Chủ đề này có 1 trả lời

[cvp]

Cho $a;b \in \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn $P=a^{2}+b^{2}$ là số nguyên tố, $P-5\vdots 8$. Giả sử $x,y \in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $(ax^{2}-by^{2} \vdots P$.
Chứng minh rằng:
$x; y \vdots P$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 05-01-2012 - 21:34

[anh qua]

Cho $a;b \in \mathbb{Z}^{+}$ thỏa mãn $P=a^{2}+b^{2}$ là số nguyên tố, $P-5\vdots 8$. Giả sử $x,y \in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $(ax^{2}-by^{2} \vdots P$.
Chứng minh rằng:
$x; y \vdots P$.

Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
Nêu số nguyên tố $p=2^{k}.m+1$ với $m$ lẻ thỏa mãn: $x^{2^{k}}+y^{2^{k}}$ chia hết cho $p$ thì $x,y$ đều chia hết cho $p$.
CM:
Giả sử cả $x,y$ đều không chia hất cho $p$.
Ta có: $x^{2^{k}.m}+y^{2^{k}.m}$ chia hết cho $x^{2^{k}}+y^{2^{k}}$
Suy ra: $x^{2^{k}.m}+y^{2^{k}.m}$ chia hết cho $p$
Mà: $x^{2^{k}.m}+y^{2^{k}.m} \equiv 2 mod p$ suy ra mâu thuẫn!
Vậy $x,y$ chia hết cho $p$.
Trở lại bài toán:
Ta có:$ax^{2}-by^{2} \vdots P$
suy ra: $a^2x^4-b^2y^4 \vdots P$
Hay $(P-b^2)x^4-b^2y^4 \vdots P$
Suy ra: $x^4+y^4 \vdots P$
Mà $P = 4(2k+1)+1$
Nên theo bổ đề trên ta có: $x,y$ đều chia hết cho $P$. QED!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 06-01-2012 - 22:37