Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

Tổng hợp các bài toán Tích phân


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 59 trả lời

#41 tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Đã gửi 15-04-2013 - 12:46

Bài 16
Tớ xin giải bài 16 như sau
$$I = \int_0^t {\frac{{{{\left( {t - x} \right)}^n}}}{{n!}}{e^x}dx}  = f\left( x \right)*g\left( x \right)$$
Trong đó $\left\{\begin{matrix} f(x)=e^x\\g(x)=\frac{x^n}{n!} \end{matrix}\right.$
Áp dụng phép biến đổi Laplace ta có
$$\left\{ \begin{gathered} L\left( {f\left( x \right)} \right) = F\left( s \right) = \frac{1}{{{s^{n + 1}}}} \hfill \\ L\left( {g\left( x \right)} \right) = G\left( s \right) = \frac{1}{{s - 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow F\left( s \right).G\left( s \right) = \frac{1}{{\left( {s - 1} \right){s^{n + 1}}}} \Rightarrow I = {L^{ - 1}}\left\{ {\frac{1}{{\left( {s - 1} \right){s^{n + 1}}}}} \right\}$$
Tới đây thì dễ rồi



#42 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 15-04-2013 - 21:29

Bài 16
Tớ xin giải bài 16 như sau
$$I = \int_0^t {\frac{{{{\left( {t - x} \right)}^n}}}{{n!}}{e^x}dx}  = f\left( x \right)*g\left( x \right)$$
Trong đó $\left\{\begin{matrix} f(x)=e^x\\g(x)=\frac{x^n}{n!} \end{matrix}\right.$
Áp dụng phép biến đổi Laplace ta có
$$\left\{ \begin{gathered} L\left( {f\left( x \right)} \right) = F\left( s \right) = \frac{1}{{{s^{n + 1}}}} \hfill \\ L\left( {g\left( x \right)} \right) = G\left( s \right) = \frac{1}{{s - 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow F\left( s \right).G\left( s \right) = \frac{1}{{\left( {s - 1} \right){s^{n + 1}}}} \Rightarrow I = {L^{ - 1}}\left\{ {\frac{1}{{\left( {s - 1} \right){s^{n + 1}}}}} \right\}$$
Tới đây thì dễ rồi

Spoiler

Bài này đơn giản chỉ là sử dụng tích phân từng phần:

 

\[\begin{array}{rcl}{I_n} &=& \int\limits_0^t {\frac{{{{\left( {t - x} \right)}^n}}}{{n!}}{e^x}dx}  = \int\limits_0^t {\frac{{{{\left( {t - x} \right)}^n}}}{{n!}}d\left( {{e^x}} \right)} \\&=& \left. {\frac{{{e^x}{{\left( {t - x} \right)}^n}}}{{n!}}} \right|_0^t + \int\limits_0^t {{e^x}\frac{{{{\left( {t - x} \right)}^{n - 1}}}}{{\left( {n - 1} \right)!}}dx} \\&=&  - \frac{{{t^n}}}{{n!}} + {I_{n - 1}}\\\Rightarrow {I_n} &=&  - \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{t^k}}}{{k!}}}  + {I_0}\\&=& {e^t} - \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{{t^k}}}{{k!}}} \end{array}\]

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#43 tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Đã gửi 21-04-2013 - 20:37

Bài 22
Ta xét bài toán tổng quát sau
$$I = \int_0^\infty  {\frac{{dx}}{{{x^{2n}} + 1}}} $$
Phương trình ${z^{2n}} + 1 = 0$ có các nghiệm là $z = {e^{i\left( {2k + 1} \right)\frac{\pi }{{2n}}}},k = \overline {0..2n - 1} $
Do đó có thể thác triển  giải tích $f(z)$
$$f\left( z \right) = \frac{1}{{{z^{2n}} + 1}}$$
của hàm đã cho vào nửa mặt phẳng có $n$ cực điểm đơn và hiển nhiên rằng
$$f\left( {z{e^{\frac{{i\pi }}{n}}}} \right) \equiv f\left( z \right)$$
Ta chọn chu tuyến tích phân $\Gamma \left( R \right)$ gồm

a) đoạn thẳng $\left[ {0,R} \right] \subset \mathbb{R}$
b) cung tròn $\gamma \left( R \right) = \left\{ {z = {{\operatorname{Re} }^{i\varphi }};0 \leqslant \varphi  \leqslant \frac{\pi }{n}} \right\}$
c) đoạn thẳng $\delta  = \left\{ {z = r{e^{i\frac{\pi }{n}}},0 \leqslant r \leqslant R} \right\}$
Theo định lý thặng dư Cauchy ta có
$$I = \int\limits_{\Gamma \left( R \right)} {f\left( z \right)dz}  = \int_0^R {f\left( x \right)d{\text{x}}}  + \int\limits_{\gamma \left( R \right)} {f\left( z \right)dz}  + \int\limits_\delta  {f\left( z \right)dz}  =  - \frac{{\pi i}}{n}{e^{\frac{{i\pi }}{{2n}}}} + \int\limits_{\gamma \left( R \right)} {f\left( z \right)dz}  + \int\limits_\delta  {f\left( z \right)dz} $$
Ta xét tích phân theo $\delta$ ta có

$$\int\limits_\delta  {f\left( z \right)dz}  =  - \int_0^R {f\left( {r{e^{\frac{{i\pi }}{n}}}} \right){e^{\frac{{i\pi }}{n}}}dr}  = {e^{\frac{{i\pi }}{n}}}\int_0^R {\frac{{dx}}{{1 + {x^{2n}}}}} $$
Ta xét tích phân theo $\gamma(R)$ ta có

$$\left| {\int\limits_{\gamma \left( R \right)} {} } \right| \leqslant \int\limits_{\gamma \left( R \right)} {\frac{{Rd\varphi }}{{{R^{2n}} - 1}}}  = \frac{{\frac{\pi }{n}R}}{{{R^{2n}} - 1}} \to 0\left( {R \to \infty } \right)$$
Do đó ta có
$$\left( {1 - {e^{\frac{{i\pi }}{n}}}} \right)I =  - \frac{{\pi i}}{n}{e^{\frac{{i\pi }}{n}}} \Rightarrow I = \frac{\pi }{{2n\sin \frac{\pi }{{2n}}}}$$

 



#44 tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Đã gửi 21-04-2013 - 21:19

Một bài toán hay đây: với $n$ nguyên dương hãy chứng minh rằng

$$I = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \left( {n\varphi  - \sin \varphi } \right)d\varphi }  = \frac{{2\pi }}{{n!}}$$
Bài này tớ cũng chưa tìm ra hướng đi



#45 funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Air

Đã gửi 21-04-2013 - 22:24

Bạn dùng đẳng thức $\cos \phi=(e^{i\phi}+e^{-i\phi})/2$ xem.

#46 tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Đã gửi 22-04-2013 - 00:42

Đặt như thế thì vẫn thấy các điểm cực để tình res :closedeyes:



#47 tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Đã gửi 22-04-2013 - 08:38

Sau đây là lời giải của anh phudinhgioihan
$\begin{gathered}
  {I_n} = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \left( {n\varphi  - \sin \varphi } \right)d\varphi }  = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\left\{ {\cos \varphi \cos \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right] - \sin \varphi \sin \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]} \right\}d\varphi }   \\
   = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \varphi \cos \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\varphi }  + \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\sin \varphi \sin \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\varphi }   \\
\end{gathered} $
Xét tích phân sau ta có
$\begin{gathered}
  I = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\sin \varphi \sin \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\varphi }  = \int_0^{2\pi } {\sin \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\left( { - {e^{\cos \varphi }}} \right)}   \\
   = \left. { - {e^{\cos \varphi }}\sin \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]} \right|_0^{2\pi } + \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]\left( {n + 1 - \cos \varphi } \right)d} \varphi   \\
   = \left( {n + 1} \right)\int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \varphi \cos \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\varphi }  - \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \varphi \cos \left[ {\left( {n + 1} \right)\varphi  - \sin \varphi } \right]d\varphi }   \\
\end{gathered} $
Do đó ta có được hệ thức truy hồi
$${I_n} = \left( {n + 1} \right){I_{n + 1}} \Rightarrow {I_n} = \frac{{{I_0}}}{{n!}} = \frac{{\int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \left( {\sin \varphi } \right)d\varphi } }}{{n!}} = \frac{{2\pi }}{{n!}}$$
Tuy nhiên vẫn chưa hiểu lắm tại sao lại có đc
$${I_0} = \int_0^{2\pi } {{e^{\cos \varphi }}\cos \left( {\sin \varphi } \right)d\varphi }  = 2\pi $$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienvuviet: 22-04-2013 - 11:57


