Giải phương trình: $x^{3}-\sqrt[3]{x+2lnx}-\dfrac{2}{3}ln(x+2lnx)=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranduy101093: 06-01-2012 - 14:48
Giải phương trình: $x^{3}-\sqrt[3]{x+2lnx}-\dfrac{2}{3}ln(x+2lnx)=0$
Bắt đầu bởi tranduy101093, 06-01-2012 - 14:11
#1
Đã gửi 06-01-2012 - 14:11
tranduy101093
-
- Banned
-
- 21 Bài viết
Binh nhất
Nhờ các bạn giúp mình bài tập này:
Giải phương trình: $x^{3}-\sqrt[3]{x+2lnx}-\dfrac{2}{3}ln(x+2lnx)=0$
Giải phương trình: $x^{3}-\sqrt[3]{x+2lnx}-\dfrac{2}{3}ln(x+2lnx)=0$
#2
Đã gửi 06-01-2012 - 15:50
Nguyễn Hưng
-
- Thành viên
-
- 140 Bài viết
Trung sĩ
Điều kiện xác định: $x > 0$
Viết lại phương trình đã cho dưới dạng:
\[{x^3} - \sqrt[3]{{x + 2\ln x}} = 2\ln \left( {\sqrt[3]{{x + 2\ln x}}} \right)\]
Đặt
\[y = \sqrt[3]{{x + 2\ln x}} > 0\]
Ta có hệ
\[\begin{array}{l}
{x^3} - y = 2\ln y \\
{y^3} - x = 2\ln x \\
\end{array}\]
Giả sử hệ có nghiệm $(x,y)$. Do tính đối xứng nên có thể giả sử $x \ge y$, suy ra $x^3 \ge y^3$, tức là $y + 2\ln y \ge x + 2\ln x$. Do $f\left( t \right) = t + 2\ln t$ là một hàm đồng biến trên $\left( {0, + \infty } \right)$ nên có thể kết luận ngay $y \ge x$. Vậy $x=y$.
Từ đó ta quy về giải phương trình ${x^3} - x - 2\ln x = 0$. Hàm số $g\left( x \right) = {x^3} - x - 2\ln x$ có $g'\left( x \right) = 3{x^2} - \dfrac{2}{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ và $g''\left( 1 \right) > 0$ nên $g(x)$ đạt cực tiểu tại $x=1$ (đó cũng là GTNN của hàm số). Mà $g(1)=0$ nên $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình trên (vì các giá trị khác đều làm $g(x)$ dương).
Đó cũng là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Viết lại phương trình đã cho dưới dạng:
\[{x^3} - \sqrt[3]{{x + 2\ln x}} = 2\ln \left( {\sqrt[3]{{x + 2\ln x}}} \right)\]
Đặt
\[y = \sqrt[3]{{x + 2\ln x}} > 0\]
Ta có hệ
\[\begin{array}{l}
{x^3} - y = 2\ln y \\
{y^3} - x = 2\ln x \\
\end{array}\]
Giả sử hệ có nghiệm $(x,y)$. Do tính đối xứng nên có thể giả sử $x \ge y$, suy ra $x^3 \ge y^3$, tức là $y + 2\ln y \ge x + 2\ln x$. Do $f\left( t \right) = t + 2\ln t$ là một hàm đồng biến trên $\left( {0, + \infty } \right)$ nên có thể kết luận ngay $y \ge x$. Vậy $x=y$.
Từ đó ta quy về giải phương trình ${x^3} - x - 2\ln x = 0$. Hàm số $g\left( x \right) = {x^3} - x - 2\ln x$ có $g'\left( x \right) = 3{x^2} - \dfrac{2}{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ và $g''\left( 1 \right) > 0$ nên $g(x)$ đạt cực tiểu tại $x=1$ (đó cũng là GTNN của hàm số). Mà $g(1)=0$ nên $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình trên (vì các giá trị khác đều làm $g(x)$ dương).
Đó cũng là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hưng: 06-01-2012 - 15:51
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
