Chuyên đề số phức luyện thi Đại Học
#1
Đã gửi 19-01-2012 - 20:28
Số phức là phần quan trọng và rất hay gặp trong các kì thi .Chủ đề này được lập ra để trao đổi về các vấn đề về số phức phần luyện thi Đại Học.Ta không bàn đến việc sử dụng số phức để giải các bài toán tập hợp ,phương trình nghiệm nguyên.......
#3
Đã gửi 20-01-2012 - 14:50
Mình làm bài 1 vậy mong các bạn tích cực trao đổi hơn nữaBài 1Tìm số phức $z$ biết :
$$\overline z - \dfrac{{5 + i\sqrt 3 }}{z} - 1 = 0$$
Số phức $z$ có dạng $a+bi$ với a,b là các số thực sao cho chúng không đồng thời bằng $0$
Vậy thì
$$\overline z - \frac{{5 + i\sqrt 3 }}{z} - 1 = 0 \Leftrightarrow a - bi - \frac{{5 + i\sqrt 3 }}{{a + bi}} - 1 = 0$$
$$ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 5 - i\sqrt 3 - a - bi = 0$$
$$ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {b^2} - 5 - a} \right) - (b + \sqrt 3 )i = 0$$
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {b^2} - 5 - a = 0}\\{b + \sqrt 3 = 0}\end{array}} \right.$$
Từ đây ta dễ dàng tìm được $a,b$
- laihathanh, tieulyly1995, tranthiphuongdhsptn và 1 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 20-01-2012 - 16:01
Bài 2Tìm phần thực và phần ảo của số phức
$$z = {\left( {\dfrac{{1 + i\sqrt 3 }}{{1 + i}}} \right)^3}$$
Ủng hộ topic của Hoàng. Hướng dẫn bài 2.
Cách 1: Dùng biến đổi đại số.
Cách 2. Chuyển về dạng lượng giác của các số phức ở tử và mẫu sau đó dùng công thức Moivre.
Bài 3: Tìm tất cả số phức thỏa mãn điều kiện: $\mathbf{{z^3} = 18 + 26i}$
Bài 4: Giải hệ phương trình sau trên $\mathbb{C}$: $\left\{ \begin{gathered}
{x^2} + x - \frac{6}{{{x^2} + x}} = 5 \\
{x^2}{y^2} + x{y^2} + y\left( {{x^2} + x} \right) - 6 = 0 \\
\end{gathered} \right.$
#5
Đã gửi 20-01-2012 - 17:15
$=\left (\frac{(1+ i\sqrt 3)(1-i)}{2}\right)^3$
=$\left (\frac{\sqrt 3 +1 + i(\sqrt 3 -1)}{2}\right)^3$
= $(\left \frac{ |z| e^{i3\theta}}{8} \right)$
Với $\theta$=$arctan(\frac{\sqrt3 - 1}{\sqrt3 +1 })$=$arctan(2-\sqrt 3)$=$\frac{1}{12}\pi $
= $(2\sqrt2)^3\frac{1}{8}(cos\frac{1}{4}\pi + isin\frac{1}{4}\pi)$
=$2 + 2i$
Vậy $Rez=Imz=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 20-01-2012 - 17:45
#6
Đã gửi 26-01-2012 - 11:09
Ta chuyển về tìm các căn bậc 3 của $z = 18 + 26i$
Đặt $18 + 26i = w$
ta có $\left | w \right |= \sqrt{18^2 + 26^2}=10\sqrt{10}$
$\arg w=\phi =\arctan \frac{13}{9}$
Đặt các giá trị căn bậc 3 của $z$ là $\omega _{k}, k=1,2,3$
Áp dụng c/tv de Moivre:
ta có:
$\omega _{1}= \sqrt[3]{10\sqrt{10}}e^{\frac{1}{3}i(\phi + 2\pi)}=
\sqrt[3]{10\sqrt{10}}(cos(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 2\pi ))+isin(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 2\pi ))$
$\omega _{2}= \sqrt[3]{10\sqrt{10}}e^{\frac{1}{3}i(\phi + 4\pi)}=
\sqrt[3]{10\sqrt{10}}(cos(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 4\pi ))+isin(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 4\pi ))$
$\omega _{3}= \sqrt[3]{10\sqrt{10}}e^{\frac{1}{3}i(\phi + 6\pi)}=
\sqrt[3]{10\sqrt{10}}(cos(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 6\pi ))+isin(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 6\pi ))=3 + i$
P/S: Sao pic vắng thế này:-?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 26-01-2012 - 11:12
- Ispectorgadget và wtuan159 thích
#7
Đã gửi 14-02-2012 - 21:07
$\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| = 1 \\
{z_1} + {z_2} + {z_3} = 1 \\
{z_1}.{z_2}.{z_3} = 1 \\
\end{array} \right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-03-2012 - 20:23
- funcalys yêu thích
#8
Đã gửi 27-03-2012 - 20:23
Bài 6:Cho số phức $z=\frac{1-i}{1+i}$ tính giá trị $z^2-|z|^2$
Bài 7: Cho số phức $z=\frac{5+3\sqrt{3}i}{1-2\sqrt{3}i}$. Tính $z^{12}$
Mọi người tham gia tích cực nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-03-2012 - 20:25
- funcalys yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#9
Đã gửi 28-03-2012 - 22:21
Viết $z=x+yi$ ta cóBài 3: Tìm tất cả số phức thỏa mãn điều kiện: $\mathbf{{z^3} = 18 + 26i}$
\end{gathered} \right.$
$ (x+yi)^3=18+26i$
$\left\{ \begin{array}{l}
x^3 - 3xy^2 = 18 \\
3x^2 y - y^3 = 26 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow 18(3x^2 y - y^3 ) = 26(x^3 - 3xy^2 )$
Nhận xét x =0 không phải là nghiệm của phương trình nên đặt $y=tx$ tìm được $t = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3;y = 1 \Rightarrow z = 3 + i$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#10
Đã gửi 29-03-2012 - 12:25
IG làm thiếu rồi , căn bậc n 1 số phức phải có đúng n giá trị chứViết $z=x+yi$ ta có
$ (x+yi)^3=18+26i$
$\left\{ \begin{array}{l}
x^3 - 3xy^2 = 18 \\
3x^2 y - y^3 = 26 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow 18(3x^2 y - y^3 ) = 26(x^3 - 3xy^2 )$
Nhận xét x =0 không phải là nghiệm của phương trình nên đặt $y=tx$ tìm được $t = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 3;y = 1 \Rightarrow z = 3 + i$
#11
Đã gửi 29-03-2012 - 12:52
Sr, bài này thiếu k=3Bài 3: Tìm tất cả số phức thỏa mãn điều kiện: $\mathbf{{z^3} = 18 + 26i}$
Ta chuyển về tìm các căn bậc 3 của $z = 18 + 26i$
Đặt $18 + 26i = w$
ta có $\left | w \right |= \sqrt{18^2 + 26^2}=10\sqrt{10}$
$\arg w=\phi =\arctan \frac{13}{9}$
Đặt các giá trị căn bậc 3 của $z$ là $\omega _{k}, k=1,2,3$
Áp dụng c/tv de Moivre:
ta có:
$\omega _{1}= \sqrt[3]{10\sqrt{10}}e^{\frac{1}{3}i(\phi + 2\pi)}=
\sqrt[3]{10\sqrt{10}}(cos(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 2\pi ))+isin(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 2\pi ))$
$\omega _{2}= \sqrt[3]{10\sqrt{10}}e^{\frac{1}{3}i(\phi + 4\pi)}=
\sqrt[3]{10\sqrt{10}}(cos(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 4\pi ))+isin(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 4\pi ))$
$\omega _{3}= \sqrt[3]{10\sqrt{10}}e^{\frac{1}{3}i(\phi + 6\pi)}=
\sqrt[3]{10\sqrt{10}}(cos(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 6\pi ))+isin(\frac{1}{3}\arctan(\frac{13}{9} + 6\pi ))=3 + i$
$\omega _{3}=\sqrt[3]{10\sqrt{10}}e^{\frac{1}{3}i(\phi + 6\pi)$=$3+i$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 29-03-2012 - 12:53
#12
Đã gửi 29-03-2012 - 14:17
Bài 6:$z=\frac{1-i}{1+i}=-i$Mấy bài trên có vẻ khó hơn những bài số phức trong các kì thi ĐH - CĐ thì phải
Bài 6:Cho số phức $z=\frac{1-i}{1+i}$ tính giá trị $z^2-|z|^2$
Bài 7: Cho số phức $z=\frac{5+3\sqrt{3}i}{1-2\sqrt{3}i}$. Tính $z^{12}$
Mọi người tham gia tích cực nhé
