Đến nội dung

Hình ảnh

Ứng dụng số mũ lớn nhất của thừa số nguyên tố trong các bài toán số học


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Ban Biên Tập

Ban Biên Tập

    Ban Biên Tập

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

ỨNG DỤNG SỐ MŨ LỚN NHẤT CỦA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

TRONG CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC


Lê Trần Nhạc Long - THPT Chuyên Lê Quý Đôn- Đà Nẵng

----------------------------------------


17/1/2012 Tặng diễn đàn VMF nhân dịp sinh nhật 8 năm của diễn đàn


Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ ,số tự nhiên $n$ và hai số nguyên dương phân biệt $a$ và $b$ . Gọi $\alpha$ và $\beta$ lần lượt là số mũ lớn nhất của $p$ trong $a-b$ và $n$. Thì số mũ lớn nhất của $p$ trong $a^n-b^n$ là $p^{\alpha+\beta}$

Kí hiệu số mũ lớn nhất của $p$ trong $m$ là $v_{p}(m)$ hoặc $p^{\alpha}||m$ (với $\alpha$ là số mũ lớn nhất của $p$ trong $m$)
(Trong bài viết này ta sẽ sử dụng kí hiệu $p^{\alpha}||m$)

Chứng minh:
Bài toán đưa về chứng minh rằng nếu $a \equiv b \pmod{p}$ và $p^{\beta}||n$ thì $p^{\beta}||\dfrac{a^n-b^n}{a-b}$.
Giả sử $n=p^{\beta}k$. Ta sẽ chứng minh bài toán quy nạp theo $\beta$
Với trường hợp $\beta=0$ tức là $n\;\not \vdots\;p$.
Khi đó ta có: $a^k \equiv b^k \pmod{p}$

$a^kb^{n-k-1}\equiv b^{n-1} \pmod{p} \Rightarrow \sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-k-1}\equiv \sum_{k=0}^{n-1}b^{n-1} \pmod{p} \equiv nb^{n-1}\not \equiv 0 \pmod{p}$

Vì $\frac{a^n-b^n}{a-b}=\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k-1}b^k$.
Do đó $\frac{a^n-b^n}{a-b}\;\not\vdots \;p$

Bây giờ giả sử bài toán đúng đến $\beta$ ta sẽ chứng minh đúng đến $\beta+1$ tức là ta chỉ cần chứng minh $p||\dfrac{a^{np}-b^{np}}{a^n-b^n}$. Thật vậy:

Vì $p|a-b$ nên $a=b+xp$ suy ra $a^k\equiv b^k+kb^{k-1}xp \pmod{p^2}$
Ta được
$\frac{a^{np}-b^{np}}{a^n-b^n}=\sum_{k=0}^{p-1}a^{n(p-k-1)}b^{nk} \equiv\sum_{k=0}^{p-1}(b^{n(p-k-1)}+n(p-k-1)xpb^{n(p-k-1)-1})b^{nk} \pmod {p^2}$

$\equiv pb^{n(p-1)}+\sum_{k=0}^{p-1} n(p-k-1)xpb^{n(p-1)-1} \equiv pb^{n(p-1)}\equiv p \pmod{p^2}$

Vậy ta được $p||\dfrac{a^{np}-b^{np}}{a^n-b^n}$. Do đó

$$p^{\beta+1}||\dfrac{a^n-b^n}{a-b}.\dfrac{a^{np}-b^{np}}{a^n-b^n}=\frac{a^{np}-b^{np}}{a-b}$$

Vậy bài toán được chứng minh

Chú ý:
Ta có một trường hợp đặc biệt sau đây với $p=2$
Cho $a,b,c \in \mathbb{Z}$ thỏa mãn $2^{\alpha}||\frac{a^2-b^2}{2}$ và $2^\beta||n$ thì $2^{\alpha+\beta}||a^n-b^n$

Phần chứng minh kết quả này xin dành cho bạn đọc.

Với trường hợp $\beta=0$ thì trường hợp đặc biệt này chỉ đúng khi $4|a-b$

Và sau đây chúng ta sẽ đến với một số bài toán ứng dụng tính chất này

Bài toán 1:
Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn $2^{2012}|17^n-1$

Lời giải:

Ta có:$2^4||\frac{17^2-1}{2}$. Giả sử $2^\alpha ||n$.

Theo trường hợp đặc biệt của bài toán mở đầu ta được

$2^{4+\alpha}||17^n-1$. Suy ra $\alpha+4 \geq 2012 \Rightarrow \alpha \geq 2008$.

Điều đó có nghĩa là $2^{2008}|n\Rightarrow n\geq 2^{2008}$ .

Theo bổ đề mở đầu ta được $2^{2012}|{17^2}^{2008}-1$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $n$ là $2^{2008}$


Bài toán 2:
Giải phương trình nghiệm nguyên ${2^3}^x+1=19.3^y$

Lời giải:
Áp dụng bài toán mở đầu ta được $3^{n+1}||{2^3}^n+1$ vì $3^n$ là một số lẻ

Vì $19 \not \vdots 3$ nên do đó ta được $3^y||{2^{3}}^x+1$. Từ đó suy ra $y=x+1$

Vậy phương trình trở thành: ${2^3}^x+1=57.3^x$ (*)

Đặt $t=3^x$. Ta chứng minh $2^t > 57t$ $\forall t \geq 10$

Thật vậy ta có: $2^t=2^6.2^{t-6}=64.2^{t-6}$

Ta có $64 > 57$, ta có $2^4 > 10$ suy ra $2^{t-6}>t$ đúng với $t=10$
Giả sử đúng đến $t$ ta có $2^{t-5}=2.2^{t-6}> 2t > t+1$

Vậy bđt trên đúng nên từ (*) suy ra $3^x <10 \Rightarrow x\leq2$
Thay $x=0;1;2$ chỉ thấy $x=2$ thỏa mãn (*). Vậy $x=2,y=3$ là bộ nghiệm duy nhất của phương trình


Bài toán 3:
Cho dãy số được xác định như sau

$a_1=\frac{5}{2}$ và $a_{n+1}=a_n^3-3a_n^2+6a_n-3$ với mọi $n\geq 1$

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho $\left\lfloor a_n \right\rfloor+1$ chia hết cho $3^{2011}$

(Đề chọn đội tuyển dự thi VMO 2012-KHTNHN vòng 2)


Lời giải:

Đặt $a_n=u_n+1\Rightarrow u_n=a_n-1$

Đẳng thức đầu bài cho ta :

$$ a_1-1=\dfrac{3}{2}$$

$$a_{n+1}-1= (a_n-1)^3+3(a_n-1)$$

Nên ta suy ra :

$ u_1=\dfrac{3}{2}$

$u_{n+1}= u_n^3+3u_n$

Ta chứng minh rằng :$u_1=2^{3^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}} \forall n \ge 1$ (*)
Thật vậy , với $n=1$ thì ta thấy thỏa

Nếu đẳng thức trên đúng với $n=k$ tức là :$u_k=2^{3^{k-1}}-\frac{1}{2^{k-1}}$

Khi đó ta có :$u_{k+1} = u_k^3+3u_k= 2^{3^k}-\dfrac{1}{3^{k}}$

Do đó theo quy nạp toán học , ta có (*) .

Bởi thế nên :
$$3^{2011}| \left\lfloor a_n \right\rfloor +1 =\left\lfloor u_n \right\rfloor +2$$

$$\Leftrightarrow 3^{2011}| 2^{3^n}+1, /,/,/,(**)$$

Theo bài toán 1 ta có $3^{n+1}||{2^3}^n+1$

Nên suy ra $n\geq 2011-1=2010$

vậy giá trị $n$ nhỏ nhất cần tìm là $n=2010$

Bài toán 4: Cho $a^n+b^n=p^k$ với $a,b$ và $k$ là các số nguyên dương, $p$ là một số nguyên tố lẻ và $n$ là một số lẻ lớn hơn 1. Chứng minh rằng $n$ phải là một lũy thừa của $p$

Lời giải: Vì $n$ lẻ nên ta có

$$p^k=a^n+b^n =(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+...-ab^{n-2}+b^{n-1})$$

