Ký hiệu mỗi người là một đỉnh và hai người quen nhau thì được nối với nhau bởi 1 cạnh. Trong các đa giác tạo thành từ các cạnh này nếu như tất cả đều có số đỉnh chẵn thì ta chia mỗi đa giác đó thành 2 tập là 2 tập đỉnh xen kẽ của đa giác đó, với mỗi đường gấp khúc không kín ta cũng chia tập đỉnh của nó thành 2 tập xen kẽ (vd với tứ giác thì cho đỉnh 1,3 cùng tập, 2 vs 4 cùng tập). Khi đấy ta thấy rằng ở 2 tập trong mỗi tập ko có cặp nào quen nhau. Dẫn đến vô lí.
Tồn tại một đa giác có số đỉnh là lẻ, không có 3 ng` đôi một quen nhau nên ko có tam giác
Với ngũ giác thì mỗi đỉnh thuộc $n-5$ đỉnh còn lại không thuộc đa giác chỉ được nối với nhiều nhất 2 đỉnh. Do đó trong ngũ giác đó phải có một đỉnh có bậc bé hơn $\frac{2(n-5)}{5}<\frac{2n}{5}$
Nếu tồn tại một đa giác có $k>5$ cạnh, gồm các đỉnh là $p_1,p_2,...,p_k$ ($p_1$ được coi là $p_{k+1}$) thì mỗi điểm bên ngoài không được nối với $2$ điểm $p_i,p_j$ mà $|i-j|>2$ vì nếu như vậy sẽ tạo thành 1 đa giác ít cạnh hơn $k$. Như thế thì mỗi đỉnh thuộc $n-k$ đỉnh còn lại cũng chỉ được nối với nhiều nhất 2 đỉnh thuộc đa giác. Do đó tồn tại một đỉnh thuộc đa giác có bậc bé hơn $\frac{2(n-k)}{k}<\frac{2}{5}$