Vậy $z^2-|z|^2$=$(-i)^2 -|-i|^2 = -2$
Bài 7: $z=\frac{5+3\sqrt{3}i}{1-2\sqrt{3}i}=-1+\sqrt{3}i$
|z|=2
$Argz= arctan\frac{\sqrt{3}}{-1}=\frac{-/pi}{3}$
$z^{12}=|z|^12.e^{12iArgz}=4096[cos(12Argz) + isin(12Argz)=4096$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 29-03-2012 - 14:17
- Ispectorgadget yêu thích
#13
Đã gửi 29-03-2012 - 17:06
Viết $1-z_1=z_2+z_3$Bài 5:
$\left\{ \begin{array}{l}
\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| = 1 \\
{z_1} + {z_2} + {z_3} = 1 \\
{z_1}.{z_2}.{z_3} = 1 \\
\end{array} \right.$
Nếu $z_1=1$ thì $z_2+z_3=0$
Nếu $z_1$ khác 1 thì $1-z_1$ khác 0, điểm P biểu diễn số $1+(-z_1)=z_2+z_3$ không trùng 0 nên đo $1=|-z_1|=|z_2|=|z_3|$, đường trung trực của OP cắt đường tròn đơn vị tại 2 điểm biểu diễn 1, $-z_1$ và cũng là 2 điểm biểu diễn $z_3;z_2$. Vậy $z_2=1, z_3=-z_1$ hoặc $z_2=-z_1, z_3=1$
Tóm lại hoặc $z_1=1$ hoặc $z_2=1$ hoặc $z_3=1$ (và tổng 2 số z còn lại bằng 0)
Từ 2 phương trình đầu của hệ theo trên có thể coi $z_1=1, z_2+z_3=0$. Khi đó điều kiện $z_1z_2z_3=1$ kéo theo hoặc $z_2=i,z_3=-i$ hoặc $z_2=-i,z_3=i$. Suy ra hệ có 6 nghiệm do đổi chỗ các phần tử của bộ 3 $(1;i;-i)$
Nguồn:Bài tập giải tích 12 nâng cao
Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ tìm tập hợp hợp điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn $|z-(3-4i)|=2$
Khối D -2009
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#14
Đã gửi 30-03-2012 - 11:57
Trên $\mathbb{C},|z-(3-4i)|= d(z,3-4i)$Bài 8: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ tìm tập hợp hợp điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn $|z-(3-4i)|=2$
Khối D -2009
Vậy $d(z,3-4i)=2$
Ý nghĩa hh: tập các điểm z cách đều điểm $(3,-4)$ một khoảng =2
Vậy tập các z thỏa mãn là đường tròn tâm $(3,-4)$ với $r=2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 30-03-2012 - 12:00
#15
Đã gửi 30-03-2012 - 17:40
- funcalys và tieulyly1995 thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#16
Đã gửi 01-04-2012 - 08:58
$Z^4= 2-i\sqrt{12}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 01-04-2012 - 08:59
- Ispectorgadget yêu thích
#18
Đã gửi 05-04-2012 - 05:52
Ta có $z=\frac{(3-i)^2}{1+i}=\frac{(8-6i)^2}{1+i}=\frac{2-14i}{2}=1-7i$Bài 11: Tính căn bậc 2 số phức $z=\frac{(3-i)^2}{1+i}$
Đề thi thử ĐH môn toán chuyên Lê Quý Đôn Vũng Tàu
$\left | z \right |=\sqrt{50}=2\sqrt{5}$
$Argz=arctan(-7)$
Vậy các căn bậc 2 của z là
$a_{k}=\left | z \right |^{\frac{1}{2}}e^{i(\frac{1}{2}Argz+k\pi)}$
Với $k \in \left \{ 1,2 \right \}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 05-04-2012 - 05:53
- Ispectorgadget yêu thích
#19
Đã gửi 05-04-2012 - 12:31
Đề thi thử ĐH năm 2012 chuyên Phan Bội Châu Nghệ an
Bài 13: Trong mặt phẳng $Oxy$ , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức $w=z+2i$ biết rằng $|z-i|=z(1-i)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 05-04-2012 - 12:33
- funcalys yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
#20
Đã gửi 11-04-2012 - 01:06
Đề thi thử trường Trần Quốc Tuấn lần 3 2012
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-04-2012 - 01:07
- funcalys yêu thích
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh