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} dx} $

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#10 khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Địa ngục

Đã gửi 14-01-2012 - 21:16

Bài 6: Tính tích phân: $${I_6} = \int {\frac{{dx}}{{4\cos x + 3\sin x + 5}}} $$

Ta có:
${I_6} = \int {\frac{{dx}}{{4\cos x + 3\sin x + 5}} = \int {\frac{{dx}}{{5\sin \left( {x + \alpha } \right)}}} } $
Với:
$\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha = \frac{4}{5}\\
\cos \alpha = \frac{3}{5}
\end{array} \right.$
${I_6} = \frac{1}{5}\int {\frac{{\sin \left( {x + \alpha } \right)dx}}{{{{\sin }^2}\left( {x + \alpha } \right)}} = \frac{1}{5}\int {\frac{{d\left( {\cos \left( {x + \alpha } \right)} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {x + \alpha } \right) - 1}} = \frac{1}{{10}}\ln \left| {\frac{{\cos \left( {x + \alpha } \right) - 1}}{{\cos \left( {x + \alpha } \right) + 1}}} \right| + C} } $

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#11 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 15-01-2012 - 20:31

Đặt $x = \sin t\left( {t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} \right)$
$dx = \cos tdt \Rightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = dt$
Đổi cận:
- Với x = 1 thì $t = \frac{\pi }{2}$
- Với x = -1 thì $t = - \frac{\pi }{2}$
Ta có:
${I_5} = \int_{ - \pi /2}^{\pi /2} {dt = t\left| \begin{array}{l}
\pi /2\\
- \pi /2
\end{array} \right. = \pi } $

Bài này không đơn giản thế đâu ;) Hãy để ý 2 cận $-1$ và $1$ đã làm cho biểu thức không xác định.

Bài 7: Dạng cơ bản :D Đặt $t=\cos{x} \rightarrow dt=-\sin{x}dx$
$x=0 \rightarrow t=1$
$x=\frac{\pi}{2} \rightarrow t=0$
Suy ra:
$$I_7=\int_{0}^{1}\frac{(1+2t)dt}{\sqrt{1+3t}}=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{1+3t}-\frac{t}{\sqrt{1+3t}} \right)dt=\frac{2}{9}(1+3t)^{\frac{3}{2}}\Big |_{0}^{1} -\int_{0}^{1}\frac{tdt}{\sqrt{1+3t}}$$
Xét $K=\int_{0}^{1}\frac{tdt}{\sqrt{1+3t}}$
Đổi biến $u=\sqrt{1+3t} \rightarrow 2udu=3dt;t=\frac{u^2-1}{3}$
$t=0 \rightarrow u=1$
$t=1 \rightarrow u=2$
Suy ra:
$$K=\frac{2}{9}\int_{1}^{2}(u^2-1)du=\frac{2}{9}\left(\frac{u^3}{3}-u \right)\Big |_{1}^{2}=\frac{8}{27}$$
Suy ra:
$$I_7=\frac{14}{9}-\frac{8}{27}=\frac{34}{27}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 15-01-2012 - 21:20

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#12 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 15-01-2012 - 20:40

Bài 8: Vẫn là dạng cơ bản :D Đặt $t=\frac{1}{x} \rightarrow dx=\frac{-dt}{t^2}$
$x=\frac{1}{2} \rightarrow t=2$
$x=1 \rightarrow t=1$
Suy ra:
$$I_8=\int_{1}^{2}\frac{tdt}{t^2\sqrt{\left(3+\frac{4}{t} \right)\left(3-\frac{2}{t} \right)}}=\int_{1}^{2}\frac{dt}{\sqrt{(3t+4)(3t-2)}}=\int_{1}^{2}\frac{dt}{\sqrt{(3t+1)^2-9}}$$
Tiếp tục đặt $u=3t+1+\sqrt{(3t+1)^2-9} \rightarrow \frac{du}{3u}=\frac{dt}{\sqrt{(3t+1)^2-9}}$
$t=1 \rightarrow u=4+\sqrt{7}$
$t=2 \rightarrow u=7+2\sqrt{10}$
Suy ra:
$$I_8=\frac{1}{3}\int_{4+\sqrt{7}}^{7+2\sqrt{10}}\frac{du}{u}=\frac{1}{3}\ln{u}\Big|_{4+\sqrt{7}}^{7+2\sqrt{10}}=\frac{1}{3}\ln{\left(\frac{7+2\sqrt{10}}{4+\sqrt{7}} \right)}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 15-01-2012 - 21:21

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#13 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 15-01-2012 - 21:33

Bài 9: Tính tích phân: ${I_9} = \int {\frac{{\sqrt {\sin x} }}{{{{\cos }^3}x}}dx} $
Bài 11: ${I_{11}} = \int {\frac{{dx}}{{x + {x^{10}}}}} $

Bài 9: Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần,ta có:
$$I_9=\int{\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\cos{x}}d(\tan{x})}=\tan{x}\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\cos{x}}+C-\int{\tan{x}d\left(\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\cos{x}} \right)}=\tan{x}\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\cos{x}}+C-\frac{1}{2}I_9$$
Suy ra:
$$I_9=\frac{2}{3}\tan{x}\frac{\sqrt{\sin{x}}}{\cos{x}}+C$$

Bài 11: Đặt $t=\frac{1}{x} \rightarrow dx=\frac{-dt}{t^2}$
Suy ra:
$$I_11=-\int{\frac{tdt}{t^2\left(1+\frac{1}{t^9} \right)}}=-\int{\frac{t^8dt}{1+t^9}}=-\frac{1}{9}\int{\frac{d(t^9)}{t^9+1}}=-\frac{1}{9}\ln{|t^9+1|}+C$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#14 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 16-01-2012 - 22:29

Bài 5 là tích phân suy rộng nên khanh3570883 không làm như em đã trình bày. Cảm ơn các bạn đã tham gia nhiệt tình. Bài tiếp.
Bài 13: Tính tích phân: ${I_{13}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left[ {\frac{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^{1 + \cos x}}}}{{1 + \sin x}}} \right]dx} $

#15 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 16-01-2012 - 22:43

Bài 7: Tính tích phân: $${I_7} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx} $$

Sau đây là một cách khác cho bài 7, sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Ta có: $${I_7} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2\sin x\cos x + \sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}} } dx$$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = 2\cos x + 1\\
dv = \frac{{\sin x}}{{\sqrt {1 + 3\cos x} }}dx = - \frac{{d\left( {1 + 3\cos x} \right)}}{{3\sqrt {1 + 3\cos x} }}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = - 2\sin xdx\\
v = - \frac{2}{3}\sqrt {1 + 3\cos x}
\end{array} \right.$

Khi đó: $${I_7} = \left. { - \frac{2}{3}\left( {2\cos x + 1} \right)\sqrt {1 + 3\cos x} } \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \frac{4}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin x\sqrt {1 + 3\cos x} } dx$$
$$ = \frac{2}{3} + \frac{4}{9}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 + 3\cos x} } d\left( {1 + 3\cos x} \right) = \frac{2}{3} + \left. {\frac{8}{{27}}\sqrt {{{\left( {1 + 3\cos x} \right)}^3}} } \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \boxed{\frac{{34}}{{27}}}$$

#16 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 18-01-2012 - 11:41

Bài 14: Tính tích phân: $\mathbf{{I_{14}} = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {x + 2} \right)}}{{x + 1}}} dx}$

#17 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 21-01-2012 - 07:17

Bài 13: Tính tích phân: ${I_{13}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left[ {\frac{{{{\left( {1 + \cos x} \right)}^{1 + \cos x}}}}{{1 + \sin x}}} \right]dx} $

Sử dụng tính chất $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$,ta có:
$$I_{13}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\ln \left[\frac{ \left(1+\cos{x} \right)^{1+\cos{x}}}{1+\sin{x}} \right]dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left[\frac{(1+\sin{x})^{1+\sin{x}}}{1+\cos{x}} \right]dx$$
Suy ra:
$$2I_{13}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left[(1+\cos{x})^{\cos{x}}(1+\sin{x})^{\sin{x}} \right]dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\ln{(1+\cos{x})}dx+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\ln{(1+\sin{x})}dx$$
Đặt $J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\ln{(1+\cos{x})}dx;K=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\ln{(1+\sin{x})}dx$.

