Chủ đề này có 2 trả lời

[inhtoan]

Tính $\int {\frac{{x\ln (1 + 3x)dx}}{{{e^{3x}}}}} $

[hongthaidhv]

Để xét bài này chúng ta có thể đi xét một bài khác tương tự ( đặt ẩn là ra, nhưng anh nhác quá, )
$\int{\frac{{t.ln(1+t)dt}}{{e^{t}}}}$.(1)

+ Dễ dàng ta có thể chứng minh được rằng $\int{\frac{{t.dt}}{{e^{t}}}}=\frac{{-(t+1)}}{e^{t}}$.
+ Dùng pp tích phân từng phần:
Đặt $u=ln(1+t)$ và $v= \frac{{-(t+1)}}{e^{t}}$. Suy ra cái tích phân (1) chính là $\int{u.dv}$. Đến đó thì tính việc tính toán khá thuận lợi và đơn giản, anh test thử rồi.

[Crystal]

Tính $\int {\frac{{x\ln (1 + 3x)dx}}{{{e^{3x}}}}} $

Có thể giải như sau.

Ta có: $$\int {\frac{{x\ln \left( {1 + 3x} \right)}}{{{e^{3x}}}}} dx = \int {x\ln \left( {1 + 3x} \right)d\left( { - \frac{1}{3}{e^{ - 3x}}} \right)} $$
$$ = - \frac{1}{3}{e^{ - 3x}}x\ln \left( {1 + 3x} \right) + \frac{1}{3}\int {{e^{ - 3x}}d\left( {x\ln \left( {1 + 3x} \right)} \right)} $$
$$= - \frac{1}{3}{e^{ - 3x}}x\ln \left( {1 + 3x} \right) + \frac{1}{3}\int {{e^{ - 3x}}\left( {\ln \left( {1 + 3x} \right) + \frac{{3x}}{{1 + 3x}}} \right)} dx$$
$$ = - \frac{1}{3}{e^{ - 3x}}x\ln \left( {1 + 3x} \right) + \frac{1}{3}\int {\ln \left( {1 + 3x} \right)d\left( { - \frac{1}{3}{e^{ - 3x}}} \right)} + \int {{e^{ - 3x}}\frac{x}{{1 + 3x}}dx} $$
$$ = - \frac{1}{3}{e^{ - 3x}}x\ln \left( {1 + 3x} \right) + \frac{1}{3}\left[ { - \frac{1}{3}{e^{ - 3x}}\ln \left( {1 + 3x} \right) + \frac{1}{3}\int {{e^{ - 3x}}d\left( {\ln \left( {1 + 3x} \right)} \right)} } \right] + \int {{e^{ - 3x}}\frac{x}{{1 + 3x}}dx} $$
$$= - \frac{1}{3}{e^{ - 3x}}x\ln \left( {1 + 3x} \right) - \frac{1}{9}{e^{ - 3x}}\ln \left( {1 + 3x} \right) + \frac{1}{9}\int {{e^{ - 3x}}\frac{x}{{1 + 3x}}dx + \int {{e^{ - 3x}}\frac{x}{{1 + 3x}}dx} } $$
$$= - \frac{1}{9}{e^{ - 3x}}\left( {1 + 3x} \right)\ln \left( {1 + 3x} \right) + \int {{e^{ - 3x}}\left( {\frac{1}{{3\left( {1 + 3x} \right)}} + \frac{x}{{1 + 3x}}} \right)dx} $$
$$ = - \frac{1}{9}{e^{ - 3x}}\left( {1 + 3x} \right)\ln \left( {1 + 3x} \right) + \int {d\left( { - \frac{1}{9}{e^{ - 3x}}} \right)} $$
$$ = - \frac{1}{9}{e^{ - 3x}}\left( {1 + 3x} \right)\ln \left( {1 + 3x} \right) - \frac{1}{9}{e^{ - 3x}} + C = \mathbf{\boxed{ - \frac{{\left( {1 + 3x} \right)\ln \left( {1 + 3x} \right) + 1}}{{9{e^{3x}}}} + C}}$$