Chủ đề này có 3 trả lời

[T M]

Cho $a,b,c$ duơng có tổng là 1. CM: $a+b+2c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 11-01-2012 - 12:58
Latex

[Nguyễn Hưng]

Có nhầm đề không bạn, bởi nếu thế này thì bài toán quá yếu.

Ta có
\[a\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) = a\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \le a{\left( {\frac{{2a + 2b + 2c}}{3}} \right)^3} < 1\]
Và
$a+b+2c \ge a+b+c=1$

Bất đẳng thức được suy ra trực tiếp từ hai đánh giá trên.

[tudragon]

Có nhầm đề không bạn, bởi nếu thế này thì bài toán quá yếu.

Ta có
\[a\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) = a\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \le a{\left( {\frac{{2a + 2b + 2c}}{3}} \right)^3} < 1\]
Và
$a+b+2c \ge a+b+c=1$

Bất đẳng thức được suy ra trực tiếp từ hai đánh giá trên.

Vậy em thử chỉ ra điểm rơi của BĐT đê, bài toán này khó ở chỗ xác định điểm rơi nên hướng giải của em ko đc chuẩn lắm

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Cho $a,b,c$ dương có tổng là 1. CM: $a+b+2c\geq 4(1-a)(1-b)(1-c)$

Giải

BĐT nói trên tương đương với:

$1 + c \geq 4(b + c)(a + c)(1 - c)$

Ta thấy: $VF \leq 4.[\dfrac{b + c + a + c}{2}]^2( 1 - c)$

$ = (a + b + c + c)^2(1 - c) = (c + 1)^2(1 - c) = (c + 1)(1 - c^2)$

Do a + b + c = 1 và a, b, c > 0 nên c < 1. Suy ra : $1 - c^2 < 1$

Do đó: $VF < c + 1 = VT$.
Dấu "=" ở BĐT không xảy ra.