*Với J,sử dụng công thức tích phân từng phần,ta có:
$$J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{(1+\cos{x})}d(\sin{x})=\left[\sin{x}.\ln{(1+\cos{x})} \right]\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}}dx$$
Xét :
$$J_1=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}}dx=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{\frac{x}{2}}dx=x\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\sin{x}\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1$$
Suy ra:
$$J=\frac{\pi}{2}-1$$

*Với K,cũng sử dụng công thức tích phân từng phần,ta có:
$$K=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{(1+\sin{x})}d(-\cos{x})=\left[-\cos{x}.\ln{(1+\sin{x})} \right]\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2{x}}{1+\sin{x}}dx=J_1=\frac{\pi}{2}-1$$

Vậy:
$$2I_{13}=J+K=2\left(\frac{\pi}{2}-1 \right) \Rightarrow I_{13}=\frac{\pi}{2}-1$$

P/s:@Anh Thành:Anh rảnh thì post lời giải câu 10 giùm em,cảm ơn :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 21-01-2012 - 07:21

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#18 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 21-01-2012 - 11:20

Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$


Đây là lời giải cho bài này.

Ta có: $${I_5} = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = 2\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} = 2\mathop {\lim }\limits_{b \to {1^ - }} \left( {\int\limits_0^b {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} } \right)$$
$$ = \left. {2\mathop {\lim }\limits_{b \to {1^ - }} \arcsin x} \right|_0^b = 2\mathop {\lim }\limits_{b \to {1^ - }} \arcsin b = \boxed\pi $$

#19 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 21-01-2012 - 19:53

Bài 15: $\text{Tính tích phân:}\,\,\,\mathbf{{I_{15}} = \int {{x^n}\ln xdx} }$

----------------------------
P/s: các bạn giải xong nhớ để lại một bài nhé.

#20 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 22-01-2012 - 07:47

Bài 15: $\text{Tính tích phân:}\,\,\,\mathbf{{I_{15}} = \int {{x^n}\ln xdx} }$

----------------------------
P/s: các bạn giải xong nhớ để lại một bài nhé.

Không biết điều kiện của $n$ như thế nào vậy anh ? Em cho đại là $n \in \mathbb{N^*}$ nhé :D
Xét $I_{15}=I_{n}=\int{x^{n}\ln{x}dx}=\int{x^{n}d(x\ln{x}-x)}$
Theo công thức nguyên hàm từng phần thì:
$$I_{n}=x^{n+1}\ln{x}-x^{n+1}-n\int{(x\ln{x}-x)x^{n-1}dx}=x^{n+1}\ln{x}-x^{n+1}-n\int{x^{n}\ln{x}dx}+n\int{x^{n}dx}$$
$$=x^{n+1}\ln{x}-x^{n+1}-nI_{n}+\frac{n.x^{n+1}}{n+1}=x^{n+1}\ln{x}-\frac{x^{n+1}}{n+1}-nI_{n}$$
Suy ra:
$$I_{15}=I_{n}=\frac{x^{n+1}\left(\ln{x}-\frac{1}{n+1} \right)}{n+1}$$

Ủng hộ bài mới :D
Bài 16: Cho $t \in \mathbb{R};n \in \mathbb{N^*}$.Tính:$I_{16}=\int_{0}^{t}\frac{(t-x)^{n}}{n!}e^{x}dx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 04-02-2012 - 19:57

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh