Chủ đề này có 10 trả lời

[leminhansp]

Kính gửi các thầy cô, các bạn sinh viên và học sinh!
Em đang là sinh viên trường sư phạm và đang thực hiện đề tài với tên đầy đủ là "RÈN LUYỆN MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CƠ BẢN CHO HỌC SINH THPT QUA BÀI TOÁN BĐT"
Em đã hoàn thành chương 1: cơ sở lí luận (các thầy cô và các bạn xem qua phần tóm tắt và nhận xét về cách trình bày đặc biệt là cách phân tích các ví dụ giúp em với ạ)
Phần chương 2 (Nội dung chính) thực hiện theo 4 phần chính (ngoài phần giới thiệu về BĐT và PP Chứng minh):
- Rèn luyện hoạt động trí tuệ của học sinh THPT qua Bài toán BĐT Đại số
- Rèn luyện hoạt động trí tuệ của học sinh THPT qua Bài toán BĐT Lượng giác
- Rèn luyện hoạt động trí tuệ của học sinh THPT qua Bài toán BĐT Hình học
- Rèn luyện hoạt động trí tuệ của học sinh THPT qua việc ứng dụng BĐT vào các bài toán khác
Trong mỗi phần này em sẽ đưa ra các ví dụ phân tích dựa trên cơ sở lí luận. Nhưng khi bắt tay vào thực hiện em phát hiện ra nó quá rộng dẫn đến em viết khá miên man, cảm giác như không có trọng tâm, và việc phân tích có vẻ trở lên nhàm chán khi đọc, việc lựa chọn ví dụ ntn cũng là vấn đề lớn! Do phần BĐT khó đối với em (thực tế là em đang vừa tìm hiểu về BĐT (trình độ rất nghiệp dư) vừa thực hiện đề tài nên rất khó khăn) nên em rất rất cần sự giúp đỡ của các thầy cô! em cảm ơn nhiều ạ!

File gửi kèm

•  tom tat chuong 1.pdf   269.7K   751 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 11-01-2012 - 14:40

[leminhansp]

Hình như cái topic này đặt ở đây không đúng lắm thì phải...
Nếu được thì ad chuyển giúp mình sang chỗ khác phù hợp hơn nhé

[leminhansp]

Hình như trong ví dụ này mình phân tích để học sinh hiểu (hiểu là tại sao làm như thế) là chưa đúng lắm phải không? Tại BĐT mình kém lắm
Khi nhận làm đề tài về phần này mình xác định là "liều thì mới biết đc" mà


Ví dụ 1.3: Xét 2 bài toán:
Bài toán 1.3.1: (BĐT Nesbitt) CMR: $\forall a,b,c\ge 0$ ta có:

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$$

Lời giải : Xét các biểu thức sau :
$$S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{d+a},$$
$$M=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b},$$
$$N=\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}.$$
Ta có : M+N=3. Mặt khác theo BĐT Côsi (AM-GM) lại có :
$$M+S=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}\ge 3\sqrt[3]{\frac{a+b}{b+c}.\frac{b+c}{c+a}.\frac{c+a}{a+b}}=3,$$
$$N+S=\frac{a+c}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}+\frac{b+c}{a+b}\ge 3\sqrt[3]{\frac{a+c}{b+c}.\frac{a+b}{c+a}.\frac{b+c}{a+b}}=3.$$
Vậy \[\text{M}+\text{N}+\text{2S}\ge 6\Rightarrow 2S\ge 3\].
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c.
Bài toán 1.3.2 : (BĐT Nesbitt 4 biến) CMR : $\forall a,b,c,d\ge 0$ ta có :
$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge 2.$$
- Bài toán trên có gì giống với bài toán đã xét không ?
+ Các biến trong BĐT đều là các số thực dương.
+ Mô hình của BĐT nói chung là không thay đổi.
- Có thể đưa ra một định hướng tương tự như bài toán 1 không?
- Có thê lập các biểu thức tương tự không? Mục đích của việc lập các biểu thức M, N để làm gì? Các biểu thức M, N có đặc điểm gì?
+ Lập biểu thức M, N để "ghép" với S (vế phải của BĐT) có thể "giản ước" trực tiếp hoặc thông qua BĐT Côsi.
+ M, N phải có dạng : $\frac{?}{b+c}+\frac{?}{c+d}+\frac{?}{d+a}+\frac{?}{a+b}$ Để các tổng M+N, M+S, N+S có các hạng tử cùng mẫu để kết hợp
+ Tổng M+N có thể rút gọn thành hằng số, chẳng hạn là:
$$M+N=\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+d}{c+d}+\frac{d+a}{d+a}+\frac{a+b}{a+b}=4$$
$$M=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b},$$
$$N=\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b}.$$
- Có thể đánh giá M+S và N+S không?
$$M+S=\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}\ge 4\sqrt[4]{\frac{a+b}{b+c}.\frac{b+c}{c+d}.\frac{c+d}{d+a}.\frac{d+a}{a+b}}=4,$$
$$N+S=\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{a+c}{d+a}+\frac{b+d}{a+b}.$$
Với tổng N+S có thể đánh giá như trên được không? (Không, bởi khi dùng BĐT Côsi không triệt tiêu hết được biến)
- Vậy có cách nào khác để đánh giá nó không?
+ Hãy quan sát đặc điểm của biểu thức này. Để ý đến tử số của các hạng tử, có 2 cặp hạng tử có tử số giống nhau, ghép chúng lại xem có đặc điểm gì không?
$$N+S=\left( \frac{a+c}{b+c}+\frac{a+c}{d+a} \right)+\left( \frac{b+d}{c+d}+\frac{b+d}{a+b} \right)=\left( a+c \right)\left( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a} \right)+\left( b+d \right)\left( \frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b} \right)$$
+ Tiếp tục quan sát, nếu ta "ghép" được mẫu số (cộng tổng lại) trong $\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}$ và $\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}$ thì ta sẽ giản ước được N+S vì chúng sẽ có mẫu số chung là a+b+c+d
+ Bất đẳng thức nào liên hệ giữa $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ và $\frac{1}{x+y}$? ($\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y},\forall x,y>0$)
+ Áp dụng vào bài toán được không?
$$N+S\ge \frac{4(a+c)}{a+b+c+d}+\frac{4(b+d)}{a+b+c+d}=4$$
$\Rightarrow M+N+2S\ge 8\Rightarrow S\ge 2.$(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhansp: 13-01-2012 - 03:39

[leminhansp]

Có khi sau khi giảng xong học sinh càng cảm thấy khó hiểu hơn mất

[leminhansp]

Sao không có ai ý kiến gì vậy ạ!
Mọi người nghỉ tết hết rồi ak? ...

[hxthanh]

Tài liệu bạn viết rất hay, có tính sư phạm cao. Mình đang đọc chưa hết nên chưa dám bình luận nhiều. Bạn cố gắng đưa vào những bài tập áp dụng nữa thì ok.
đã ai được nghỉ tết đâu!

[leminhansp]

Tài liệu bạn viết rất hay, có tính sư phạm cao. Mình đang đọc chưa hết nên chưa dám bình luận nhiều. Bạn cố gắng đưa vào những bài tập áp dụng nữa thì ok.
đã ai được nghỉ tết đâu!

Đây mới là ví dụ ở phần cơ sở lí luận, phần chương 2 mới là phần phân tích áp dụng lí luận đưa ra ví dụ và bài tập ạ
Đây là đề tài em đang thực hiện nên em muốn các thầy cô và các bạn có nhiều kinh nghiệm giảng dạy cũng như kinh nghiệm về phần BĐT góp ý xây dựng phần Chương 2 như thế nào là hợp lí ạ (xoay quanh các vấn đề về hoạt động trí tuệ cơ bản của học sinh như khả năng phân tích tổng hợp, khái quát hóa, tương tự hóa, so sánh....) Em cảm ơn ạ!

[caovannct]

có thể dạy cho học sinh giải bdt trên thông quadùng bdt C-S dạng engle. cách này dễ hiểu hơn nhiều

[leminhansp]

Em xin đưa ra một ví dụ, ví dụ này khai thác một bài toán trong SGK vẫn với mục tiêu rèn luyện cho học sinh các hoạt động trí tuệ (cơ sở lí luận em đã trình bày ở chương 1)
Trong một số cách khai thác em có đưa ra hệ thống các câu hỏi gợi ý cho học sinh khi giảng dạy, hệ thống câu hỏi này, có thể còn quá rườm rà hoặc quá lí thuyết do kinh nghiệm giảng dạy của em còn ít (em đang là sinh viên), trình độ về BĐT cũng còn nghiệp dư nên rất mong các thầy cô và các bạn kiên nhẫn đọc bài viết và góp ý với mong muốn nó có thể ứng dụng trong giảng dạy thực tế (chủ yếu nhắm đến đối tượng mới làm quen với BĐT)
Kí hiệu: $\left[ ? \right]$ câu hỏi; $\to $ Dự kiến câu trả lời của học sinh
Bài toán được khai thác theo 4 hoạt động:
HĐ1: Giải bài toán theo nhiều cách
HĐ2: Mở rộng bài toán
HĐ3: Đặc biệt háo bài toán
HĐ4: Áp dụng vào các bài toán khác
P/s: Các bài toán được sưu tầm từ các tài liệu

Bài toán 1 CMR nếu $a>0$ và $b>0$ thì:
$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$$
Hoạt động 1: Chứng minh bài toán bằng nhiều cách
Một cách để khai thác bài toán là định hướng cho học sinh chứng minh bằng nhiều cách giúp các em rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp, kĩ năng nhìn bài toán theo nhiều khía cạnh từ đó có nhiều lựa chọn cho việc giải một bài toán, không bị dập khuôn trong cách giải quyết vấn đề, không áp dụng máy móc những kiến thức đã có.
LG:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa:
Xét hiệu:
$H=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}=\frac{b\left( a+b \right)+a\left( a+b \right)-4ab}{ab\left( a+b \right)}=\frac{{{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}}{ab\left( a+b \right)}=\frac{{{\left( a-b \right)}^{2}}}{ab\left( a+b \right)}\ge 0$
$\Rightarrow H\ge 0$ $\Rightarrow $ Đpcm.
Cách 2: Áp dụng BĐT AM-GM:
$\left( a+b \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\ge 2\sqrt{ab}.2\sqrt{\frac{1}{ab}}=4$ $\Rightarrow $ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$ (đpcm)
Cách 3: Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz cho 2 bộ số $\left( a,b \right)$ và $\left( \frac{1}{a},\frac{1}{b} \right)$
$\left( a+b \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\ge {{\left( \sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}.\frac{1}{\sqrt{b}} \right)}^{2}}=4$ $\Rightarrow $ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$ (đpcm)

Hoạt động 2: Mở rộng bài toán
$\left[ ? \right]$ Bài toán trên có thể được mở rộng không? Mở rộng số biến lên 3 biến chẳng hạn? Nếu với 3 biến thì bài toán phát biểu như thế nào?
$\to $ Cho 3 số dương a, b, c. CMR: $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge \frac{x}{a+b+c}$.
Số x là một số nào đấy, em chưa biết!
$\left[ ? \right]$ Tạm thời ta chưa quan tâm đến số x này vội, nếu phải chứng minh BĐT trên với x đã biết thì ta có thể áp dụng cách chứng minh bài toán 1 cho bài toán này được không? Em hãy thử với cách 2 sử dụng BĐT AM-GM?
$\to $ Ta vẫn viết lại BĐT đưa vế trái về dạng $\left( a+b+c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)$ và đánh giá nó.
$\left( a+b+c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9$
$\left[ ? \right]$ Rất đúng, vậy để BĐT trên đúng thì x phải bằng bao nhiêu?
$\to $ $\left( a+b+c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge 9\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}$
Vậy x = 9
$\left[ ? \right]$ Chính xác, các em đã xây dựng được bài toán tổng quát hơn với 3 biến:
Bài toán 2 Cho 3 số dương a, b, c. CMR: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge \frac{9}{a+b+c}$
$\left[ ? \right]$ Có thể chứng minh bài toán này bằng các cách khác không? Cách làm nào là phù hợp hơn?
$\to $ Có thể áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz tương tự với bài toán 1, cách sử dụng định nghĩa không phù hợp với bài toán tổng quát do có nhiều biến, biến đổi phức tạp.
$\left[ ? \right]$ Bằng cách tương tự có thể tổng quát hơn bài toán không? Với 4 biến, 5 biến,… Với n biến?
Bài toán 3 Cho n số dương a₁, a₂, …, a_n. CMR:
$$\frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+...+\frac{1}{{{a}_{n}}}\ge \frac{{{n}^{2}}}{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}$$
$\left[ ? \right]$ Hãy đưa ra lời giải đối với bài toán 3?
$\left[ ? \right]$ Có thể mở rộng bài toán ban đầu theo hướng khác không? Trong BĐT có số 1 là số cụ thể, liệu có thể tổng quát nó thành biến không? Hãy thử chứng minh bài toán sau?
Bài toán 4 Cho a, b là 2 số thực bất kì và x, là 2 số dương. CMR:
$$\frac{{{a}^{2}}}{x}+\frac{{{b}^{2}}}{y}\ge \frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{x+y}$$
$\left[ ? \right]$ Khi nào bài toán trên trở thành bài toán ban đầu?
$\to $ Khi a = b = 1
$\left[ ? \right]$ Vậy có thể vận dụng phương pháp trong bài toán đó để chứng minh bài toán này không? Hãy thử với cách 1, sử dụng định nghĩa xem sao?
$\to $ Xét hiệu:
$H=\frac{{{a}^{2}}}{x}+\frac{{{b}^{2}}}{y}-\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{x+y}=\frac{{{a}^{2}}y\left( x+y \right)+{{b}^{2}}x\left( x+y \right)-xy{{\left( a+b \right)}^{2}}}{xy\left( x+y \right)}$
$\quad =\frac{{{a}^{2}}xy+{{a}^{2}}{{y}^{2}}+{{b}^{2}}{{x}^{2}}+{{b}^{2}}xy-xy{{a}^{2}}-xy{{b}^{2}}-2xyab}{xy\left( x+y \right)}$$\quad =\frac{{{a}^{2}}{{y}^{2}}-2xyab+{{b}^{2}}{{x}^{2}}}{xy\left( x+y \right)}=\frac{{{\left( ay-bx \right)}^{2}}}{xy\left( x+y \right)}\ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \quad H\ge 0$
Do đó ta có đpcm.

Bằng cách định hướng tương tự giáo viên có thể định hướng cho học sinh tiếp tục tổng quát hóa bài toán, từ đó rèn luyện được khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, đặc biệt là khái quát hóa và đặc biệt hóa và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
Bài toán 5 Cho a₁, a₂, …, a_n là n số thực bất kì và x₁, x₂, …, x_n là n số thực dương. CMR:
$$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}}}+\frac{{{a}_{2}}^{2}}{{{x}_{2}}}+...+\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{{x}_{n}}}\ge \frac{{{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}} \right)}^{2}}}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}}}$$ (BĐT Schwartz)

[leminhansp]

Hoạt động 3: Đặc biệt hóa bài toán
Mục đích của phần này là muốn bước đầu dẫn dắt cho các em học sinh vào các BĐT phức tạp hơn một cách tự nhiên (hơn là việc cho một bài tập khó và chứng minh, sẽ khiến cho các em có cảm giác nặng nề, và kém hứng thú)
- Đặc biệt hóa bài toán 1 bằng cách xét tam giác ABC là tam giác nhọn và chọn
$$a=\cos A\text{,}\,\,b=\cos B$$
Ta được:
$\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos B}\ge \frac{4}{\cos A+\cos B}=\frac{2}{c\text{os}\frac{A+B}{2}.c\text{os}\frac{A-B}{2}}=\frac{2}{\sin \frac{C}{2}.c\text{os}\frac{A-B}{2}}\ge \frac{2}{\sin \frac{C}{2}}$
$\Rightarrow \frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos B}\ge \frac{2}{\sin \frac{C}{2}}$
Thực hiện tương tự ta có
$\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos C}\ge \frac{2}{\sin \frac{B}{2}},\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{\cos B}+\frac{1}{\cos C}\ge \frac{2}{\sin \frac{A}{2}}$
Từ đó ta có bài toán:
Bài toán 6 Cho $\Delta ABC$ nhọn. CMR
$$\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos B}+\frac{1}{\cos C}\ge \frac{1}{\sin \frac{A}{2}}+\frac{1}{\sin \frac{B}{2}}+\frac{1}{\sin \frac{C}{2}}$$
- Đặc biệt hóa bài toán 2 bằng cách chọn
$$a=x+y,\,\,\,\,b=y+z,\,\,\,\,c=z+x$$
Ta được:
$$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge \frac{9}{2\left( x+y+z \right)}$$
$$\Leftrightarrow \left( x+y+z \right)\left( \frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x} \right)\ge \frac{9}{2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{x+y}+\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}\ge \frac{9}{2}$$
$$\Leftrightarrow 1+\frac{z}{x+y}+1+\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}\ge \frac{9}{2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}\ge \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)$$
$\left( * \right)$ chính là BĐT Nesbitt 3 biến là một BĐT đẹp và có nhiều ứng dụng.
Từ đó ta có bài toán:
Bài toán 7 Cho x, y, z là các số thực dương. CMR
$$\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}\ge \frac{3}{2}$$

[leminhansp]

Hoạt động 4: Vận dụng vào bài toán khác.
Bài toán 8 (ĐH - CĐ Khối A - 2005)
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. CMR:
$$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le 1$$
Phân tích:
$\left[ ? \right]$ Đây là BĐT dạng đối xứng, hãy dự đoán khi nào dấu bằng xảy ra?
$\to $$x=y=x=\frac{3}{4}$. Thử lại vào BĐT:
$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}=\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4x}=\frac{3}{4x}=\frac{3}{4.\frac{3}{4}}=1$ (thỏa mãn)
Vậy ta sẽ đánh giá để đẳng thức xảy ra khi $x=y=x=\frac{3}{4}$
$\left[ ? \right]$ Điều kiện bài toán cho ta tổng nghịch đảo của 3 số dương, hãy tìm cách áp dụng điều kiện này? Quan sát vế trái của BĐT cần chứng minh, các hạng tử có dạng là nghịch đảo của một tổng, có BĐT nào đánh giá "giảm" đi mà tách được nghịch đảo của một tổng thành tổng các nghịch đảo của các số dương không?
$\to $ (1): $\frac{4}{a+b}\le \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$, Đẳng thức xảy ra khi a = b;
(2): $\frac{9}{a+b+c}\le \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ Đẳng thức xảy ra khi a = b = c (2).
$\left[ ? \right]$ Hãy thử áp dụng BĐT ấy vào bài toán này? Nếu áp dụng (2) thì bộ số (a,b,c) là là bộ số nào trong bài toán? Chẳng hạn đánh giá $\frac{1}{2x+y+z}$?
$\to $ Áp dụng (2) với bộ số (2x; y; z)
Tương tự: Đánh giá $\frac{1}{x+2y+z}$ theo (2) với bộ số (x; 2y; z)
Đánh giá $\frac{1}{x+y+2z}$ theo (2) với bộ số (x; y; 2z)
$\left[ ? \right]$ Nếu áp dụng với các bộ số ấy hãy kiểm tra trường hợp xảy ra dấu đẳng thức?
$\to $ Đẳng thức xảy ra khi: $\left\{ \begin{align}
& 2x=y=z \\
& x=2y=z \\
& x=y=2z \\
\end{align} \right.\Leftrightarrow x=y=z=0$
$\left[ ? \right]$ Bộ số (x; y; z) = (0; 0; 0) không thỏa mãn giả thiết của bài toán. Vậy áp dụng (2) không hợp lý đối với bài toán này. Hãy thử áp dụng (1), giả sử đánh giá $\frac{1}{2x+y+z}$ thì cặp số (a; b) trong BĐT (1) là cặp số nào?
$\to $ (2x; y+z) hoặc (2x+y, z) hoặc (2x+z; y)
$\left[ ? \right]$ Tương tự như khi thử áp dụng BĐT (2) hãy kiểm tra tính khả thi của các cặp số trên?
$\to $Với bộ số (2x + y; z) (hoặc (2x + z; y)) thì đẳng thức xảy ra khi 2x + y = z (hoặc 2x + z = y)
Tương tự: đánh giá $\frac{1}{x+2y+z}$ với bộ số (2y + x; z) (hoặc (2y + z; x)) thì đẳng thức xảy ra khi 2y + x = z (hoặc 2y + z = x)
Đánh giá $\frac{1}{x+y+2z}$ với bộ số (2z + x; y) (hoặc (2z + y; x)) đẳng thức xảy ra khi
2z + x = y (hoặc 2z + y = x)
Vậy đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 0 (không t/m)
Với bộ số (2x; y + z) thì đẳng thức xảy ra khi 2x = y+ z
Tương tự đánh giá $\frac{1}{x+2y+z}$ với bộ số (2y; x + z) đẳng thức xảy ra khi 2y = x + z
Đánh giá $\frac{1}{x+y+2z}$ với bộ số (2z; x + y) đẳng thức xảy ra khi 2z = x + y
Khi đó kết hợp với giả thiết $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$ thì ta có đẳng thức xảy ra khi $x=y=x=\frac{3}{4}$ (t/m).
Vậy ta áp dụng 1 với các bộ số (2x; y + z)
$$\frac{1}{2x+y+z}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z} \right)$$
$\left[ ? \right]$ Sau khi đánh giá đã sử dụng được giả thiết $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$ của bài toán chưa?
$\to $ Chưa, vẫn còn $\frac{1}{y+z}$
$\left[ ? \right]$ Mục tiêu là ta cần tách thành tổng các nghịch đảo của x, y, z để sử dụng giả thiết, vậy có thể tách $\frac{1}{y+z}$ một lần nữa không?
$\to $ $\frac{1}{2x+y+z}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z} \right)\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{4}\left( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right) \right)$,
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z.
$\left[ ? \right]$ Áp dụng tương tự với $\frac{1}{x+2y+z}$ và $\frac{1}{x+y+2z}$ ta sẽ giải quyết được bài toán này!
LG
Dễ dàng chứng minh được $\frac{4}{a+b}\le \frac{1}{a}+\frac{1}{b},\quad \forall a,b>0$. Đẳng thức xảy ra khi a = b.
Áp dụng ta được:
$\frac{1}{2x+y+z}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z} \right)\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{4}\left( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right) \right)$ đẳng thức xảy ra khi x = y = z
$\frac{1}{x+2y+z}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{2y}+\frac{1}{x+z} \right)\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{2y}+\frac{1}{4}\left( \frac{1}{z}+\frac{1}{x} \right) \right)$ đẳng thức xảy ra khi x = y = z
$\frac{1}{x+y+2z}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{2z}+\frac{1}{y+x} \right)\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{2z}+\frac{1}{4}\left( \frac{1}{y}+\frac{1}{x} \right) \right)$ đẳng thức xảy ra khi x = y = z
Cống vế ta được:
$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{2}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)+\frac{2}{4}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right) \right)\le 1$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=x=\frac{3}{4}$ (đpcm)
Bài toán 9 Cho tam giác ABC có diện tích bằng $\frac{3}{2}$. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và h_a, h_b, h_c tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác. CMR:
$$\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\left( \frac{1}{{{h}_{a}}}+\frac{1}{{{h}_{b}}}+\frac{1}{{{h}_{c}}} \right)\ge 3$$
Phân tích:
$\left[ ? \right]$ Có mối liên hệ nào giữa diện tích, cạnh và chiều cao tương ứng?
$\to $ $S=\frac{1}{2}a{{h}_{a}}$
$\left[ ? \right]$ Vậy có thể biểu diễn h_a theo a được không, tương tự với h_b, h_c?
$\to $ ${{h}_{a}}=\frac{2S}{a}$; ${{h}_{b}}=\frac{2S}{b}$; ${{h}_{c}}=\frac{2S}{c}$
$\left[ ? \right]$ Từ đó hãy viết lại vế trái của BĐT bằng cách biểu diễn h_a, h_b, h_c theo a, b, c?
$\to $ $\frac{1}{{{h}_{a}}}+\frac{1}{{{h}_{b}}}+\frac{1}{{{h}_{c}}}=\frac{1}{2S}\left( a+b+c \right)$
$\Rightarrow \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\left( \frac{1}{{{h}_{a}}}+\frac{1}{{{h}_{b}}}+\frac{1}{{{h}_{c}}} \right)=\frac{1}{2S}\left( a+b+c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)$
$\left[ ? \right]$ Từ đó có thể đưa BĐT cần chứng minh về một BĐT quen thuộc nào không? Hãy đưa ra lời giải cho bài toán.
LG:
Ta có diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}a{{h}_{a}}=\frac{1}{2}b{{h}_{b}}=\frac{1}{2}c{{h}_{c}}$
$\Rightarrow {{h}_{a}}=\frac{2S}{a}$; ${{h}_{b}}=\frac{2S}{b}$; ${{h}_{c}}=\frac{2S}{c}$
$\begin{align}
& \Rightarrow \frac{1}{{{h}_{a}}}+\frac{1}{{{h}_{b}}}+\frac{1}{{{h}_{c}}}=\frac{1}{2S}\left( a+b+c \right) \\
& \Rightarrow \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\left( \frac{1}{{{h}_{a}}}+\frac{1}{{{h}_{b}}}+\frac{1}{{{h}_{c}}} \right)=\frac{1}{2S}\left( a+b+c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \\
\end{align}$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $\left( a+b+c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge 9$
Theo giả thiết ta có S = 3/2, do vậy ta có: $\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\left( \frac{1}{{{h}_{a}}}+\frac{1}{{{h}_{b}}}+\frac{1}{{{h}_{c}}} \right)\ge \frac{9}{3}=3$
Nhận xét: Việc dạy học bài toán BĐT thức định hướng áp dụng các BĐT đơn giản thông dụng (xuất phát từ một bài toán trong SGK) trong nhiều bài toán khó (đề tuyển sinh ĐH), ở các lĩnh vực khác nhau (Đại số, hình học,..) sẽ giúp các em thực hiện được đồng bộ các hoạt động phân tích tổng hợp, so sánh, tương tự. Hơn nữa còn giúp các em sẽ dần xóa bỏ được cảm giác "sợ" mỗi khi tiếp xúc với bài toán BĐT thường được đánh giá là bài toán khó.
Bài toán 10 Cho a, b, c, p, q > 0. CMR:
$$\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\ge \frac{3}{p+q}$$
Bài toán 11 Cho a, b, c > 0; abc = 1. CMR:
$$\frac{1}{{{a}^{3}}\left( b+c \right)}+\frac{1}{{{b}^{3}}\left( a+c \right)}+\frac{1}{{{c}^{3}}\left( a+b \right)}\ge \frac{3}{2}$$
Bài toán 12 (Đề thi chọn HSG lớp 10 tỉnh Thái Nguyên - 2012)
Cho x, y, z là các số thực dương. CMR:
$$\frac{\left( x+1 \right){{\left( y+1 \right)}^{2}}}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}{{z}^{2}}}+1}+\frac{\left( y+1 \right){{\left( z+1 \right)}^{2}}}{3\sqrt[3]{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}+1}+\frac{\left( z+1 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}}{3\sqrt[3]{{{y}^{2}}{{z}^{2}}}+1}\ge x+y+z+3$$
Bài toán 13 Cho $\Delta ABC$. Vẽ ba phân giác \[\text{AA}',\,\,BB',\,\,CC'\]. Gọi ${{k}_{a}},\,\,{{k}_{b}},\,\,{{k}_{c}}$ tương ứng là khoảng cách từ $A',\,\,B',\,\,C'$ đến $AB,\,\,BC,\,\,CA.$ Gọi ${{h}_{a}},\,\,{{h}_{b}},\,\,{{h}_{c}}$ tương ứng là ba chiều cao hạ từ $A,\,\,B,\,\,C$. CMR
$$\frac{{{k}_{a}}}{{{h}_{a}}}+\frac{{{k}_{b}}}{{{h}_{b}}}+\frac{{{k}_{c}}}{{{h}_{c}}}\ge \frac{3}{2}$$
Bài toán 14 Cho $x,\,\,y,\,\,z>0$ và $x+y+z=1$. CMR
$$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\le \frac{3}{4}.$$
Bài toán 15 CMR trong mọi $\Delta ABC$, ta luôn có:
$$\frac{\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}}{c\text{os}\frac{A-B}{2}}+\frac{\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}}{c\text{os}\frac{B-C}{2}}+\frac{\sin \frac{C}{2}.\sin \frac{A}{2}}{c\text{os}\frac{C-A}{2}}\le \frac{3}{4}$$
Bài toán 16 Cho ${{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}>0$ thỏa mãn: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}}=1.$ CMR
$$\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}+1}+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{2}}+1}+...+\frac{{{x}_{n}}}{{{x}_{n}}+1}\le \frac{n}{n+1}$$