Đến nội dung

Hình ảnh

Kỹ thuật cm Bất đẳng hoán vị (Sưu tầm).

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
tk14nkt

tk14nkt

    Đồi gió hú

  • Thành viên
  • 358 Bài viết
Hiện nay, bất đẳng thức mang tính sắp xếp lại của các phần tử chiếm một số lượng khá nhiều. Một trong những cách để giải các bài toán trên là sử dụng bất đẳng thức hoán vị.

Bất đẳng thức hoán vị:

Cho hai dãy số thực $(x_n), (y_n), (n \in N)$ thỏa mãn: $x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n$ và $y_1 \leq y_2 \leq ... \leq y_n$. Với mỗi hoán vị $(x'_1, x'_2... , x'_n)$ của $(x_1, x_2... , x_n)$ ta có:
$x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n \geq x'_1y_1+x'_2y_2+...+x'_ny_n$.
$ \geq x_ny_1+x_{n-1}y_2+...+x_1y_n$.
Nếu $(x'_1, x'_2... , x'_n)$ đồng bậc với $(x_1, x_2... , x_n)$ hoặc $(x_n, x_{n-1}... , x_1)$.

Hệ quả:

Cho dãy số thực $(x_n), (n \in N)$ và $(x'_1, x'_2... , x'_n)$ là một hoán vị của $(x_1, x_2... , x_n)$, ta có:
1/ $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2 \geq x_1x'_1+x_2x'_2+...+x_nx'_n$.
2/ $\dfrac{x'_1}{x_1}+\dfrac{x'_2}{x_2}+...\dfrac{x'_n}{x_n} \geq n$.

Ứng dụng của bất đẳng thức hoán vị:

Bài 1: Cho hai dãy số thực $(x_n), (y_n), (n \in N)$ thỏa mãn: $x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_n$ và $y_1 \leq y_2 \leq ... \leq y_n$. Gọi $(z_1, z_2... , z_n)$ là một hoán vị của $(y_1, y_2... , y_n)$. Chứng minh rằng:
$(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+...+(x_n-y_n)^2 \leq (x_1-z_1)^2+(x_2-z_2)^2+...+(x_n-z_n)^2.$
(IMO 1975).
Lời giải:
Để ý rằng ta luôn có: $y_1^2+y_2^2+...+y_n^2 = z_1^2+z_2^2+...+z_n^2$.
Sau khi khai triển bất đẳng thức cần cm được đưa về:
$x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n \geq x_1z_1+x_2z_2+...+x_nz_n$.
Điều này đúng theo bđt hoán vị.
Bài 2: Cho dãy số nguyên dương phân biệt $(a_1, a_2... , a_n)
$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{a_1}{1^2}+\dfrac{a_2}{2^2}+...+\dfrac{a_n}{n^2} \geq \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n}$.
(IMO 1978).
Lời giải:
Giả sử $(a'_1, a'_2... , a'_n)$ là một hoán vị của $(a_1, a_2... , a_n)$ thỏa mãn: $a'_1 \leq a'_2 \leq....\leq a'_n$. Thế thì: $a'_i \geq i$. Từ bất đẳng thức hoán vị ta có:
$\dfrac{a_1}{1^2}+\dfrac{a_2}{2^2}+...+\dfrac{a_n}{n^2} \geq \dfrac{a'_1}{1^2}+\dfrac{a'_2}{2^2}+...+\dfrac{a'_n}{n^2} \geq \dfrac{1}{1^2}+\dfrac{2}{2^2}+...+\dfrac{n}{n^2} = \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n}$ (đfcm).
Bài 3: Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:
$a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c) \leq 3abc$.
IMO 1983.
Lời giải:
Đây là một bất đẳng thực quen thuộc và khá dễ với đa số các bạn, sau đây là lời giải của nó bằng cách sử dụng bđt hoán vị:
Giả sử $a \geq b \geq c$. Ta cm: $c(a+b-c) \geq b(a+c-b) \geq a(b+c-a)$.
Thật vậy: $c(a+b-c) - b(a+c-b) = (b-c)(b+c-a) \geq 0$.
BĐT còn lại cm tương tự.
Từ đó:
$a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c) \leq ba(b+c-a)+cb(a+c-b)+ac(a+b-c)$.
$a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c) \leq ca(b+c-a)+ab(a+c-b)+bc(a+b-c)$.
Từ đó dễ suy ra đfcm.
Ngoài ra, sử dụng bất đẳng thức hoán vị chúng ta có thể chứng minh được các bất đẳng thức quen thuộc như: BĐT Trung bình cộng, trung bình nhân, BĐT Cauchy - Schwart...
Lần sau tôi sẽ giới thiệu thêm 1 số bài để các bạn luyện tập.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 23-05-2009 - 16:04

Trying not to break

#2
kelieulinh

kelieulinh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết

Có lẽ là rất thiếu sót nếu nói về bất đẳng thức hoán vị mà không đưa ra cách chứng minh nó
Tôi xin phát biểu lại bất đẳng thức hoán vị như sau:
Cho hai dãy $(a)$:$=(b_1,b_2,...,b_n)$ thỏa mãn
$=(c_1,c_2,...,c_n)$ là một hoán vị của dãy $(b)$
Gọi $(b^*)$:$=(b_n,b_{n-1},....,b_1)$
Với mỗi dãy [c] ta lập tổng $n!$ tổng như vậy)
Khi đó với mọi dãy $[c]$ ta có:
$(a),(b)$ là dãy dừng thì : $S[c]$ là hữu hạn nên tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
Giả sử $max{S[c]}=S(c^,)$,trong đó
$(c^,)$:$=(c_1^,,c^,_2,....,c_n^,)$ là một hoán vị của dãy $(b)$
Nếu $(c^,)$ thỏa mãn :
Với mọi $(c^,)$ không thỏa mãn  tức là $(c^{,,})$:$=(c_1^,,c_2^,,...,c_{i-1}^,,c_j^,,c_{i+1}^,,...,c_{j-1}^,,c_i^,,c_{j+1}^,,....,c_n^,)$
($(c^{,,})$ thu được từ $(c^,)$ bằng cách chỉ đổi chỗ hai vị trí $c_i^,,c_j^,$ cho nhau).Khi đó:
$max{S[c]}=S(c^,)$.Vậy trường hợp $(c^,)$ không thỏa mãn leq.gif là không xảy ra ,tức $max{S[c]}=S(b)$ Hay $[c]$ là hoán vị của $(b)$
Tương tự chứng minh $[c]$ là hoán vị của $(b)$
Vậy ta có điều phai chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 30-09-2016 - 17:43





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh