Chủ đề này có 3 trả lời

[MonkeyDLuffy]

Tam giác ABC có góc ABC bằng $30^{o}$, góc ACB bằng $15^{o}$. Cọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và M,N,P,I lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB,OC
a) Tính số đo góc $\widehat{PON}$ C/m A,M,I thẳng hàng
b) Tìm trực tâm của tam giác OMN.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MonkeyDLuffy: 06-01-2012 - 20:35

[Junz]

1. Tính $\widehat{PON}$
Vì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
=> $OA=OB=OC$
=> $\Delta ABO$, $\Delta ACO$, $\Delta BCO$ cùng cân tại O

$\Delta ABO$ cân tại $O$ có
$OP$ là trung tuyến ( vì $P$ là trung điểm $AB$)
=> $OP$ cũng là đường cao $\Delta ABO$
=> $OP\perp AB$ tại $P$

Tương tự với $\Delta ACO$ và $\Delta BCO$, ta cũng có được $ON\perp AC$ tại $N$ và $OP\perp AB$ $OM\perp BC$ tại $M$

$\Delta ABC$ có
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}$ ( tổng 3 góc trong tam giác )
mà $\widehat{B}= 30^{\circ}$, $\widehat{C}= 15^{\circ}$
=> $\widehat{A}= 135^{\circ}$

Tứ giác $APON$ có
$\widehat{A}+\widehat{APO}+\widehat{ANO}+\widehat{PON}=360^{\circ}$ ( tổng 4 góc tứ giác )
mà $\widehat{APO}= 90^{\circ}$ ( vì $PO\perp AB$ )
$\widehat{ANO}= 90^{\circ}$ ( vì $NO\perp AC$ )
$\widehat{A}= 135^{\circ}$ (cmt)
=> $\widehat{PON}=45^{\circ}$

2. Chứng minh $A$, $M$, $I$ thẳng hàng
Vì $\Delta AOB$ cân tại $O$
=> $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ (1)

Vì $\Delta AOC$ cân tại $O$
=> $\widehat{OAC}=\widehat{OCA}$ (2)

Từ (1) và (2), ta có
$\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=\widehat{OAB}+\widehat{OAC}=\widehat{A}$
mà $\widehat{OBA}=\widehat{ABC}+\widehat{OBC}$
$\widehat{OCA}=\widehat{ACB}+\widehat{OCB}$
$\widehat{A}=135^{\circ}$ ( cmt )
$\widehat{ABC}=30^{\circ}$ ( gt )
$\widehat{ACB}=15^{\circ}$ ( gt )
=> $\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=90^{\circ}$
mà $\widehat{OBC}+\widehat{OCB}+\widehat{O}=180^{\circ}$ ( tổng 3 góc $\Delta OBC$ )
=> $\widehat{O}=90^{\circ}$
mà $\Delta OBC$ cân tại $O$ ( cmt )
=> $\Delta OBC$ vuông cân tại $O$
mà $OM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$
=> $OM=\dfrac{1}{2}.BC$
mà $MC=\dfrac{1}{2}.BC$ ( vì $M$ là trung điểm $BC$ )
=> $OM=MC$
=> $\Delta OMC$ cân tại $M$
mà $\widehat{OMC}=90^{\circ}$ ( vì $OM\perp MC$ tại $M$ )
=> $\Delta OMC$ vuông cân tại $M$
mà $MI$ là đường trung tuyến ( $I$ là trung điểm $OC$ )
=> $MI$ cũng là đường cao
=> $MI\perp OC$ tại $I$

Vì $\Delta OMC$ vuông cân tại $M$
=> $\widehat{OCM}=45^{\circ}$
mà $\widehat{ACB}=15^{\circ}$ ( giả thuyết )
$\widehat{OCM}+\widehat{ACB}=\widehat{ACO}$
=> $\widehat{ACO}=60^{\circ}$
mà $\Delta ACO $ cân tại O ( cmt )
=> $\Delta ACO$ đều
mà $AI$ là trung tuyến ( $I$ là trung điểm $OC$ )
=> $AI\perp OC$ tại $I$
mà $MI\perp OC$ tại $I$ ( cmt )
=> $AI\equiv AM$
=> $A$, $M$, $I$ thẳng hàng

3. Tìm trực tâm $\Delta OMN$
$\Delta ABC$ có
$P$ là trung điểm $AB$
$M$ là trung điểm $BC$
=> $PM$ là đường trung bình
=> $PM \parallel AC$ ( định lý đường trung bình )
mà $AC\perp ON$ tại $N$ ( cmt )
=> $PM\perp ON$

$\Delta ABC$ có
$P$ là trung điểm $AB$
$N$ là trung điểm $AC$
=> $PN$ là đường trung bình
=> $PN \parallel BC$ ( định lý đường trung bình )
mà $BC\perp OM$ tại $M$ ( cmt )
=> $PN\perp OM$

$\Delta OMN$ có
$PM$ là đường cao ( vì $PM\perp ON$ )
$NP$ là đường cao ( vì $PN\perp OM$ )
$PM$ và $NP$ cắt nhau tại $P$
=> $P$ là trực tâm $\Delta OMN$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Junz: 07-01-2012 - 06:31

[MonkeyDLuffy]

1. Tính $\widehat{PON}$
Vì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$
=> $OA=OB=OC$
=> $\Delta ABO$, $\Delta ACO$, $\Delta BCO$ cùng cân tại O

$\Delta ABO$ cân tại $O$ có
$OP$ là trung tuyến ( vì $P$ là trung điểm $AB$)
=> $OP$ cũng là đường cao $\Delta ABO$
=> $OP\perp AB$ tại $P$

Tương tự với $\Delta ACO$ và $\Delta BCO$, ta cũng có được $ON\perp AC$ tại $N$ và $OP\perp AB$ $OM\perp BC$ tại $M$

$\Delta ABC$ có
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}$ ( tổng 3 góc trong tam giác )
mà $\widehat{B}= 30^{\circ}$, $\widehat{C}= 15^{\circ}$
=> $\widehat{A}= 135^{\circ}$

Tứ giác $APON$ có
$\widehat{A}+\widehat{APO}+\widehat{ANO}+\widehat{PON}=360^{\circ}$ ( tổng 4 góc tứ giác )
mà $\widehat{APO}= 90^{\circ}$ ( vì $PO\perp AB$ )
$\widehat{ANO}= 90^{\circ}$ ( vì $NO\perp AC$ )
$\widehat{A}= 135^{\circ}$ (cmt)
=> $\widehat{PON}=45^{\circ}$

2. Chứng minh $A$, $M$, $I$ thẳng hàng
Vì $\Delta AOB$ cân tại $O$
=> $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ (1)

Vì $\Delta AOC$ cân tại $O$
=> $\widehat{OAC}=\widehat{OCA}$ (2)

Từ (1) và (2), ta có
$\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=\widehat{OAB}+\widehat{OAC}=\widehat{A}$
mà $\widehat{OBA}=\widehat{ABC}+\widehat{OBC}$
$\widehat{OBA}=\widehat{ACB}+\widehat{OCB}$
$\widehat{A}=135^{\circ}$ ( cmt )
$\widehat{ABC}=30^{\circ}$ ( gt )
$\widehat{ACB}=15^{\circ}$ ( gt )
=> $\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^{\circ}$
mà $\widehat{OBA}+\widehat{OCA}+\widehat{O}=180^{\circ}$ ( tổng 3 góc $\Delta OBC$ )
=> $\widehat{O}=90^{\circ}$
mà $\Delta OBC$ cân tại $O$ ( cmt )
=> $\Delta OBC$ vuông cân tại $O$
mà $OM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$
=> $OM=\dfrac{1}{2}.BC$
mà $MC=\dfrac{1}{2}.BC$ ( vì $M$ là trung điểm $BC$)
=> $OM=MC$
=> $\Delta OMC$ cân tại $M$
mà $\widehat{OMC}=90^{\circ}$ ( vì $OM\perp MC$ tại $M$ )
=> $\Delta OMC$ vuông cân tại $M$
mà $MI$ là đường trung tuyến ( $I$ là trung điểm $OC$ )
=> $MI$ cũng là đường cao
=> $MI\perp OC$ tại $I$

Vì $\Delta OMC$ vuông cân tại $M$
=> $\widehat{OCM}=45^{\circ}$
mà $\widehat{ACB}=15^{\circ}$ ( giả thuyết )
$\widehat{OCM}+\widehat{ACB}=\widehat{ACO}$
=> $\widehat{ACO}=60^{\circ}$
mà $\Delta ACO $ cân tại O ( cmt )
=> $\Delta ACO$ đều
mà $AI$ là trung tuyến ( $I$ là trung điểm $OC$ )
=> $AI\perp OC$ tại $I$
mà $MI\perp OC$ tại $I$ ( cmt )
=> $AI\equiv AM$
=> $A$, $M$, $I$ thẳng hàng

3. Tìm trực tâm $\Delta OMN$
$\Delta ABC$ có
$P$ là trung điểm $AB$
$M$ là trung điểm $BC$
=> $PM$ là đường trung bình
=> $PM \parallel AC$ ( định lý đường trung bình )
mà $AC\perp ON$ tại $N$ ( cmt )
=> $PM\perp ON$

$\Delta ABC$ có
$P$ là trung điểm $AB$
$N$ là trung điểm $AC$
=> $PN$ là đường trung bình
=> $PN \parallel BC$ ( định lý đường trung bình )
mà $BC\perp OM$ tại $M$ ( cmt )
=> $PN\perp OM$

$\Delta OMN$ có
$PM$ là đường cao ( vì $PM\perp ON$ )
$NP$ là đường cao ( vì $PN\perp OM$ )
$PM$ và $NP$ cắt nhau tại $P$
=> $P$ là trực tâm $\Delta OMN$

Câu 2 hình như sai rồi anh ơi! Em không hiểu gì cả

[Junz]

Bạn thông cảm, tại mình tìm ra được câu 1 và 3 trước, suy nghĩ ra câu 2 sau nên nó hơi hơi rối, đã sửa