Chủ đề này có 1 trả lời

[jackboy225]

tìm các số thực x sao cho
$x+ \sqrt{2009}$ và $\frac{16}{x} - \sqrt{2009}$ đều là số nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jackboy225: 15-01-2012 - 23:52

[Tham Lang]

Mình xin giải quyết bài này
giả sử tồn tại $a, b,\in Z$ sao cho
$$x + \sqrt{2009} = a (1) ; \dfrac{16}{x} - \sqrt{2009} = b (2)$$
lúc đó $(1) \Leftrightarrow x = a - \sqrt{2009} $ tiếp tục thay vào (2), ta có
$$\dfrac{16}{a - \sqrt{2009}} - \sqrt{2009} = b \Leftrightarrow b = \dfrac{2025 - a\sqrt{2009}}{a - \sqrt{2009}}$$
$$\Leftrightarrow ab - b\sqrt{2009} = 2025 - a\sqrt{2009} \Leftrightarrow a(b + \sqrt{2009}) = 2025 + b\sqrt{2009} $$
$$\Leftrightarrow a = \dfrac{2025 + b\sqrt{2009}}{b + \sqrt{2009}} = \dfrac{2025 - b^2}{b + \sqrt{2009}} + b$$
Suy ra $$c = \dfrac{2025 - b^2}{b + \sqrt{2009}} \Leftrightarrow cb^2 + cb + c\sqrt{2009} - 2025 = 0 (1)$$
Với $c \in Z$
Ta có $(1)$ là một phương trình bậc 2 ẩn $b$ nên để $b \in Z$ thì lúc đó $\bigtriangleup$ chính phương và nó phải nguyên.
Nhưng $\bigtriangleup = c^2 - 4c(c\sqrt{2009} - 2025) \notin Z$
Suy ra phương trình $(1)$ không có nghiệm nguyên.
Vậy, không có số thực $x$ thoả mãn $x + \sqrt{2009} $và $\dfrac{16}{x} - \sqrt{2009}$ đều là số nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 15-02-2012 - 00:53