Tổng quát nhỏ cho bài toán này: Cho $a,b,c>0$ và $n$ là số tự nhiên dương. Chứng minh:
$$\frac{{{a^n}}}{{b + c}} + \frac{{{b^n}}}{{c + a}} + \frac{{{c^n}}}{{a + b}} \geqslant \frac{{{a^{n - 1}} + {b^{n - 1}} + {c^{n - 1}}}}{2}$$
Khi $n=1$ thì ta được BĐT Nesbit 3 biến.
-------------------------------------------
P/s: Không biết có tổng quát được cho $m$ biến không
Bài này em dùng Chê-bư-sép là ra.
Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow \frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{a+b}$
$$\Rightarrow VT\geq \frac{1}{3}(a^{n-1}+b^{n-1} +c^{n-1})(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\geq \frac{1}{3}(a^{n-1}+b^{n-1} +c^{n-1})\frac{1}{3}(a+b+c)\frac{9}{2(a+b+c)}=VP$$
Tổng quát : BĐT trên vẫn đúng cho m số $a_i$ (ở dưới mẫu có dạng $S-a_i$ trong đó $S=\sum_{i=1}^{20}a_i$
Chứng minh vẫn chỉ dùng Chê-bư-sép, đây là ý kiến chủ quan của em
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 23-01-2012 - 09:40