Chủ đề này có 43 trả lời

[Tham Lang]

Đưa lên bài này cho mọi người tham khảo!
Bài 4: Cho $a,b,c>0;a+b+c=3$. CMR:
$\frac{a}{3a^2+5}+\frac{b}{3b^2+5}+\frac{c}{3c^2+5}\leq \frac{3}{8}$

Mình xin chém bài này
ta có $\dfrac{a}{3a^2 + 5} \le \dfrac{a + 3}{32} (1) $ nên $A \le \dfrac{a + b + c + 9}{32} = \dfrac{3}{8}$ $$((1) \Leftrightarrow (a + 5)(a - 1)^2 \ge 0)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 19-01-2012 - 19:03

[le_hoang1995]

Tổng quát nhỏ cho bài toán này: Cho $a,b,c>0$ và $n$ là số tự nhiên dương. Chứng minh:
$$\frac{{{a^n}}}{{b + c}} + \frac{{{b^n}}}{{c + a}} + \frac{{{c^n}}}{{a + b}} \geqslant \frac{{{a^{n - 1}} + {b^{n - 1}} + {c^{n - 1}}}}{2}$$
Khi $n=1$ thì ta được BĐT Nesbit 3 biến.
-------------------------------------------
P/s: Không biết có tổng quát được cho $m$ biến không

Bài này em dùng Chê-bư-sép là ra.

Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow \frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{a+b}$

$$\Rightarrow VT\geq \frac{1}{3}(a^{n-1}+b^{n-1} +c^{n-1})(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq \frac{1}{3}(a^{n-1}+b^{n-1} +c^{n-1})\frac{1}{3}(a+b+c)\frac{9}{2(a+b+c)}=VP$$

Tổng quát : BĐT trên vẫn đúng cho m số $a_i$ (ở dưới mẫu có dạng $S-a_i$ trong đó $S=\sum_{i=1}^{20}a_i$

Chứng minh vẫn chỉ dùng Chê-bư-sép, đây là ý kiến chủ quan của em

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 23-01-2012 - 09:40

[anhbz1610]

1.BĐT Cosi cho hai số không âm: x+y⩾2xy−−√. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y. Cm: x+y=(x√)2+(y√)2 mà (x√)2+(y√)2−2xy−−√⩾0⇔(x√)2+(y√)2⩾2xy−−√.Hay:
x+y⩾2xy−−√dpcm
2 Với mọi x, y ta luôn có xy⩽(x+y)24 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y. Cm:x2+y2⩾2xy⇒(x+y)2⩾4xy⇒(x+y)24≥xy
3. xy⩽x2+y22. Cái ni như CM như cái 2 đã chứng minh trên
4.BĐT bunhiacốpxki cho 2 bộ số (x+y)2⩽2(x2+y2).

[sunsetinparis]

Xin bổ sung BĐT cộng mẫu (Schwarz) với bộ 2,3 số:
$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{x+y}$
$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$
Dấu bằng xảy ra khi:$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$
*BĐT Cô-si cho 3 số không âm:
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$(Với trình độ lớp 8 thì BĐT chỉ để tận dụng điều kiện $xyz=k$ với k cho trước)
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z(=\sqrt[3]{k})$

Đặt $ x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c} \Rightarrow xyz=1$ và:
$VT=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant^{Schwar} \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2} \geqslant^{Cauchy}\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}=VP (\square )$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1$

 

xyz−−−√32xyz−−−√32x2y+z+y2x+z+z2x+y⩾Schwar(x+y+z)22(x+y+z)=x+y+z2⩾Cauchy3xyz−−−√32=32=VP(□)