Vì vậy $a+b=p^r$ với $r\in \mathbb{N}^*,r\leq k$

Vì $a$ và $b$ là các số nguyên dương nên ta có $r \geq 1$

Giả sử $p^\beta||n$ sử dụng bài toán mở đầu ta được

$p^{\beta+r}||a^n-(-b)^n=a^n+b^n=p^k$
Suy ra $p^{\beta+r}||p^k \Rightarrow+\beta=k-r$

Vì các số $k$ và $r$ là xác định nên phải có số nguyên dương $n$ nhỏ nhất
thỏa mãn $p^\beta||n$ để $a^n+b^n=p^k$,
vì $a^m+b^m > a^n+b^n,\forall m > n$.
Nên $n$ phải là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn $p^\beta||n$ là $p^\beta$. Điều này suy ra $n$ phải là một lũy thừa của $p$.

Bài toán được chứng minh


Bài toán 5:Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n^2|2^n+1$

(IMO1990)
Lời giải:

Giả sử $n$ là số nguyên dương sao cho $n^2|2^n+1$ (1)

Suy ra $n$ phải là một số lẻ, dễ thấy $n=1$ thỏa mãn

Xét $n>1$, gọi $p_1$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$.

Ta có : $2^{2n}\equiv 1 \pmod{p_1}$

Gọi $d=ord_{p_1}2 $ thì $d< {p_1}, d|2n$,
và $(n,d)=1$. Suy ra $d|2$

Nếu $d=1$ thì $p_1=1$ vô lí. Vậy $d=2$ và $p_1|3$ suy ra $p_1=3$.

Giả sử $p^\beta||3$ thì theo bài toán mở đầu ta được$3^{\beta+1}||2^n+1$

Kết hợp với (1) ta được

$3^{2\beta}|3^{\beta+1}||2^n+1\Rightarrow 2\beta \leq \beta+1\Rightarrow \beta \leq 1$
Từ đó suy ra $3||n\Rightarrow n=3k;(n;k)=1$

Gọi $p_2$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $k$. Ta có $2^{6k}\equiv 1\pmod{p_2}$

Gọi $d_2=ord_{p_2}2 \Rightarrow d_2<{p_2}$ và $d_2|6k$
Mà $(d_2,k)=1$ nên $d_2|6$.

Dễ thấy $d_2 $ không thể bằng 1 hoặc 2

Nếu $d_2=3$, ta có $p_2|7\Rightarrow p_2=7$

Nếu $d_2=6$, ta có $p_2|63=7.9\Rightarrow p_2|7\Rightarrow p_2=7$

Mà ta có: $2^3\equiv1\pmod{7}\Rightarrow 2^{k+3}\equiv 2^k\pmod{7}$

và $2\equiv 2 \pmod{7}$ và $2^2\equiv 4 \pmod{7}$

Nên phương trình $2^k\equiv -1 \pmod{7}$ không có nghiệm nguyên

Suy ra $2^{7k}+1$ không chia hết cho 7 với mọi $k$ và $p_2$ không tồn tại. Vậy $n $chỉ có một ước nguyên tố duy nhất là 3, lại có $3||n$ nên suy ra $n=3$

Vậy các giá trị của $n$ cần tìm là $n=1$ và $n=3$.

Kết thúc bài viết xin chúc diễn đàn ngày một phát triển, chúc các bạn và các thầy cô sức khỏe đón năm mới Nhâm Thìn vui vẻ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ban Biên Tập: 19-01-2012 - 09:35


#2
anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết
Mọi người có thể tham khảo thêm ở file này.

File gửi kèm


Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#3
Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết
Cám ơn bạn vì chuyên đề này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trần Đức Anh @@: 19-08-2012 - 11:22

Chữ ký spam! Không cần xoá!

#4
chimsebanmai

chimsebanmai

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
hay wa.mjnh cũng đag họk về chủ đề này,nhưg không tải file đc.ai làm ơn post lên jùm vs

Đủ nắng hoa sẽ nở

Đủ gió chong chóng sẽ quay

Đủ yêu thương hạnh phúc sẽ đong đầy


#5
terencetao25

terencetao25

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

mình cũng ko tải được file này ạ.



#6
Minh Hieu Hoang

Minh Hieu Hoang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 307 Bài viết

 cm :

32n+1 + 22n+2  7


 
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
 




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh