Chủ đề này có 11 trả lời

[cool hunter]

Cho x+y+z=1 & x² +y²+z²=1. Tính x ⁴ +y⁴+z⁴

[Tham Lang]

Mình thấy đề bài này có vấn đề. Gỉa sử, đáp số là một số cụ thể, suy ra ta có thể tìm được các nghiệm x, y, z Mặt khác, nếu thay x = 1 số bất kì( dựa vào điều kiện của nó nữa) thì ta tính được y, z cụ thể luôn. Do đó, nếu muốn làm được bài này thì cần thêm điều kiện. Mong bạn xem lại !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 10-01-2012 - 22:54

[Junz]

Vừa đi học thêm, ra bài y chang ( đề thi HSG lớp 8 quận 9 ) mà thầy Nguyễn Đức Tấn đưa, giải khá dễ
nhưng:
$x+y+z=1$
=> $(x+y+z)^{2}=1$
=> $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2xz=1$
=> $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=1$
mà $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$
=> $2(xy+yz+xz)=0$
=> $xy+yz+xz=0$
=> $(xy+yz+xz)^{2}=0$
=> $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}+2xy^2z+2xyz^2+2x^2yz=0$
=> $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}+2xyz(y+z+x)=0$
tới đây ko thể tính tiếp nếu $x+y+z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Junz: 10-01-2012 - 23:15

[Tham Lang]

Vừa đi học thêm, ra bài y chang ( đề thi HSG lớp 8 quận 9 ) mà thầy Nguyễn Đức Tấn đưa, giải khá dễ

$x+y+z=1$
=> $(x+y+z)^{2}=1$
=> $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2xz=1$
=> $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=1$
mà $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$
=> $2(xy+yz+xz)=0$
=> $xy+yz+xz=0$
=> $(xy+yz+xz)^{2}=0$
=> $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}+2xy^2z+2xyz^2+2x^2yz=0$
=> $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}+2xyz(y+z+x)=0$
mà $x+y+z=0$
=> $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}=0$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$
=> $(x^{2}+y^{2}+z^{2})=1$
=> $x^{4}+y^{4}+z^{4}+2x^{2}y^{2}+2y^{2}z^{2}+2x^{2}z^{2}=1$
=> $x^{4}+y^{4}+z^{4}+2(x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2})=1$
mà $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+x^{2}z^{2}=0$
=> $x^{4}+y^{4}+z^{4}=1$

Bạn xem lại nhé !
x + y + z đâu phải = 0 Mà lời giải còn nhiều chỗ "rất bất hợp lí" Chẳng hạn như $x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = 0$ Thì ta có ngay 2 trong 3 số (x, y, z) = 0 rồi suy ra số còn lại là 1. Bởi vậy mà theo mình, đề không hợp lí, nếu hợp lí thì ta phải sử dụng dc BĐT để làm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 10-01-2012 - 23:10

[nguyenta98]

Anh huymit_95 nói rất đúng đề đúng phải là $x+y+z=0$ khi đó làm như bạn Junz

[Junz]

Xin lỗi, tại còn lộn sang cái đề vừa làm của thầy kia, cái đề đó có $x+y+z=0$
Sau khi sửa lại thì thấy đề sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Junz: 10-01-2012 - 23:14

[BlackSelena]

$x+y+z=0$ thì có lẽ chắc rồi
nhưng để làm như bạn Junz thì đồng thời $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$ chứ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-01-2012 - 19:57

[Junz]

Đâu nhất thiết là $x^2+y^2+z^2=0$, chỉ cần $x+y+z=0$ là đủ

[cool hunter]

Bạn xem lại nhé !
x + y + z đâu phải = 0 Mà lời giải còn nhiều chỗ "rất bất hợp lí" Chẳng hạn như $x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = 0$ Thì ta có ngay 2 trong 3 số (x, y, z) = 0 rồi suy ra số còn lại là 1. Bởi vậy mà theo mình, đề không hợp lí, nếu hợp lí thì ta phải sử dụng dc BĐT để làm.

$x^{2}y^{2} + y^{2}z^{2} + z^{2}x^{2} = 0$ thì ta có ngay 2 trong 3 số (x, y, z) = 0 rồi suy ra số còn lại là 1.
Như vậy x⁴ +y⁴+z⁴=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vtduy97: 17-01-2012 - 21:28

[Mai Duc Khai]

Cho x+y+z=1 & x² +y²+z²=1. Tính x ⁴ +y⁴+z⁴

Bài này nếu có thêm ${x^3} + {y^3} + {z^3} = 1$ thì hay biết mấy.
Mình giải bài này khi $x+y+z=0$ nhá:
Ta có $x+y+z=0$ nên $x=-(y+z)$
$\Rightarrow {x^2} = {\left[ { - \left( {y + z} \right)} \right]^2} \Leftrightarrow {x^2} = {y^2} + {z^2} + 2yz \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} - {z^2} = 2yz(1)$
Bình phương 2 vế của (1) ta được:
\[ \Rightarrow {x^2} = {\left[ { - \left( {y + z} \right)} \right]^2} \Leftrightarrow {x^2} = {y^2} + {z^2} + 2yz \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} - {z^2} = 2yz\]
\[ \Rightarrow {x^4} + {y^4} + {z^4} - 2{x^2}{y^2} + 2{y^2}{z^2} - 2{x^2}{z^2} = 4{y^2}z\]
\[ \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} + {z^4} = 2{x^2}{y^2} + 2{y^2}{z^2} + 2{x^2}{z^2}\]
\[ \Leftrightarrow 2\left( {{x^4} + {y^4} + {z^4}} \right) = {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^2}\]
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1 \Leftrightarrow 2\left( {{x^4} + {y^4} + {z^4}} \right) = 1 \Rightarrow {x^4} + {y^4} + {z^4} = \frac{1}{2}\]

P/s: Sao kết quả của mình lại khác của mọi người nhỉ? Mọi xem nếu thấy mình sai chỗ nào thì pm nhá.
Các bạn thử giải bài sau:
Cho
\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1 \\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1 \\
{x^3} + {y^3} + {z^3} = 1 \\
\end{array} \right.\]
Tính
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^4} + {y^4} + {z^4} \\
x + {y^2} + {z^3} \\
\end{array} \right.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maikhaiok: 17-01-2012 - 22:08

[cool hunter]

Bài này nếu có thêm ${x^3} + {y^3} + {z^3} = 1$ thì hay biết mấy.
Mình giải bài này khi $x+y+z=0$ nhá:
Ta có $x+y+z=0$ nên $x=-(y+z)$
$\Rightarrow {x^2} = {\left[ { - \left( {y + z} \right)} \right]^2} \Leftrightarrow {x^2} = {y^2} + {z^2} + 2yz \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} - {z^2} = 2yz(1)$
Bình phương 2 vế của (1) ta được:
\[ \Rightarrow {x^2} = {\left[ { - \left( {y + z} \right)} \right]^2} \Leftrightarrow {x^2} = {y^2} + {z^2} + 2yz \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} - {z^2} = 2yz\]
\[ \Rightarrow {x^4} + {y^4} + {z^4} - 2{x^2}{y^2} + 2{y^2}{z^2} - 2{x^2}{z^2} = 4{y^2}z\]
\[ \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} + {z^4} = 2{x^2}{y^2} + 2{y^2}{z^2} + 2{x^2}{z^2}\]
\[ \Leftrightarrow 2\left( {{x^4} + {y^4} + {z^4}} \right) = {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^2}\]
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1 \Leftrightarrow 2\left( {{x^4} + {y^4} + {z^4}} \right) = 1 \Rightarrow {x^4} + {y^4} + {z^4} = \frac{1}{2}\]

P/s: Sao kết quả của mình lại khác của mọi người nhỉ? Mọi xem nếu thấy mình sai chỗ nào thì pm nhá.
Các bạn thử giải bài sau:
Cho
\[\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 1 \\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1 \\
{x^3} + {y^3} + {z^3} = 1 \\
\end{array} \right.\]
Tính
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^4} + {y^4} + {z^4} \\
x + {y^2} + {z^3} \\
\end{array} \right.\]

rất tiếc là ko có x^₃+y³+z³=1.
Còn bài bạn cho thêm thì trong sách tham khảo có nhiều.
giải = cách c/m 2 số =0, 1 số =1
Đáp số =1

[thukilop]

Tổng quát: Cho 3 số x,y,z thỏa x+y+z=0 và $x^2+y^2+z^2=a^2$ thì $ x^4+y^4+z^4= \frac{a^4}{2}$
p/s: nên nhớ cái trên,sẽ có ích,với lại bài này có nhiều sách in lắm chẳng hạn "23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp" của Nguyễn Văn Vĩnh (chủ biên)....