Bài toán: Giải phương trình: $${2^{{2^x}}} + {3^{{2^x}}} = {2^x} + {3^{x + 1}} + x + 1$$
#1
Đã gửi 11-01-2012 - 00:02
#2
Đã gửi 11-01-2012 - 05:55
Bài này bạn làm như sau: Đặt a = $2^x$ và b = x+1, ta được
$2^a$ + $3^a$ = a + $3^b$ + b và 2a = $2^b$. Thay a = 2a - a = $2^b$ -a, ta có
$2^a$ + $3^a$ +a = $2^b$ +$3^b$ +b, hàm số $2^t$ + $3^t$ +t là hàm tăng nên ta có a=b như vậy $2^x$ = x+1.
Hàm số này cũng chỉ có tối đa 2 nghiệm do đạo hàm lần 2 dương. Ta thấy x = 0 và x = 1 là 1 nghiệm (dpcm)
$2^a$ + $3^a$ = a + $3^b$ + b và 2a = $2^b$. Thay a = 2a - a = $2^b$ -a, ta có
$2^a$ + $3^a$ +a = $2^b$ +$3^b$ +b, hàm số $2^t$ + $3^t$ +t là hàm tăng nên ta có a=b như vậy $2^x$ = x+1.
Hàm số này cũng chỉ có tối đa 2 nghiệm do đạo hàm lần 2 dương. Ta thấy x = 0 và x = 1 là 1 nghiệm (dpcm)
#3
Đã gửi 11-01-2012 - 09:44
Bài toán này không cần đặt thêm ẩn phụ như bạn. Ta có thể làm như sau:
Phương trình đã cho tương đương với: $${2^{{2^x}}} + {3^{{2^x}}} + {2^x} = {2^{x + 1}} + {3^{x + 1}} + x + 1$$
Xét hàm số: $f\left( t \right) = {2^t} + {3^t} + t$. Dễ thấy hàm $f$ tăng trên $\mathbb{R}$ nên $f\left( {{2^x}} \right) = f\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {2^x} = x + 1$
Phần còn lại thì làm như bạn.
KL: Nghiệm của phương trình đã cho là $x = \left\{ {0;1} \right\}$
Phương trình đã cho tương đương với: $${2^{{2^x}}} + {3^{{2^x}}} + {2^x} = {2^{x + 1}} + {3^{x + 1}} + x + 1$$
Xét hàm số: $f\left( t \right) = {2^t} + {3^t} + t$. Dễ thấy hàm $f$ tăng trên $\mathbb{R}$ nên $f\left( {{2^x}} \right) = f\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {2^x} = x + 1$
Phần còn lại thì làm như bạn.
KL: Nghiệm của phương trình đã cho là $x = \left\{ {0;1} \right\}$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vui
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $\sum \frac{1}{a+b}\geq \frac{5}{2}$Bắt đầu bởi Phuong Thu Quoc, 16-01-2014 nam, a13, 11, vui, tết |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sqrt[n]{n}=\sqrt[m]{m}$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-01-2014 vui |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Tìm công thức tổng quát của dãy $\left ( y_{n} \right )$ xác định bởi $y_{n}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}.2^{i}$Bắt đầu bởi Phuong Thu Quoc, 22-12-2013 việt nam, vô địch, học kì, sắp và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$n(n+1)(2n+1)\vdots 42$Bắt đầu bởi namcpnh, 11-11-2013 vui |
|
|||
Cửa sổ Diễn Đàn Toán Học →
Quán xá →
Quán hài hước →
Ai bảo trên đời không có ngày 31-02?Bắt đầu bởi namcpnh, 16-03-2013 vui |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh