Chủ đề này có 1 trả lời

[BlackSelena]

Cho tam giác ABC, AD là tia phân giác của $\hat{A}$
CMR: $AD^{2}=AB.AC-BD.DC$

[Junz]

Vẽ $\widehat{DCE}$ với $E\in AD$ sao cho $\widehat{DCE} = \widehat{BAD}$
Xét $\Delta ABD$ và $\Delta CED$, có:
$\widehat{BAD} = \widehat{DCE}$ ( giả thuyết )
$\widehat{BDA} = \widehat{EDC}$ ( đối đỉnh )
=> $\Delta ABD\sim \Delta CED$ (g.g)
=> $\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{DE}{CD}$
=> $AD.DE = BD.CD$ (1)

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta AEC$, có:
$\widehat{BAD} = \widehat{CAE}$ ( $AE$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$)
$\widehat{ABD} = \widehat{AEC}$ ( do $\Delta ABD\sim \Delta CED$ )
=> $\Delta ABD\sim \Delta AEC$ (g.g)
=> $\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AC}$
=> $AD.AE = AB.AC$ (2)

Từ (1) và (2), ta có
$AD.AE - AD.DE = AB.AC - BD.CD$
=> $AD.( AE - DE ) = AB.AC - BD.CD$
=> $AD.AD = AB.AC - BD.CD$
=> $AD^{2} = AB.AC - BD.CD$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Junz: 05-01-2012 - 20:53