#48 funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Air

Đã gửi 30-04-2013 - 19:35

Bài 23: Tính tích phân:

$\int_{0}^{1}\frac{1+nx^2}{(1+x^2)^{n}}dx$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi funcalys: 30-04-2013 - 19:39


#49 tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Đã gửi 02-05-2013 - 16:54

Bài 23 có thể giải 1 cách khá cơ bản như sau
Ta có
$${I_n} = \int_0^1 {\frac{{n{{x}^2} + 1}}
{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^n}}}d{x}}  = n\int_0^1 {\frac{{d{x}}}
{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^{n - 1}}}}}  + \left( {1 - n} \right)\int_0^1 {\frac{{d{x}}}
{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^n}}}}  = n{J_{n - 1}} + \left( {1 - n} \right){J_n}$$
Tới đây dùng công thức truy hồi là ra luôn



#50 Baby Xù

Baby Xù

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết

Đã gửi 05-06-2013 - 10:58

mọi người giúp e giải những bài này nhé. E ko hiểu lắm. Mà thầy cũng không giảng. Nên chả bik làm thế nào.

1, $\int_{AB} (x-y)ds$; AB là đoạn thẳng nối hai điểm $A(0,0) B(4,3)$
2, $\int_{L} y dx - (y+ x^{^{2}}) dy$; L là cung parapol y=2x - x^2 nằm trên trục Ox theo chiều đồng hồ
3, $\int_{L}(2a-y)dx + xdy$; L là đường $x= a(1 - sint); y= a(1 - cost); 0\leqslant t\leqslant 2\pi ; a>0$

 

4, $I=\int_{L} xyz ds;$ L là đường cung của đường cong $x=t; y=\frac{1}{3}\sqrt{8t^3}; z=\frac{1}{2}t^2$ giữa các điểm $t=0; t=1$

 

 
5, $I=\int_{L} (x^2 - y^2)dx$; là đường cung của parapol $y=x^2$ với x trong khoảng x=0 đến $x=2$
mọi người giúp em nhá. Em sắp thi cuối kì. Mà phần này em không hiểu rõ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-07-2013 - 17:24


#51 maihuongchuyentoanbo

maihuongchuyentoanbo

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 25-07-2013 - 17:01

tính tích phân:

$\int_{1}^{3}\frac{1}{x\sqrt{4x^{2}-5x+1}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-07-2013 - 17:24


#52 duongtoi

duongtoi

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 747 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 25-07-2013 - 18:04

bài 16: Ta có $I_n=\int_0^t\frac{(t-x)^n}{n!}e^x{\rm d}x=\frac{(t-x)^n}{n!}e^x\Bigg|_0^t+\int_0^t\frac{(t-x)^{n-1}}{(n-1)!}e^x{\rm d}x=\frac{t^n}{n!}+I_{n-1}$

Theo công thức truy hồi ta được $I_n=\frac{t^n}{n!}+I_{n-1}=\frac{t^n}{n!}+\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}+\cdots+\frac{t}{1}+I_0$

Mà $I_0=\int_0^te^x{\rm d}x=e^t-1$

Vậy $I_{16}=I_n=\frac{t^n}{n!}+I_{n-1}=\frac{t^n}{n!}+\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}+\cdots+\frac{t}{1}+e^t-1$.



#53 kfcchicken98

kfcchicken98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 259 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-09-2013 - 01:44

Bài 6: Tính tích phân: $${I_6} = \int {\frac{{dx}}{{4\cos x + 3\sin x + 5}}} $$
đặt $tan\frac{x}2{} = u$, ta có $sin x = \frac{2u}{1 + u^{2}}$

và $cos x = \frac{1-u^{2}}{1 + u^{2}}$; $dx = \frac{2}{1+u^{2}}$

sau khi biến đổi, ta có $\int \frac{2}{u^{2} + 6u +9} du$

bằng $-\frac{2}{u +3} + C$

= $-\frac{2}{tan \frac{x}{2}+ 3} + C$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 12-09-2013 - 01:49


#54 chanhhoang1328

chanhhoang1328

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 11-12-2013 - 19:13

Ta có:
${I_6} = \int {\frac{{dx}}{{4\cos x + 3\sin x + 5}} = \int {\frac{{dx}}{{5\sin \left( {x + \alpha } \right)}}} } $
Với:
$\left\{ \begin{array}{l}
\sin \alpha = \frac{4}{5}\\
\cos \alpha = \frac{3}{5}
\end{array} \right.$
${I_6} = \frac{1}{5}\int {\frac{{\sin \left( {x + \alpha } \right)dx}}{{{{\sin }^2}\left( {x + \alpha } \right)}} = \frac{1}{5}\int {\frac{{d\left( {\cos \left( {x + \alpha } \right)} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {x + \alpha } \right) - 1}} = \frac{1}{{10}}\ln \left| {\frac{{\cos \left( {x + \alpha } \right) - 1}}{{\cos \left( {x + \alpha } \right) + 1}}} \right| + C} } $

5+sin(x+a) chứ , mình ko hiểu



#55 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 11-12-2013 - 20:00

có 1 bài toán cũng khá được, mình là dân mới, mong các bạn và anh chị chỉ giáo. xin cám ơn
$I= \int_{0}^{3}arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}dx$
$I'=\int_{1/2}^{2}(1+x-\frac{1}{x})e^{x+\frac{1}{x}}dx$

 

Cách khác:

 

Bài 2 thì thấy giải chuẩn rồi, còn bài 1 thì tôi có cách khác như sau:

 

Ta có nhận xét sau:

 

$$arc\sin\sqrt{\frac{x}{1+x}}=arc\tan\sqrt{x}$$

 

Nên:

$$I= \int arc\sin\sqrt{\frac{x}{x+1}}dx=\int arc\tan\sqrt{x}\: dx=\int arc\tan t\: d\left ( t^2 \right )$$

$$=t^2arc\tan t-\int \frac{t^2}{1+t^2}dt=\left ( t^2+1 \right )arc\tan t-t+C=\left ( x+1 \right )arc\tan\sqrt{x}-\sqrt{x}+C$$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#56 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 12-12-2013 - 06:52

Bài toán mở đầu (dễ):

Bài 1: Tính tích phân bất định sau: $$I = \int {\dfrac{1}{{{x^2}}}\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} } dx$$

 

P.s: Giải quyết bài 1 tồn đọng:

 

Đặt $t=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\Rightarrow x=\frac{1+t^2}{1-t^2}\Rightarrow dx=\frac{4t}{\left ( 1-t^2 \right )^2}\: dt$

 

 

$\Rightarrow I_1=\int \left [ \frac{\left ( 1-t^2 \right )^2}{\left ( 1+t^2 \right )^2}\: t\: \frac{4t}{\left ( 1-t^2 \right )^2} \right ]dt=\int \frac{4t^2}{\left ( 1+t^2 \right )^2}dt$

 

$=-\int 2td\left ( \frac{1}{1+t^2} \right )=-\frac{2t}{1+t^2}+\int \frac{2}{1+t^2}dt=\frac{-2t}{1+t^2}+2\arctan t+C$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#57 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 12-12-2013 - 07:41

Bài 10: ${I_{10}} = \int\limits_0^1 {{{\left( {\frac{{\ln x}}{{x + 1}}} \right)}^2}dx} $
 

 

Hình như bài 10 còn tồn đọng:

 

Giải:

 

 

 

 

$$I_{10}=\int_{0}^{1}\left ( \frac{\ln x}{1+x} \right )^2dx=\lim_{a\to 0^+}\int_{a}^{1}\ln^2xd\left (- \frac{1}{1+x} \right )dx$$

 

$$=\lim_{a\to 0^+}\left [ -\frac{\ln ^2a}{1+a}+2\int_a^1\frac{\ln x}{x(1+x)}dx \right ]$$

 

$$=\lim_{a\to 0^+}\left [ -\frac{\ln ^2a}{1+a}+2\int_a^1\frac{\ln x}{x}dx-2\int_a^1 \frac{\ln x}{1+x} dx \right ]$$

 

$$=\underbrace{\lim_{a\to 0^+}\frac{a\ln^2a}{1+a}}_{0}-2\lim_{a\to 0^+}\int_{a}^{1}\frac{\ln x}{1+x}dx$$

 

$$=-2\underbrace{\lim_{a\to 0^+}\ln a\ln(1+a)}_{0}+2\lim_{a\to 0^+}\underbrace{\int_{a}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}dx}_{I}$$

 

 

Đến đây thì vô hướng, chả biết làm nữa...làm liều-nghĩ theo hướng này: (!)

 

 

Ta dùng khai triên $Maclaurin:$

 

$\ln(1+x)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\left ( -1 \right )^{i+1}x^i}{i}$

 

$\Rightarrow I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}dx=\int_{0}^{1}\sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-1)^{i+1}x^{i-1}}{i} \: dx=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i^2}$

 

Đang nghĩ! ~O)


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#58 HauBKHN

HauBKHN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 68 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Nguyên
  • Sở thích:Xem, bình luận bóng đá

Đã gửi 28-12-2013 - 09:39

Cảm ơn sự tham gia của dark templar. Mọi người cùng tham gia giải nào. Sau đây là một bài dành cho Đại học.

Bài 5: Tính tích phân: $$I_{5}=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}= \int_{-1}^{0}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}+\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$

Viết công thức toàn lỗi chắc dài quá, đành gửi ảnh 

Em làm vậy không biết đúng không ?

Hình gửi kèm

  • CodeCogsEqn.gif
  • CodeCogsEqn (1).gif

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HauBKHN: 28-12-2013 - 09:51


#59 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 17-03-2014 - 00:00

Hình như bài 10 còn tồn đọng:

 

Giải:

 

 

 

 

$$I_{10}=\int_{0}^{1}\left ( \frac{\ln x}{1+x} \right )^2dx=\lim_{a\to 0^+}\int_{a}^{1}\ln^2xd\left (- \frac{1}{1+x} \right )dx$$

 

$$=\lim_{a\to 0^+}\left [ -\frac{\ln ^2a}{1+a}+2\int_a^1\frac{\ln x}{x(1+x)}dx \right ]$$

 

$$=\lim_{a\to 0^+}\left [ -\frac{\ln ^2a}{1+a}+2\int_a^1\frac{\ln x}{x}dx-2\int_a^1 \frac{\ln x}{1+x} dx \right ]$$

 

$$=\underbrace{\lim_{a\to 0^+}\frac{a\ln^2a}{1+a}}_{0}-2\lim_{a\to 0^+}\int_{a}^{1}\frac{\ln x}{1+x}dx$$

 

$$=-2\underbrace{\lim_{a\to 0^+}\ln a\ln(1+a)}_{0}+2\lim_{a\to 0^+}\underbrace{\int_{a}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}dx}_{I}$$

 

 

Đến đây thì vô hướng, chả biết làm nữa...làm liều-nghĩ theo hướng này: (!)

 

 

Ta dùng khai triên $Maclaurin:$

 

$\ln(1+x)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\left ( -1 \right )^{i+1}x^i}{i}$

 

$\Rightarrow I=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{x}dx=\int_{0}^{1}\sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-1)^{i+1}x^{i-1}}{i} \: dx=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{(-1)^{i+1}}{i^2}$

 

Đang nghĩ! ~O)

 

Giờ mới được học làm Gamma và khai triên chuỗi Fourier:

Cách 1: Áp dụng hàm Gamma

 

Cách 2: Áp dụng khai triển Fourier

Xét hàm $f(x)=x^2, \: x\in (-\pi, \pi)$ với chu kì $T=2\pi$, ta có khai triển Fourier cho hàm tuần hoàn là

 

Đây là hàm chẵn nên $b_n=0$

$a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)dx=\frac{2\pi^2}{3}$

 

$a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos nxdx=\frac{4(-1)^n}{n^2}$

 

Nên $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left ( a_n\cos nx+b_n\sin nx \right )=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n\cos nx}{n^2}=x$

 

Cho $x=0$ thì $\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}=0\Rightarrow \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} =-\frac{\pi^2}{12}$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#60 Danglien

Danglien

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Đã gửi 02-03-2017 - 02:28

$\int_{0}^{\prod }$ $\frac{dx}{1+tanx^{a}}$ =? mng giúp t với !!! nhầm phải là pi/2 mới đúng vs cả (tanx)^a ; mng giup t vs !!! cho a thuộc R 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Danglien: 02-03-2017 - 02:31





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh