Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

Tổng hợp các bài toán Tích phân


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 59 trả lời

#21 nguyenthanhthi12a4

nguyenthanhthi12a4

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 04-02-2012 - 16:37

Sử dụng tính chất $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$,ta có:
$$I_{13}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\ln \left[\frac{ \left(1+\cos{x} \right)^{1+\cos{x}}}{1+\sin{x}} \right]dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left[\frac{(1+\sin{x})^{1+\sin{x}}}{1+\cos{x}} \right]dx$$
Suy ra:
$$2I_{13}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left[(1+\cos{x})^{\cos{x}}(1+\sin{x})^{\sin{x}} \right]dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\ln{(1+\cos{x})}dx+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\ln{(1+\sin{x})}dx$$
Đặt $J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{x}\ln{(1+\cos{x})}dx;K=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\ln{(1+\sin{x})}dx$.

*Với J,sử dụng công thức tích phân từng phần,ta có:
$$J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{(1+\cos{x})}d(\sin{x})=\left[\sin{x}.\ln{(1+\cos{x})} \right]\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}}dx$$
Xét :
$$J_1=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}}dx=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2{\frac{x}{2}}dx=x\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\sin{x}\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1$$
Suy ra:
$$J=\frac{\pi}{2}-1$$

*Với K,cũng sử dụng công thức tích phân từng phần,ta có:
$$K=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln{(1+\sin{x})}d(-\cos{x})=\left[-\cos{x}.\ln{(1+\sin{x})} \right]\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2{x}}{1+\sin{x}}dx=J_1=\frac{\pi}{2}-1$$

Vậy:
$$2I_{13}=J+K=2\left(\frac{\pi}{2}-1 \right) \Rightarrow I_{13}=\frac{\pi}{2}-1$$

P/s:@Anh Thành:Anh rảnh thì post lời giải câu 10 giùm em,cảm ơn :D

em cung da tung thay tinh chac nay$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$
nhung ko hieu cach ap dung

#22 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 12-02-2012 - 19:40

em cung da tung thay tinh chac nay$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(a+b-x)dx$
nhung ko hieu cach ap dung


Em chú ý gõ tiếng Việt có dấu. Nếu còn tái phạm anh sẽ chuyển bài viết sang pic những bài viết có nội dung SPAM.

#23 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 16-03-2012 - 00:29

Khởi động lại topic.

Bài 16: Cho $ 0<a<b $. Tính tích phân $ \int_{a}^{b}\arccos\frac{x}{\sqrt{(a+b)x-ab}}dx $

#24 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 17-03-2012 - 01:02

Bài 17: Tính tích phân $\int {\dfrac{{{{\sin }^5}x{{\arcsin }^5}x}}{{{e^{5x}}{{\ln }^5}x}}dx} $

#25 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 18-03-2012 - 00:13

Bài 18: Tính tích phân $ \int{\frac{{{x}^{3}}+2}{\left({{x}^{2}}-4\right)\left( x-3\right)\left({{x}^{2}}-3x+3\right)}}dx $

#26 khacduongpro_165

khacduongpro_165

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 594 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HV TÀI CHÍNH

Đã gửi 18-03-2012 - 08:26

Cảm ơn sự tham gia của dark templar. Mọi người cùng tham gia giải nào. Sau đây là một bài dành cho Đại học.

Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$


Bài này trước anh Luật ĐHV đã nêu trên math.vn và có lời giải sơ cấp nhưng tranh cãi nhiều và khá phức tạp1
"Phong độ là nhất thời, đẳng cấp là mãi mãi"!!!

#27 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 23-03-2012 - 01:34

Bài 19: Tính tích phân: $I = \int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} ,\left( {a > 0} \right)$

#28 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 24-03-2012 - 01:18

Bài 20. Tính tích phân: $I=\int_{0}^{12}\frac{dx}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{x+4}}$

----------------
Mọi người cùng thảo luận nào.

#29 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 24-03-2012 - 22:19

Bài 19: Tính tích phân: $I = \int {\frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} ,\left( {a > 0} \right)$

Biết làm mỗi bài này :D
Đặt $t=\frac{1}{x} \Rightarrow dx=\frac{-dt}{t^2}$
Suy ra:
$$I=\int \frac{-tdt}{t^2.\frac{\sqrt{t^2a^2+1}}{t}}=-\int \frac{dt}{\sqrt{a^2t^2+1}}$$
Đặt $u=at+\sqrt{a^2t^2+1} \Rightarrow du=\left(a+\frac{a^2t}{\sqrt{a^2t^2+1}} \right)dt=\frac{audt}{\sqrt{a^2t^2+1}}$
Hay:
$$\frac{du}{u}=\frac{adt}{\sqrt{a^2t^2+1}}$$
Vậy:
$$I=-\frac{1}{a}\int \frac{du}{u}=\frac{-\ln{|u|}}{a}+C=\frac{-\ln{\left|\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x} \right|}}{a}+C$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#30 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 01-04-2012 - 20:06

Có $I=\int_{0}^{12}\frac{dx}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{x+4}}$
$=\int_{0}^{12}\frac{(\sqrt{4x+1}-\sqrt{x+4})dx}{3(x-1)}$

Làm sai ở khúc này ;) Biểu thức trong tích phân vô nghĩa khi cho $x=1 \in [0;12]$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#31 tuithichtoan

tuithichtoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-04-2012 - 20:40

Đúng rồi. Bị gián đoạn mà không để ý. Hix. Buồn ghê.
Refresh..........................
I'll always smile.
Try my best.

#32 tuithichtoan

tuithichtoan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-04-2012 - 21:32

Bài 20. Tính tích phân: $I=\int_{0}^{12}\frac{dx}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{x+4}}$

----------------
Mọi người cùng thảo luận nào.

Đặt $\sqrt{4x+1}=t-2\sqrt{x+4}\Rightarrow 4x+1=t^{2}-4t\sqrt{x+4}+4x+16$
$\Leftrightarrow t^{2}-4t\sqrt{x+4}+15=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+4}=\frac{t^{2}+15}{4t}$
$\Leftrightarrow x=(\frac{t^{2}+15}{4t})^{2}-4$
$\Rightarrow dx=2.\frac{t^{2}+15}{4t}.\frac{2t.4t-4(t^{2}+15)}{16t^{2}}dt$
$\Rightarrow dx=\frac{t^{2}+15}{2t}.\frac{4t^{2}-60}{16t^{2}}dt$
$\Rightarrow dx=\frac{t^{4}-225}{8t^{3}}$
Đổi cận $x\in \left [ 0;12 \right ]\Rightarrow t\in \left [ 5;15 \right ]$
$\Rightarrow I=\int_{5}^{15}\frac{1}{t-\frac{t^{2}+15}{4t}}.\frac{t^{4}-225}{8t^{3}}dt$
$=\int_{5}^{15}\frac{t^{4}-225}{6t^{2}(t^{2}-5)}$
$=\int_{5}^{15}\frac{dt}{16}+\int_{5}^{15}\frac{5(t^{2}-45)}{6t^{2}(t^{2}-5)}dt$=.....
p/s: Cách làm này không biết đúng không. Mình xóa bài trước đi ha.
Refresh..........................
I'll always smile.
Try my best.

#33 khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Địa ngục

Đã gửi 30-04-2012 - 20:48

Bài 18: Tính tích phân $ \int{\frac{{{x}^{3}}+2}{\left({{x}^{2}}-4\right)\left( x-3\right)\left({{x}^{2}}-3x+3\right)}}dx $


$\begin{array}{l}
\int {\frac{{{x^3} + 2}}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 3} \right)}}} dx = - \frac{5}{2}\int {\frac{{dx}}{{x - 2}} - \frac{3}{{130}}\int {\frac{{dx}}{{x + 2}} + \frac{{29}}{{15}}\int {\frac{{dx}}{{x - 3}}} } } \\
+ \frac{{10}}{{33}}\int {\frac{{\left( {2x - 3} \right)dx}}{{{x^2} - 3x + 3}}} - \frac{8}{{11}}\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - 3x + 3}}} \\
\end{array}$

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#34 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 02-05-2012 - 14:59

Tiếp tục nào các bạn trẻ.

Bài 21: Tính tích phân\[{I_{21}} = \int\limits_0^1 {{x^n}\ln \left( {\sqrt {1 + {x^k}} - \sqrt {1 - {x^k}} } \right)} dx\,\,\,,\,\,\,\left( {k > 0,n \ge 0} \right)\]

#35 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 14-05-2012 - 11:37

Bài 22. Tính tích phân: \[{I_{22}} = \int\limits_0^\infty {\frac{1}{{{x^{12}} + 1}}} dx\]

#36 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 04-11-2012 - 17:19

Bài 12: Tính tích phân: ${I_{12}} = \int\limits_0^{2004\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} dx} $

Giải thế này không biết đúng không :)
Do $f(x)=\sqrt{1-\cos 2x}$ liên tục và tuần hoàn chu kì $\pi$ nên ta có $$\int_0^{\pi}f(x)dx=\int_\pi^{2\pi}f(x)dx=...=\int_{2002\pi}^{2003\pi}f(x)dx=\int_{2003\pi}^{2004\pi}f(x)dx$$
$$\Rightarrow \int_{0}^{2004\pi}f(x)dx=\int_0^{\pi}f(x)dx+\int_{\pi}^{2\pi}f(x)dx+...+\int_{2003\pi}^{2004\pi}f(x)dx =2004\int_0^{\pi}f(x)dx$$
$$\Rightarrow I_{12}=2004\int_0^{\pi}\sqrt{1-\cos 2x}=2004\sqrt{2}\int_0^{\pi}\sin x dx=-2004\sqrt{2}\cos|_0^{\pi}=4008\sqrt{2}$$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#37 funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Air

Đã gửi 04-11-2012 - 19:20

Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}= \int_{a \to -1^{+} }^{0}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} + \int_{0}^{b \to 1^- }\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}= \frac{\pi}{2} +\frac{\pi}{2}=\pi$

#38 letrongvan

letrongvan

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 213 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 29-11-2012 - 22:14

Cảm ơn sự tham gia của dark templar. Mọi người cùng tham gia giải nào. Sau đây là một bài dành cho Đại học.

Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

hình như mình sai rồi, tích phân k tồn tại khi hàm duới dấu tích phân không bị chặn, mới học xong 2 hôm nên cũng lờ mờ chẳng biết đúng hay sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letrongvan: 29-11-2012 - 22:17

Tào Tháo


#39 wtbasoholmes

wtbasoholmes

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 10-12-2012 - 16:56

có 1 bài toán cũng khá được, mình là dân mới, mong các bạn và anh chị chỉ giáo. xin cám ơn
$I= \int_{0}^{3}arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}dx
I'=\int_{1/2}^{2}(1+x-\frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}}dx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wtbasoholmes: 10-12-2012 - 17:08


#40 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 23-12-2012 - 09:59

có 1 bài toán cũng khá được, mình là dân mới, mong các bạn và anh chị chỉ giáo. xin cám ơn
$I= \int_{0}^{3}arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}dx;
I'=\int_{1/2}^{2}(1+x-\frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}}dx$

Bài đầu:
Đặt $u=\sqrt{\dfrac{x}{x+1}} \implies x+1=\dfrac{1}{1-u^2} \implies dx=\dfrac{2udu}{(1-u^2)^2}$.
$x=0 \to u=0;x=3 \to u=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra $I=2\int_{0}^{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\dfrac{u\arcsin udu}{(1-u^2)^2}$.
Lại đặt $v=\arcsin u \implies du=\cos vdv$.
$u=0 \to v=0;u=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \to v=\dfrac{\pi}{3}$.
Nên:
$I=2\int_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{\sin v\cos v.vdv}{(1-\sin^2 v)^2}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{2\sin v.vdv}{\cos^3 v}=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}vd\left(\dfrac{-1}{\cos^2 v} \right)$
$=\left(\dfrac{-v}{\cos^2 v} \right)\Bigg|_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}+\int_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{dv}{\cos^2 v}=\dfrac{-4\pi}{3}+(\tan v)\Bigg|_{0}^{\dfrac{\pi}{3}}=\sqrt{3}-\dfrac{4\pi}{3}$

**********
Bài sau:
Ta có:
$$I'=\int_{\frac{1}{2}}^{2}e^{x+\frac{1}{x}}dx+\int_{\frac{1}{2}}^{2}x\left(1-\frac{1}{x^2} \right)e^{x+\frac{1}{x}}dx=\int_{\frac{1}{2}}^{2}e^{x+\frac{1}{x}}dx+\int_{\frac{1}{2}}^{2}xd\left(e^{x+\frac{1}{x}} \right)=\left(xe^{x+\frac{1}{x}} \right)\Bigg|_{\frac{1}{2}}^{2}=(2\sqrt{e}-1)e^2$$.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh