Chủ đề này có 8 trả lời

[daotrongchinha11k26hl]

Giải dùm em bài này
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant 3+\frac{(c-a)^{2}}{ab+bc+ca}$ với mọi a,b,c thanks nhiều!!!!!!!!!!!!!!

[hoangdang]

Giải dùm em bài này
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant 3+\frac{(c-a)^{2}}{ab+bc+ca}$ với mọi a,b,c thanks nhiều!!!!!!!!!!!!!!

Giải dùm em bài này
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant 3+\frac{(c-a)^{2}}{ab+bc+ca}$ với mọi a,b,c thanks nhiều!!!!!!!!!!!!!!

Điều kiện của a,b,c chắc là các số thực dương.
Nếu thế thì nhân 2 vế với (ab+bc+ca), nhân tung ra, ta được bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$b^2+\frac{ab^2}{c}+\frac{a^2c}{b}+\frac{bc^2}{a}+b^2\geqslant 2ab+2bc$
theo BĐT AM-GM thì:
$b^2+ \frac{ab^2}{c} +\frac{a^2c}{b}+b^2\geqslant 3ab$
$\frac{bc^2}{a}+ab\geqslant 2bc$
Cộng vế theo vế, ta có Đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangdang: 19-01-2012 - 23:10

[perfectstrong]

Điều kiện bài toán là $a,b,c>0$.
Lời giải 2:
TH1: $c>3a$. Viết lại BĐT:
\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{{c - 3a}}{a} \ge \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{{ab + bc + ca}}\]
Theo BĐT Cauchy-Schwart, ta có:
\[\frac{a}{b} + \frac{{c - 3a}}{a} = \frac{{4{a^2}}}{{4ab}} + \frac{{{{\left( {c - 3a} \right)}^2}}}{{ac - 3{a^2}}} > \frac{{4{a^2}}}{{ab + bc}} + \frac{{{{\left( {c - 3a} \right)}^2}}}{{ac - 3{a^2}}} \ge \frac{{{{\left( {2a + c - 3a} \right)}^2}}}{{ab + bc + ac}} = \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{{ab + bc + ca}}\]
TH2: $c \leq 3a$. Do $ab+bc+ca>b(a+c)$ nên ta cần chứng minh
\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3 + \frac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{{b\left( {a + c} \right)}} \Leftrightarrow a + \frac{{{b^2}}}{c} \ge \left( {3 - \frac{c}{a}} \right)b + \frac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{{a + c}}\]
Theo BĐT AM-GM, ta có:
\[\left( {3 - \frac{c}{a}} \right)b \le \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{c{{\left( {3 - \frac{c}{a}} \right)}^2}}}{4} = \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{c{{\left( {3a - c} \right)}^2}}}{{4{a^2}}}\]
Ta cần chỉ ra
\[a - \frac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{{a + c}} \ge \frac{{c{{\left( {3a - c} \right)}^2}}}{{4{a^2}}} \Leftrightarrow \frac{{c\left( {3a - c} \right)}}{{a + c}} \ge \frac{{c{{\left( {3a - c} \right)}^2}}}{{4{a^2}}}\]
BĐT này đúng theo AM-GM vì $4a^2 \geq (3a-c)(a+c)$
========================================
Một BĐT tương tự nhưng yếu hơn:
(Belarus 1998) Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:
\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3 + \frac{{{{\left( {c - a} \right)}^2}}}{{{b^2} + ab + bc + ca}}\]

[alex_hoang]

Giải dùm em bài này
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant 3+\frac{(c-a)^{2}}{ab+bc+ca}$ với mọi a,b,c thanks nhiều!!!!!!!!!!!!!!

Mình nghĩ bài này chỉ cần sử dụng phân tích sau là ổn
$$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} - 3 = \frac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{{ac}} + \frac{{(a - b)(c - b)}}{{bc}}$$
Nếu giả sử $b=min{a,b,c}$

[jb7185]

Mình nghĩ bài này chỉ cần sử dụng phân tích sau là ổn
$$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} - 3 = \frac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{{ac}} + \frac{{(a - b)(c - b)}}{{bc}}$$
Nếu giả sử $b=min{a,b,c}$

Ở đây $a, b, c$ không bình đẳng thì làm sao lại giả sử $b=min(a,b,c)$ được.

[alex_hoang]

Ở đây $a, b, c$ không bình đẳng thì làm sao lại giả sử $b=min(a,b,c)$ được.

Liệu có cần $a,b,c$ bình đẳng hay chỉ cần biểu thức ấy hoán vị là được.Theo mình thì có thể giả sử

[daotrongchinha11k26hl]

Nhân tiện làm giúp mình mấy bài này với
CMR $\sqrt{\frac{a+b}{c+ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{a+bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{b+ac}}\geq 3$ với a,b,c dương thỏa a+b+c=3
CMR với mọi a,b,c>2 và 1/a+1/b+1/c=1 (a-2)(b-2(c-2)$\leq$1

[Nguyễn Hưng]

Liệu có cần $a,b,c$ bình đẳng hay chỉ cần biểu thức ấy hoán vị là được.Theo mình thì có thể giả sử

Chắc chắn là không thể giả sử $b= \min {a,b,c}$ (vì bất đẳng thức này thậm chí không có tính hoán vị). Nếu muốn sắp xếp thứ tự các biến thì ta có thể chỉ cần xét riêng trường hợp $b= mid\left\{ {a,b,c} \right\}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyễn Hưng: 28-01-2012 - 14:55

[jb7185]

Liệu có cần $a,b,c$ bình đẳng hay chỉ cần biểu thức ấy hoán vị là được.Theo mình thì có thể giả sử

Để giả sử được thì nhất thiết $a, b, c$phải bình đẳng.