Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho $m,n\in \mathbb{N};m>n$. Chứng minh:$$\left(1+\dfrac{1}{m}\right )^m>\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 orchid96

orchid96

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bắc Giang

Đã gửi 05-01-2012 - 18:17

  • Bài 1: $\forall n \epsilon N$
CMR:
a) $1.\dfrac{1}{2^2}.\dfrac{1}{3^3}.\dfrac{1}{4^4}...\dfrac{1}{n^n} < \left ( \dfrac{2}{n+1} \right )^\dfrac{n(n+1)}{2}$
b) $1.2^2.3^3.4^4...n^n < \left ( \dfrac{2n+1}{3} \right )^\dfrac{n(n+1)}{2}$

Bài 2: Cho ba số không âm $ a,b,c$
CMR:$ a + b + c \geqslant \sqrt[m+n+k]{a^mb^nc^k} + \sqrt[m+n+k]{a^nb^kc^m} + \sqrt[m+n+k]{a^kb^mc^n}$

Bài 3: Cho $a,b,c > 0$ thỏa mãn $ a+b+c\leq k.$
CMR: $\left ( 1 + \dfrac{1}{a} \right )\left ( 1+\dfrac{1}{b} \right )\left ( 1+\dfrac{1}{c} \right ) \geq \left ( 1+\dfrac{3}{k} \right )^3$

Bài 4: Cho $ m,n \epsilon N ; m>n$
Cm:$ \left ( 1+\dfrac{1}{m} \right )^m > \left ( 1+ \dfrac{1}{n} \right )^n$
------------------------------------------------------------------
Lí do edit: Tiêu đề.
Bạn ghé thăm những topic này nhé:
$\to$ Thông báo về việc đặt tiêu đề
$\to$ Nội quy Diễn đàn Toán học

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 05-01-2012 - 18:54

Cuộc sống luôn đánh ngã chúng ta, nhưng chúng ta luôn có quyền lựa chọn: đứng lên hay gục ngã


#2 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 06-01-2012 - 01:42

bài 3 : Khai triển vế trái, ta có $$1 + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} +\dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ca} + \dfrac{1}{abc} \ge 1 + \dfrac{3}{a + b + c} + \dfrac{9}{(a + b + c)^2} + \dfrac{27}{(a + b + c)^3} \ge (1 + \dfrac{3}{k})^3.$$
Bài 2 : $a + b + c = \dfrac{(m + n + k)(a + b + c)}{m + n + k} + ... = \dfrac{ ma +nb + kc }{m + n + k} +... \ge $. $\sqrt[m + n + k]{a^m.b^n.c^k} +...$
Từ đây suy ra đpcm.
Bài 4: Ta chỉ cần sử dụng bđt Becnuli thôi.vì m > n nên $(1 + \dfrac{1}{m})^{\dfrac{m}{n}} > 1 + \dfrac{1}{m} . \dfrac{m}{n}$ suy ra đpcm
Bài 1 cũng tương đối dễ, ta chỉ cần dùng côsi cho $\dfrac{(n + 1)n}{2} số$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 06-01-2012 - 02:07

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#3 Takitori Chishikato

Takitori Chishikato

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bắc Giang
  • Sở thích:Đọc truyện, ăn và ngủ (con ng đích thực ^_^)

Đã gửi 06-01-2012 - 19:57

Bài 1 dùng côsi cho $\dfrac{(n + 1)n}{2} số$ ntn zậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Takitori Chishikato: 06-01-2012 - 20:08

Hãy bắt đầu thành công bằng việc thay đổi niềm tin của bạn!


#4 Takitori Chishikato

Takitori Chishikato

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bắc Giang
  • Sở thích:Đọc truyện, ăn và ngủ (con ng đích thực ^_^)

Đã gửi 06-01-2012 - 20:08

bài 3 : Khai triển vế trái, ta có $$1 + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} +\dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ca} + \dfrac{1}{abc} \ge 1 + \dfrac{3}{a + b + c} + \dfrac{9}{(a + b + c)^2} + \dfrac{27}{(a + b + c)^3} \ge (1 + \dfrac{3}{k})^3.$$
Bài 2 : $a + b + c = \dfrac{(m + n + k)(a + b + c)}{m + n + k} + ... = \dfrac{ ma +nb + kc }{m + n + k} +... \ge $. $\sqrt[m + n + k]{a^m.b^n.c^k} +...$
Từ đây suy ra đpcm.
Bài 4: Ta chỉ cần sử dụng bđt Becnuli thôi.vì m > n nên $(1 + \dfrac{1}{m})^{\dfrac{m}{n}} > 1 + \dfrac{1}{m} . \dfrac{m}{n}$ suy ra đpcm
Bài 1 cũng tương đối dễ, ta chỉ cần dùng côsi cho $\dfrac{(n + 1)n}{2} số$

Bài 1 dùng côsi cho $\dfrac{(n + 1)n}{2} số$ ntn zậy?

Hãy bắt đầu thành công bằng việc thay đổi niềm tin của bạn!


#5 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 06-01-2012 - 20:09

Bài 1 côsi cho \[n(n+1) div 2\] ntn zậy bạn huymit_95

Mình làm câu a minh hoạ :1.$1\dfrac{1}{2^2} . \dfrac{1}{3^3} ...\dfrac{1}{n^n} \le \dfrac{1}{\dfrac{(n+1)n}{2}}( 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} +... +\dfrac{1}{n})^{\dfrac{(n + 1)n}{2}}$ Đến đây thì bạn đã hiểu ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 06-01-2012 - 20:19

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#6 Takitori Chishikato

Takitori Chishikato

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bắc Giang
  • Sở thích:Đọc truyện, ăn và ngủ (con ng đích thực ^_^)

Đã gửi 06-01-2012 - 20:15

Mình làm câu a minh hoạ :1.$ 1\dfrac{1}{2^2} . \dfrac{1}{3^3} ...\dfrac{1}{n^n} \le \dfrac{(n+1)n}{2}( 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} +... +\dfrac{1}{n})^{\dfrac{(n + 1)n}{2}$ Đến đây thì bạn đã hiểu ?


Thank bạn

Hãy bắt đầu thành công bằng việc thay đổi niềm tin của bạn!





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh